Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

Визначення 4.5. Головна частина приросту функції, лінійна відносно приросту незалежної змінної, називається

диференціалом функції: ¢ ∆.

¢Приріст незалежної змінної називається її диференціалом

:

∆ ¢.

Отже, остаточно маємо:

Диференціал функції дорівнює її похідної, помноженої

на диференціал незалежної змінної:

 

¢ ¢ .

(4.29)

Бачимо, що якщо відома похідна, легко знайти диференціал, та навпаки, якщо відомий диференціал, відразу знаходимо похідну. Тому дії знаходження похідної та диференціала мають спільну

назву – диференціювання.

4.1.13. Властивості диференціала

Диференціали основних елементарних функцій.

За визначенням диференціала, диференціал функції дорівнює похідної, помноженої на диференціал незалежної змінної. Нам відомі похідні основних елементарних

функцій,отже, щоб знайти їх диференціали, необхідно відомі

похідні помножити на диференціал незалежної змінної:

¢* 9* 1¢;

¢ 7 7 n97 ¢;

¢ logm p*m1

¢;

¢ "c9 de" ¢

 

 

161

Правила обчислення диференціалів

За відомими правилами обчислення похідних, знайдемо правила знаходження диференціалів:

а) диференціал алгебраїчної суми двох функцій.

 

 

 

маємо формулу для

 

 

 

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

(

¢4 4 ¢ , ¢: : ¢

 

Згадаємо похідну суми:

 

 

 

 

 

 

4 £ (:

. Помножимо

 

 

 

 

 

 

 

.

Оскільки

 

 

 

 

,

обидві частини рівності на

 

 

4 £ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обчислення

диференціалу

алгебраїчної

суми:

 

 

¢ 4 £ : ¢4 £ ¢:.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) диференціал добутку двох функцій.

(

(

 

 

 

 

Згадаємо

похідну

добутку:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

¢: : ¢:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки

 

 

 

 

Помножимо обидві частини рівності на

 

 

4. · : 4 · : 4 (· :

 

, маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обчислення

диференціалу

добутку

формулу

 

для

 

 

 

¢

 

 

 

¢4 4 ¢ ,

 

¢ 4 · : : · ¢4 4 · ¢:.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) диференціал частки двох функцій.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

(

 

5 ; 5;(

 

 

 

 

 

 

 

формулу для

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

:¢: : ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

¢4 4 ¢ ,

 

обидві

Згадаємо похідну

частки:

 

 

 

 

V

;

 

 

 

.

Домножимо

 

частини рівності на .

Оскільки

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

,

маємо

 

,;-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обчислення диференціалу частки

¢,5- ;œ5 5œ;

;;S .

Диференціал складної функції. Інваріантність диференціала.

Нехай дано функції

 

і

 

-

неперервні і

 

 

 

своїх аргументів Похідна функції за

диференційовані функції

 

4

 

4 . X

 

обчислення

змінною

 

знаходиться

за

формулою

(4.11) для

 

 

складної функції

 

 

 

 

 

похідної

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

162

 

 

 

 

 

 

( 5( · 4( .

 

 

 

 

Помножимо обидві частини рівності на ¢ ,отримаємо

 

 

Згадаємо, що

¢4 4 ¢

¢ 5( · 4( ¢ .

 

 

 

 

¢ 5( · ¢4.

 

 

 

(4.30)

(

,звідси маємо

 

 

 

 

Тобто бачимо, що диференціал функції

 

має такий же

 

 

 

змінною функції

.

самий вигляд, якщо б 4 була незалежною 4

 

 

Ця властивість

має назву інваріантності

форми

диференціала від аргументу функції.

Диференціал функції 4 має4 незмінний вигляд в незалежності від того, чи є її аргумент незалежною змінною або функцією незалежної змінної.

Приклад 4.21. Знайти диференціал функції

7 < 2n9 j 2klf · 7td"c95 .

Розв’язання:

¢ 7¢ < 2¢Dn9 j H 7td"c95 · ¢ 2klf2klf · ¢ 7td"c95 35 A¢ 2 · vw1 · klf1S ¢

7td"c95 · 2klf · n92 · "c9 ¢ 2klf · < ¢

√1 B< S

,35 A A 7td"c95 · 2klf · n92 · "c9 <·B{|}2 - ¢

fg*B √1 B< S .

163

4.1.14. Застосування диференціалу у наближених обчисленнях

Згадаємо, що приріст функції визначається за формулою

l l .

Явний вираз приросту функції може бути виражений через приріст аргументу досить складною формулою. Спробуємо

замінити приріст функції його диференціалом:

l l ¤ ( l¢ ¢

похибка цієї заміни мала (див. п. 4.1.12).

 

 

 

¢

 

наближене значення

l ¢

знайдемо l, l,:

 

Отже,

якщо

 

 

(

 

, то

відомі

значення

 

 

 

 

 

 

 

за формулою

 

 

 

 

l ¢ ¤ l

( l¢

 

 

(4.31)

 

 

 

Приклад 4.22. Знайти наближене значення функції

 

< 2A

7B 15, коли 1,003.

1, ¢ 0,003.

Розв’язання:

Приймаємо

Обчислимо значення функції у точці

1:

 

1 1 2 7 15 21.

 

 

Знайдемо похідну функції

 

 

 

 

 

 

 

 

( 5A

8= 14.

 

 

 

 

Обчислимо її значення у точці 1:

 

 

 

 

 

 

( 1

5 8 14 11.

 

 

Скористаємося формулою (4.31), остаточно маємо:

1,003 ¤ 1 0,003 21 11 · 0,003 21,033.

164

7tdde"0,4991.

 

 

 

 

Приклад 4.23.

Знайти пнаближене значення функції

.

 

 

7tdde" 0,5:

¢

0,0009

 

 

0,5

 

Розв’язання:

Приймаємо

,

 

Обчислимо значення функції у точці

0,5 7tdde"0,5 u ¤ 1,0472

= .

Знайдемо похідну функції

( √11 S.

та обчислимо її значення у точці

 

 

(

 

 

(

0,5

 

1

B

.

 

 

 

 

√1 ,B<

√= ¤ 1,1547

Скористаємося формулою (4.31), остаточно маємо:

7tdde"0,4991 ¤ 0,5 0,0009 1,0472 1,1547 ·0,0009 1,0482.

 

 

 

4.1.15. Геометричний сенс похідної і диференціалу

 

 

 

 

 

 

Нехай функція

 

 

 

 

 

 

 

 

визначена

на інтервалі і

y

 

 

M

L

 

неперервна в точці

 

 

Нехай

f(x0+ x)

 

 

 

 

 

. 7, Ž

 

 

 

 

 

відомі

точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та відомо

 

 

 

 

 

 

що

 

 

 

 

, ¥ , ,,

 

M0

α0

 

 

 

¥ ∆ , ∆ .

 

 

 

f(x0)

 

 

 

 

 

 

∆ • 7, Ž

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

Проведемо

січну

 

 

 

 

 

x

(

рис

. 4.1).

Вона

визначається

O

x0

 

x0+

x

 

 

 

 

 

 

 

¥ ¥

 

 

 

 

 

 

рівнянням

 

 

¦ ,

Рис. 4.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

165

 

 

 

 

 

 

кутовий коефіцієнт якої дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¦ j§ .

|¥ ¥|

 

 

 

 

 

 

 

і

 

¥

прямує до нуля.

 

∆ 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відстань

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажемо, що при

 

 

 

 

 

між точками

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дійсно

з неперервності функції

 

 

 

 

при

 

 

 

маємо

lim∆ ∆ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тобто, при ∆ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|¥ ¥| [ B

 

 

 

¦

 

то пряма лінія, рівняння якої ми

 

 

lim

¦ lim

 

 

д,

Отже, якщо існує кінцева границя

 

.

 

 

 

 

 

 

 

¦

 

 

∆ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отримуємо з рівняння

 

 

 

 

 

при

 

 

 

 

називається

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 4.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дотичною до

графіку функції

¥ .

