pos322641

141

I6 = I22 = −0,0993А; I8 = I33 = −0,131 А.

Ток I2′ исходной схемы рис. 3.48. вычисляем для узла n:

I2′ = I8 +Ik2 = −0,131+0,1 = −0,031 А.

На пятом этапе выполняем проверку расчётов по балансу мощности. Уравнение энергетического баланса для схемы рис. 3.49. имеет вид:

I12R1 +I82R2 +I32R3 +I42R4 +I52R5 +I62R6 = −E1I1 −E2I8 −E3I8;

110 0,1022 +60 0,13122 + 45 0,0272 +150 0,03252 +

Пример 3.11.

Для условия примера 3.9. выполнить расчёт методом контурных токов,

Рис.3.50. Схема к примеру 3.11.

не заменяя источники тока на источники ЭДС, то есть без первого этапа упрощения электрической цепи.

Решение.

142

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительные направления.

R15 = −R2 = −10 Ом; R16 = 0; R32 = R23 = 0; R24 = 0; R25 = R22 = 10 Ом; R34 = 0; R35 = 0; R36 = 0;

E11 = E1 −E2 −E4 = 80−8−10 = 62 B;

E22 = E3 +E2 = 30+ 8 = 38 B; E33 = E4 = 10 B.

Переносим слагаемые с известными контурными токами в правую часть системы уравнений (3.68).

Получим:

Сравниваем полученную систему уравнений (3.69) с системой уравнений (3.57), приходим к выводу об их полном совпадении. Дальнейшие вычисления токов полностью повторяют решение предыдущего примера 3.9.

143

3.5 Метод узловых потенциалов (МУП)

3.5.1 Обоснование метода.

Метод узловых потенциалов обоснован на составлении уравнений по первому закону Кирхгофа и закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Число уравнений в стандартной системе на единицу меньше общего числа узлов, то есть К-1, поэтому целесообразно на первом этапе выполнить упрощение схемы с уменьшением числа узлов.

Рис. 3.51. Схема к обоснованию метода узловых потенциалов

144

Рис. 3.52. Упрощенная схема к обоснованию метода узловых потенциалов

Так в схеме рис. 3.51. проставим положительные направления токов и объединяем узлы 1 и 8, 3 и 9, 4 и 5, 2 и 10, а трёхлучевую «звезду» сопротив-

лений R1 и преобразуем в треугольник сопротивлений величиной 3 R1.

В упрощённой схеме рис. 3.52. четыре узла и десять неизвестных токов. Три уравнения составим для узлов 1,2 и 3 по первому закону Кирхгофа для узлов (1),(2) и (3), а остальные семь по закону Ома для ветви содержащей ЭДС (рис. 3.52.):

I1 = (U41 −E1)g1 ; I1′ =U14g1′;

I2 =U12g2′; I3 = (U24 −E3)g3 ;

U12 = ϕ1 −ϕ2 ; U23 = ϕ2 −ϕ3; U34 = ϕ3 −ϕ4 .

Решаем системы уравнений подстановкой величин токов (3.71) в уравнение (3.70) получим:

−(ϕ2 −ϕ3)g5′ − (ϕ2 −ϕ3)−E5 g5 + (ϕ3 −ϕ4)−E4 g4 + +(ϕ3 −ϕ4)g4′ −(ϕ1 −ϕ3)g6 = −J3 +J2.

Если принять потенциал самого старшего по номеру узла 4 равным нулю («заземлить»), и сгруппировать коэффициенты при одинаковых потенциалах получим систему уравнений:

147

уравнение; токи и ЭДС источников, направленных к узлу, имеют знак плюс, а если от узла – знак минус. Такие алгебраические суммы называют узловыми токами и вводят обозначения:

I33 = −J10 +J2 +E5g5 +E4g4.

Сучетом введенных обозначений система уравнений (3.73) принимает

вид:

Полученная система уравнений (3.77) является стандартной формой записи уравнений в методе узловых потенциалов, и для случая цепи с К узлами система имеет вид:

В матричной форме:

(3.79)

где: [Gji] - квадратичная матрица собственных и взаимных проводимостей узлов или матрица проводимостей; [φj] - матрица-столбец узловых напряжений; [Ijj] - матрица-столбец узловых токов и источников тока и ЭДС; i, j - номера рядка и столбца элементов матриц.

Матрица проводимостей симметричная, так как:

Gij =Gji.

148

Решение системы (3.78) относительно матрицы узловых потенциалов имеет вид:

где: [Gji]-1 – обратная матрица проводимостей.

Решение системы уравнений (3.78) с применением определителей имеет вид:

где: ∆11; ∆22; ∆33; ∆12=∆21; ∆13=∆31; ∆23=∆32 -алгебраические дополнения, а ∆ – главный определитель системы уравнений.

Вычисление определителей выполняют по формулам таким же, как и в методе контурных токов (3.59.) . По формулам (3.71) рассчитываем величины токов в ветвях электрической цепи (рис.3.52.). Расчет токов по рис. (3.51.) для преобразованной части выполним, вычислив величину потенциала узла

11:ϕ11 = ϕ4 −E1 . Токи сторон треугольника вычислим по закону

Ома:Iab = (ϕ1 −ϕ7)/3R1; Icb = (ϕ11 −ϕ7)/3R1; Iac = (ϕ1 −ϕ11)/3R1. Токи

лучей «звезды» вычисляем по первому закону Кирхгофа:

Величину тока I30 находим из уравнения для узла 11 I30=I40-I1 , а величину тока I50 по уравнению для узла 7: I50=I20+I30

149

3.5.2. Последовательность расчета задач методом узловых потен-

циалов.

1.Необходимо проставить положительные направления токов в заданной электрической схеме и выполнить упрощение схемы с целью уменьшения числа узлов.

2.Пронумеровать узлы, а самый старший узел по номеру «заземлить». Если в схеме содержатся ветви с бесконечной проводимостью и ЭДС, то целесообразно выбирать самый старший узел по номеру, ограничивающему такую ветвь, а потенциал узла на другом конце ветви оказывается известным, что приводит к уменьшению общего числа неизвестных потенциалов и, соответственно, к уменьшению количества уравнений в системе. Количество неизвестных потенциалов определяем по формуле:

P = K-1-N,

где K - количество узлов; N – число ветвей с бесконечной проводимостью.

3.Записываем стандартную систему уравнений и решаем ее относительно неизвестных потенциалов.

4.Величины токов определяем по закону Ома для ветви, содержащей

ЭДС.

5.Возвращаемся к исходной электрической схеме и производим вычисления отдельных токов в ветвях.

6.Проверку результатов расчета выполняем подстановкой ответов в уравнения, составленные по законам Кирхгофа или по балансу мощностей.

Таким образом, преимуществом методов контурных токов и узловых потенциалов можно считать меньшее количество уравнений по сравнению с методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Если количество уравнений по первому закону Кирхгофа (К-1) меньше количества уравнений по второму закону Кирхгофа (n-к+1), целесообразно пользоваться методом узловых потенциалов, а если по второму закону Кирхгофа количество уравнений меньше, то целесообразно воспользоваться методом контурных токов.

150

Пример 3.12.

Выполнить расчет токов в ветвях электрической цепи (рис.3.53.), если

параметры электрической цепи: E1 = 100 B; E3 = 200 B; J5 = 1, 5 A; J6 = 1 A; E7

Рис. 3.53. К примеру 3.12.

=200 B; J7 = 0, 5 A; J 8 = 0, 5 A; E8 = 250 B; R1 = 400 Ом; R1 = 400 Ом; R2

=200 Ом; R4 = 400 Ом; R6 = 700 Ом; R7 = 200 Ом; R8 = 300 Ом.

Решение.

На первом этапе выберем направления токов по заданной электрической схеме (рис.3.53.) и упростим схему. Так E8’= E8 - J 8R8 = 250 – 0,5 ·300 = 100 B; E7/= E7 + J 7R7 = 200 + 0, 5·200 = 300 B.

На втором этапе пронумеруем узлы. На рис.3.54. представлена упрощенная электрическая схема, содержащая пять узлов и третью ветвь с бесконечной проводимостью, что позволяет самым старшим по номеру выбрать