pos322641

51

магнитной проводимости µг, квадрату числа витков и площади S витков

(1.32); преобразования электрической энергии в тепловую энергию не проис-

Связь между током и напряжением в индуктивном элементе устанавливается на основе закона электромагнитной индукции, т.е. выразим потенциал точки 1 через потенциал точки 2 и ЭДС:

При постоянном токе в катушке индуктивности ток не изменяется, значение производной равно нулю, следовательно и12 = 0, что указывает на отсутствие работы при перемещении единичного положительного заряда от очки 1 до точки 2, выполняемой источником энергии электрической цепи. Т.е. катушка индуктивности сопротивления постоянному току не оказывает, что равносильно короткому замыканию выводов.

Физическая природа силы сопротивления электрическому току ка-

тушки индуктивности связана c величиной скорости изменения во времени магнитного потокосцепления или при µ = const (линейной катушки) с величи-

ной L(di /dt).

Мгновенная мощность идеальной катушки индуктивности:

52

k dt

При совпадении знаков u и i происходит запасание энергии и мощность положительна. При отрицательной мощности элемент отдает энергию. Если µг = const, то L = const, такая идеальная катушка индуктивности называется линейной. При µг, зависящей от величины напряженности магнитного поля Н, т.е. µг(Н), наша величина L зависит от величины Н или i, т.е. L(Н) и такую катушку индуктивности называют нелинейной.

Для случая линейной идеальной катушки индуктивности энергия магнитного поля определяется выражением:

Если i(0) = 0, то:

и 106 R0. Вычислить внешнюю индуктивность единицы длины провода. Решение.

Магнитное поле провода длиной l >> R0 обладает осевой симметрией, т.е. все точки цилиндрической поверхности, ось которой совпадает с осью провода, равноудалены от источника поля и величина вектора напряженно-

53

сти магнитного поля одинакова, а направление вектора напряженности магнитного поля определим разбив весь провод на симметричные пары элемен-

тов dl и dl′ с током провода I. Определяем приращение индукции магнит-

ного поля от элементов Idl и Idl′ по закону Био – Савара – Лапласа (1.28):

dB = µ0 I dl ,eR .

4π R2

Рис.2.4. К определению направления правления будут от приращения dB

тора dB и dB′ направлены перпендикулярно к плоскости, в которой лежит треугольник 0кр, то вектор магнитной индукции B и вектор напряженности

H от всего провода будут всегда перпендикулярны к радиусу r окружности с центром в точке 0. в соответствии с законом полного тока (1.25)

54

Рассчитаем магнитное потокосцепление провода. Введем ось переменной r с началом в центре провода (рис. 2.5.).

На рис. 2.5. представлен разрез провода А – А и вектор индукции маг-

нитного поля B . Магнитное потокосцепление провода вычислим через площадку аbcd (рис. 2.3.), учитывая симметричный характер магнитного поля. Вектор магинтной индукции В = cоnst для всех точек площадки dS (рис. 2.3.):

Внешняя индуктивность провода L:

L= µ0l LN106 .

2π

Индуктивность единицы длины провода L0:

Пример 2.2.

Рассчитать внешнюю индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии с током I = I1 = I2, если l >> d0 >> R0 (рис. 2.6.).

Решение.

В этом случае воспользуемся принципом наложения для линейных сред и рассчитаем магнитное поле линии как результат векторного суммирования магнитных полей, созданных каждым проводом в отдельности. Тогда в некоторой точке r1 на оси 0r1 индукция результирующего магнитного поляB :

B = B1 +B2 .

56

Рис. 2.7. К примеру 2.3.

линии намного больше расстояния d между проводами, рассчитать коэффициент взаимной индукции М между линией и катушкой, если катушка расположена в параллельной плоскости проводов на расстоянии А.

57

Решение.

Воспользуемся принципом наложения для расчета магнитного потока, созданного двухпроводной линией и сцепленного с одним витком катушки.

Ф = Ф1 + Ф2 .

Для расчета магнитного потокосцепления, созданного первым проводом с одним витком катушки, воспользуемся сечением на рис. 2.7. б и результатом расчета вектора магнитной напряженности одного провода с током

(пример 2.1.):

стояние от оси первого провода до произвольной точки К на поверхности витка (изменяется от R1n до R1m); α1 – угол между вектором B1 и единичным вектором dS1 .

В процессе интегрирования угол α1 изменяется от 90º в точке n до величины α1m в точке m.

На рис. 2.7. б из точки n восстановлена ось a, совпадающая по направлению с шириной рамки a. Вектора напряженности магнитного поля H и индукции магнитного поля B построены по направлению, совпадающему с

направлением касательной к ок- Рис. 2.8. К примеру 2.3. ружности (силовой линии) в точ-

ках поверхности S витка.

Учитывая осевую симметрию поля dS1 = b·(da) (во всех точках площадки dS1 величина индукции В1 одинакова), перейдем к одной переменной интегрирования R1, так как (da)cosα1 = dR1, получим:

58

Расчет магнитного потокосцепления Ф2 выполняем аналогично по рис. 2.8. На рис. 2.8. построены вектора магнитной индукции B2 , напряженности магнитного поля H2 от второго проводника с учетом обратного направления тока I2 (к нам):

стояние от оси второго провода до произвольной точки К на поверхности витка (изменяется от R2n до R2m); α2 – угол между вектором B2 и единичным вектором dS2 .

С учетом осевой симметрии поля dS2 = b(da), перейдем к одной переменной интернирования R2, так как (da)cosα2 = dR2, получим:

Коэффициент магнитной индукции М определяем из соотношения:

M= ψ = ωµ0b LN R1mR2n .

I 2π R1nR2m

Полученная формула универсальна. Для любого нового расположения катушки при соблюдении параллельности сторон b катушки результат вычисления в общем виде аналогичен.

R2m = A2 +(d −a)2 .

59

Пример 2.4.

Рассчитать энергию, запасенную в магнитном поле катушки с кольцевым сердечником, предполагая это поле равномерным (рис. 2.9.), и коэффициент самоиндукции L. Все величины заданы на рисунке в общем виде, как I,

µ2.

Решение.

Воспользуемся формулой (1.42) для расчета энергии магнитного поля:

В соответствии с законом полного тока:

∫ Hdl = ∫ δdS = Iω.

lcp S

Учитывая равномерность поля в катушке:

∫ H COSθdl = 2πRH = Iω,

lср

что позволяет рассчитать напряженность магнитного поля:

lcp

Индуктивность катушки можно определить для внешнего магнитного поля, воспользовавшись общим определением:

60

L = ψ = ωФ = ωSB = ωµ0µrSH .

I I I I

Подставив в последнюю формулу выражение H = Iω , получим:

lcp

L = Iω2µ0µrS = ω2µ0µrS .

Ilcp

Пример 2.5.

Рассчитать индуктивность одножильного кабеля (рис. 2.13.) полагая, что внутренний провод является прямым, а наружный – обратным. Магнитным потоком в обратном проводе пренебречь ввиду малой толщины этого провода. Геометрические размеры и величину магнитной проницаемости материалов считать заданными в общем виде.

Решение.

Расчет магнитного поля для заданного примера выполняем с учетом осевой симметрии поля по диапазонам значения r (см. пример 2.1.).

При значениях 0 ≤ r ≤ r1 выбираем силовую магнитную линию. Так как все точки этой окружности равноудалены от источника поля, величина напряженности магнитного поля постоянна и в соответствии с законом полного тока: