Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

pos322641

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

131

E +E +E = I R +(I −I )R +(I −I )R ;
E +E +E = I R +(I −I )R +(I −I )R ;
	1		4		6		1	1		1		3	4		1		2		6
	1		4		6		1	1		1		3	4		1		2		6
E		−E		−E		= I R −(I					−I		)R −(I			−I		)R ;			(3.43)
E	2	−E	6	−E	5	= I R −(I				1	−I		)R −(I		3	−I		)R ;			(3.43)
	2		6		5		2	2		1		2	6		3	2			5

−E +E +E = −(I −I )R +I R +(I −I )R .
		4		3		5			1		3	4	3	3		3			2
		4		3		5			1		3	4	3	3		3			2	5

Выполним группирование подобных членов в левых частях уравнений системы (3.43) и приведем к стандартной форме системы уравнений по МКТ:

E +E +E = I (R +R +R )−I R −I R ;
E +E +E = I (R +R +R )−I R −I R ;
	1		4		6		11		1		4		6		33	4	22	6
	1		4		6		11		1		4		6		33	4	22	6
E		−E		−E		= −I R +I						(R +R +R )−I R ;							(3.44)
E	2	−E	6	−E	5	= −I R +I					22	(R +R +R )−I R ;							(3.44)
	2		6		5			1	6		22		2	5		6	33	5

−E +E +E = −I R −I R +I (R +R +R ).
		4		3		5			11	4		2	5	33		3	4	5
		4		3		5			11	4		2	5	33		3	4	5

Анализ системы уравнений (3.44) позволяет прийти к следующим выводам:

- коэффициент при контурном токе, номер которого совпадает с номером контура, для которого составлено уравнение, равняется арифметической сумме сопротивлений этого контура, ее мы будем называть собственным со-

противлением контура Rii (для первого контура R11 = R1 +R4 +R6 , для вто-

рого контура R22 = R2 +R5 +R6 , для третьего контура R33 = R3 +R4 +R5 ); - коэффициенты Riк при контурных токах, номера которых не совпадают с номером контура, для которого составляется уравнение, являются со-

противлениями веток, которые принадлежат одновременно двум контурам; знак этих коэффициентов зависит от того, одинаково или противоположно направлены токи в этих ветвях, и мы будем называть их взаимными сопро-

тивлениями контуров (R12 = R21 = −R6 ,R13 = R31 = −R4 , R23 = R32 = −R5 ).

Левые части уравнений (3.44) являются алгебраическими суммами источников ЭДС по второму закону Кирхгофа и мы будем называть их контур-

ными ЭДС (E11 = E1 +E4 +E6 , E22	= E2 −E5 −E6 , E33	= E3 −E4 +E5 ).
Подставим их значения (3.40) – (3.42)	в уравнения (3.39), что приведет к ис-
ключению токов I6, I5:
E1 +E4 +E6 = I1R1 +(I1 −I3)R4 +(I1 −I2)R6 ;		(3.45)
E2 −E6 −E5 = I2R2 −(I1 −I2)R6 +(I3 −I2)R5 ;		(3.46)

132

−E4 +E3 +E5 = −(I1 −I3)R4 +I3R3 +(I3 −I2)R5 .

(3.47)

Группировка подобных членов в правых частях уравнений (3.45) – (3.47) приведет к системе уравнений (3.48):


R I +R I +R I = E ;
11	11	12	22	13	33	11

R I		+R I		+R I		= E			(3.48)
	11		22		33		22	;
21		22		23

R I +R I +R I = E .
31	11	32	22	33	33
							33

С помощью определителей система уравнений может быть решена:

E11

R12

R13

E22

R22

R23

E33

R32

R33

= E

(−1)2

(−1)3

R21

R22

R23

R31

R32

R33

R11

E11

R13

R21

E22

R23

R31

E33

R33

= E

(−1)3

(−1)4

R21

R22

R23

R31

R32

R33

R11

R12

E11

R21

R22

E22

R31

R32

E33

= E

(−1)4

(−1)5

R21

R22

R23

R31

R32

R33

12	+E		(−1)4	13	; (3.49)
	+E	33	(−1)4		; (3.49)
		33

22	+E		(−1)5	23	; (3.50)
	+E	33	(−1)5		; (3.50)
		33

32	+E		(−1)6	33	; (3.51)
	+E	33	(−1)6		; (3.51)
		33

где: 11; 22 ; 33 ; 12 = 21 ; 13 = 31 , 23 = 32 - алгебраические дополнения формул.

133

Система уравнений (3.48) является стандартной формой записи урав-

нений по методу контурных токов для любой электрической цепи с

тремя независимыми контурами. Учитывая, что I1 = I11, I2 = I22 , I3 = I33 ,

можно рассчитать остальные токи по формулам (3.40) – (3.42). Можно сформулировать правило:

Ток в любой ветви равен алгебраической сумме контурных токов в этой ветви, при этом положительный знак выбирают при совпадении направления контурного тока с направлением тока ветви, и отрицательный – наоборот. Расчет остальных токов выполним по схеме (рис.3.47.).

Для узла 5 по первому закону Кирхгофа І′ = І										3	−J	3	. Аналогично для
									3	3		3
узла 1 I′ = I	4	+J	4	; для узла 9	I′ = I	5	+J	5	; для узла 8		I′	= I		2	+J	2	.
4	4		4		5	5		5			2			2		2

Если количество независимых контуров m, система уравнений по ме-

тоду контурных токов будет иметь вид:

R I

+R I

+...+R

= E ;

12 22

1m mm

R I

+R I

+...+R

= E

;

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(3.52)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

R I

+...+R

= E

В матричной форме систему (3.52) можно записать в

полном виде:

R12 ... R1m

R11

R22 ... R2m

R21

(3.53)

...

........................

Rm1 Rm2 ... Rmm

× I

(3.54)

где: Rki - квадратичная матрица собственных и взаимных сопротивлений

контуров или кратко – матрица сопротивлений;	E		- матрица – стол-
		kk

бец контурных ЭДС; i,k - соответственно номера рядка и столбца элементов матриц.

134

Матрица сопротивлений симметричная, так как Rik = Rki . На главной диагонали этой матрицы расположены собственные сопротивлении контуров

Rkk . Решение матричных уравнений (3.53) и (3.54) относительно неизвест-

ной матрицы контурных токов имеет вид:

I		= R		−1	E		(3.55)
	kk		ki			kk

где Rki −1- обратная матрица сопротивлений.

3.4.2 Последовательность расчёта по методу контурных токов

Расчет цепей по методу контурных токов рекомендуется вести в следующей последовательности

1.Упростить исходную цепь, заменив реальные источники тока на реальные источники напряжения

2.Выбрать независимые контуры , направление контурных токов в них

инаправления токов в ветвях, при этом направления токов в ветвях, входящих только в один контур должны совпадать с направлением контурного тока

3.Записать и решить стандартную систему уравнений по методу контурных токов

4.По найденным контурным токам найти по первому закону Кирхгофа токи в остальных ветвях схемы

5.Выполнить проверку результатов расчёта.

Если в схеме идеальные источники тока и их не преобразовали в модели с источниками ЭДС, расчет имеет ряд особенностей. Чтобы выбрать независимые контуры, необходимо использовать дерево графа так, чтобы в идеальные источники тока входили в ветви соединения. В этом случае токи источников тока приравниваем к известным контурным токам, а уравления состав-

135

ляют и решают только для контуров с неизвестными контурными токами. При этом в уравнения включаются слагаемые, которые приравняли токам идеальных источников тока.

Пример 3.9.

Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 3.47. выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры эле-

ментов имеют следующие значения:R1=5 Ом; R2 =R3 =10 Ом;R4 =5 Ом;R5 =3

Ом; J1=2 А; J2=0,3 А; J3=1,5 А; =80 В; E2 = 8 В; E3 =30 В; E4 =10 В.

Решение На первом этапе упростим схему рис. 3.47., заменив модели источников

энергии с источниками тока на модели с источниками ЭДС. Так заменяем:

J	и E		1		на эквивалентные источники ЭДС E							′ = E		−J R = 80−2 5 = 70В;
1			1								1		1	1	1
J	и E			2		на эквивалентный источник E′				= E	2		−J R = 8−0,3 10 = 5В; J			и
2				2					2		2		2	2	3
E		на E′ = E					3	−J R = 30−1,5 10 = 15В.
3					3		3	3	3

Рис.3.47. Схема к примеру 3.9.

136

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы c неизвестными контурными токами и произвольно выбираем положительные их направления (рис. 3.48.).

На третьем этапе составляем стандартную систему уравнений по МКТ для трёх неизвестных контурных токов Ι11, Ι22 , Ι33 :

				I11R11	+I22R12 +I33R13			= E11;
				I11R21 +I22R22 +I33R23				= E22;		(3.56)
				I11R31	+I22R32 +I33R33			= E33.
		Здесь:
R11		= R1 +R2 +R4 = 5+10+5 = 20Ом;R33 = R4 +R5 = 5+3 = 8Ом;
R22		= R2 +R3 = 10+10 = 20Ом;
R23		= R32 = 0Ом; R12 = R21 = −R2 = −10Ом; R31 = R13 = −R4 = −5Ом;
E	11	= E′−E′		−E′ = 70−5−10 = 55В; E		22	= E′		+E′	= 15+5 = 20В;
	11	1	2	4		22		3	2

E33 = E4 = 10В.

	Ι 1		1
			1
		′	E ′
E1′		E2	E ′
E1′			3
			3
		Ι11	Ι22
R1		R2	Ι22
R1		R2	R3
Ι4			R3
Ι4
		I	3
R5	R4		II
R5	R4
III	E′		Ι 3
Ι33	4		Ι 3
	4
			Ι2
Ι 5			Ι2
Ι 5	Ι	′
5	Ι	′
5		1

Рис.3.48. Упрощенная схема к примеру 3.9

137

Подставляем полученные значения коэффициентов в уравнения системы (3.56) получаем:


20 I −I 10−I 5 = 55
		11 22		33
		11 22		33
−I		10+I		20 = 20	(3.57)
−I	11	10+I	22	20 = 20	(3.57)
	11		22
−I11 5+I33 8 = 10
−I11 5+I33 8 = 10

Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей:



	R11R12R13						E11R12R13						R11E11R13							R11R12E11
	R11R12R13						E11R12R13						R11E11R13							R11R12E11
=						=						=							=					(3.58)
=	R R R			;	1	=	E R R			;	2	=	R E R				;	3	=	R R E		22	.	(3.58)
	21	22	23		1		22	22	23		2		21	22	23			3		21	22	22
	R R R						E R R						R E R							R R E
	R R R						E R R						R E R							R R E
	31	32	33				33	32	33				31	33		33				31	32	33
	31	32	33				33	32	33				31	33		33				31	32	33

Правила вычисления определителей при раскрытии по первому столбцу:

										2										3
				= R −1 R R −R R											+R −1							R R −R R
				= R −1 R R −R R											+R −1							R R −R R					+
					11 (					) (	22 33		23	32)			21 (			) (		12 33		13		32)
									4
									4
	+R31 (−1) (R12R23 −R13R22);																												(3.59)
																													(3.59)
				= E						2						+E			−1		3
		1						11	(	) (	22 33		23	32)				22 (		)		( 12 33			13	32)
									4
									4
	+E						−1			R R −R R .
	+E						−1			R R −R R .
					33 (				)	( 12	23		13 22)
					33 (				)	( 12	23		13 22)


							55		−10		−5												20	55	−5
							55		−10		−5												20	55	−5

							20			20	0												−10	20		0
							20			20	0												−10	20		0


							10			0	8												−5	10		8
							10			0	8												−5	10		8
I =	1	=										= 6 A;			I =				2	=								= 4	A;
	1																		2

11																22
11						20				−10	−5					22						20		−10		−5
						20				−10	−5											20		−10		−5


						−10				20	0											−10		20		0
						−10				20	0											−10		20		0

						−5				0	8											−5		0		8
						−5				0	8											−5		0		8

																													(3.60)
																													(3.60)
						20				−10	55
						20				−10	55

						−10				20	20
						−10				20	20


							−5			0	10
							−5			0	10
I33 =	3		=										= 5 A.
	3


						20				−10	−5
						20				−10	−5


						−10				20	0
						−10				20	0

							−5			0	8
							−5			0	8

На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:

I1 = I11 = 6А; I22 = I3 = 4А; I33 = I5 = 5А;

138

Ток I2 вычисляем для узла 1 по первому закону Кирхгофа:

				I2	= I1 −I3 = 6−4 = 2 А;					(3.61)
Аналогично величины токов:

I4	= I11 −I33 = I1					−I5 = 6−5 = 1 A;			для узла 5
I4	= I11 −I33 = I1					−I5 = 6−5 = 1 A;			для узла 5
I′ = I			+ Ι = 6+			2 = 8 A;				(3.62)
I′ = I			+ Ι = 6+			2 = 8 A;			для узла 4	(3.62)
1		1	1
1		1	1
I′ = I			−Ι = 2−			0,3 = 1,7 A;
I′ = I			−Ι = 2−			0,3 = 1,7 A;			для узла 3

2		2	2
2		2	2
				I′ = I	3	+Ι	3	= 4 +1,5 = 5,5 А.
				3	3		3

На пятом этапе выполняем проверку вычислений подстановкой величин токов в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для исходной схемы рис. 3.47.:

E	1	−E	2		−E	4	= I	′R +I′R +I R						для первого контура;
	1		2			4		1	1	2	2	4	4
E	3	+E		2	= I′R −I′R									для второго контура;		(3.63)
	3			2		3	3		2	2
E4		= I5R5 +I4R5												для третьего контура.
Подставляем заданные параметры элементов электрической цепи и ве-
личины токов в систему уравнений (3.59):
					80−8−10 = 8 5+1,7 10+1 5										или 62=62;
					5,5 10−1,7 10 = 30+8										или 38=38;
					−1 5+ 3 5 = 10										или 10=10.
Система уравнений (3.63)											превратилась в верное равенство.

Пример 3.10.

Для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 3.48. выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры элементов

имеют		следующие	значения:	R1 = 110Ом;	R2 = 60Ом;
R3	= 45Ом;R4 = 150Ом;R5		= 80Ом;	R6 = 50Ом;E1 = 10В;	E2 = 8В;
J2	= 0,1А.

					139
				Решение
		a		На первом этапе упро-
			I8	стим электрическую	схему,
				стим электрическую	схему,
			E2	заменив источник тока на ис-
			E2
	I1		R3	Ιk2 точник ЭДС.
	I1			На втором этапе	выби-

E1			n
E1	I5		n
	I5	d	I2	раем положительные направ-
		d		раем положительные направ-
		R6	I4	ления токов в ветвях схемы и
		R6	I 6	ления токов в ветвях схемы и
			I 6
				независимые контуры с неиз-
	Рис.3.48. Схема к примеру 3.10			вестными контурными тока-
				вестными контурными тока-

ми и их положительными направлениями.

Так как независимых контуров три, схема будет содержать три неиз-

вестных контурных тока I11,I22 ,I33 .

На третьем этапе составляем стандартную систему из трёх уравнений:

		a
				I8
				E2
I1	I11		R3	I33
			R3

E1	I5			I2	E3
	I5	d		I2
		d
		I 22			I4

I 6

Рис.3.49. Упрощенная схема к примеру 3.10


I R +I R +I R = E ;
11	11	22	12	33	13	11

I R		+I R		+I	R	= E			(3.64)
							22	;
11	21	22	22	33	23

I R +I R +I R = E .
11	31	22	32	33	33
							33

Для данной схемы:

140

R		= R +R +R = 110+
R		= R +R +R = 110+				45+ 80 = 235 Ом;
11		1		3	5
11		1		3	5
R = R = −R = −80 Ом;
R = R = −R = −80 Ом;
	21	12		5

E11 = −E1 = −10 В;
E11 = −E1 = −10 В;

R		= R +R +R = 150+
R		= R +R +R = 150+				50+80 = 280 Ом;
	22	2		3	4
R = R = −R = −45 Ом;
R = R = −R = −45 Ом;
	31	13		3
E		= E		= 0 В;
E	22	= E	22	= 0 В;
	22		22
R
R		= R +R +R = 45+150+60 = 255 Ом;
	33		4	5	6
	33		4	5	6
R		= R		= −R = −150 Ом;
R		= R		= −R = −150 Ом;
	32	23		4
E33 = E2 −E3 = −14 В.
E33 = E2 −E3 = −14 В.

Решаем систему (3.65) с помощью определителей:

I11 =

I22 =

I33 =

−10 −80 −45

0280 −150

−14 −150 255

1 =

235 −80 −45

−80 280 −150 −45 −150 255

235 −10 −45

−80 0 −155

−45 −14 255

2 =

235 −80 −45 −80 280 −150

−45 −150 255

235 −80 −10

−80 280 0

3 = −45 −150 −14

235 −80 −45

−80 280 −150

−45 −150 255

= 0,10148 A;

= −0,0993 A;

= −0,131215

На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:

(3.65)

(3.66)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.11.201844.54 Кб52Osnovnye_shkoly_i_problemy_ranney_klassiki.doc
#
05.03.20165.12 Mб56Osnovy_ekologii.doc
#
10.09.201970.39 Кб39Ostapenko_STO.docx
#
05.03.201611.51 Mб572otvety_na_bakalavrsky.doc
#
16.11.2019579.34 Кб40Otvety_na_k_r__1_bondar.docx
#
05.03.20161.64 Mб38pos322641.pdf
#
05.03.20165.56 Mб191posob_nesterov_mex.mash.doc
#
10.12.2018258.66 Кб44Potentsial.docx
#
05.03.2016200.8 Кб72PR3.docx
#
25.11.2019446.98 Кб32prakt.doc
#
05.03.2016281.09 Кб33praktika_ocenka inw obst_timofeev.doc