 

 

 

в точці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бачимо,

що дотичною до графіку функції

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

називається граничне положення січної,

якщо точка

 

 

точці

 

 

 

 

 

 

 

прямує до точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З розв’язання цієї задачі прямує геометричний сенс

похідної, а саме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 4.6. Значення похідної функції

 

у

точці дотику

дорівнює кутовому коефіцієнту

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дотичної до

кривої в цієї

 

:

 

 

 

 

¦д ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.32)

а рівняння дотичної має вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

166

lim

( ¦ . lim

 

то

 

Зауваження.

,

 

 

 

Якщо

прямарис 4.2),рівняння якої

 

 

,

 

 

 

 

січної,

 

∆ 0

 

 

-

отримуємо при

 

 

з рівняння

 

називається

вертикаль

функції в точці .

 

 

ною

дотичною

до

графіку

y

M L

f(x0+ x)

f(x0) M0

 

α

x

O

x0 x0+ x

 

Рис. 4.2.

Близько пов’язане з поняттям дотичної, поняття нормалі до кривої

Визначення 4.7. Нормаллю до кривої в точці

називається пряма лінія, перпендикулярна до дотичної у точці дотику..

З умови перпендикулярності прямих (2.22) знаходимо

кутовий коефіцієнт нормалі 1

1

,

 

 

(4.34)

 

¦н ¬д ( a

 

отже шукане рівняння нормалі має вигляд

 

 

( 1a

 

.

(4.35)

 

 

Приклад 4.24. Записати рівняння дотичної до кривої

2= 3B 8 13

в точці з абсцисою 3.

Розв’язання: Знайдемо похідну функції

( 6B 6 8.

і обчислимо значення функції та її похідної в точці :

167

3 2 · 3= 3 · 3B 8 · 3 1354 27 24 13 38;

( (3 6 · 3B 6 · 3 8 44.

Скористаємося формулою (4.33) і отримаємо шукане рівняння

дотичної

38 44 3;44 94.

Приклад 4.25. З’ясувати, в яких точках кривої

= 12

A 2

її нормаль паралельна прямій = .

Розв’язання: За умовою паралельності (2.21) кутові коефіцієнти нормалі та заданої прямої повинні дорівнювати

одне одному:

 

 

¦н ¦.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо похідну функції ( =S,

 

 

 

 

 

 

 

 

¦н

( a =

Отже кутовий коефіцієнт нормалі

 

 

1

S

і скористаємося умовою паралельності

1

2

 

 

A

 

B

4;

 

=

= ;

 

 

B

2 Œ

 

S

 

 

 

 

 

 

 

.

Виявилося, що точок, які задовольняють умові, дві. Їх ординати знайдемо, підставивши знайдені абсциси до рівняння кривої:

168

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

27

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

1 2

12 2

Œ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B 2 12 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

 

в

точках

¥1 , 2, BYB -,

¥B ,2, B1B -

нормаль до

 

кривої

=

12 паралельна прямій

 

=A 2.

 

 

 

 

¢

дорівнює довжині

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

З’

ясуємо

геометричний

 

сенс диференціала функції

¢

(рис. 4.3). Так як

(

 

 

®¯

, то диференціал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

відрізку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 4.8. Диференціал

 

функції

 

 

 

 

в

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приростом ординати

 

 

точці

 

 

може бути

зображений

 

 

°‘

 

 

 

 

 

 

D, H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дотичної

яка проведена до лінії

 

 

 

 

у відповідній точці

 

 

Зауваження.

Диференціал

функції

функції

 

 

у

відповідній точці може бути як більше приросту

 

 

(рис. 4.3,а), так і менше його (рис. 4.3,б).

 

 

 

 

 

 

y

 

 

M

T

 

y

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.13.

 

α

dy

y

 

 

 

 

T

y

1.3.14. M

 

R

 

 

M

α

dy

 

1.3.15.

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

1.3.16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x=dx

 

 

 

x

x=dx

x

O

(а)

x+dx

x

O

(б)

x+dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.3.

 

 

 

 

169

4.1.16. Фізичний сенс похідної та диференціалу

 

 

 

Згадаємо, що поняття похідної

 

ми

 

вводили,

коли

розв’язували задачу про швидкість зміни функції:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

.

 

 

 

 

 

lim∆ сер. lim∆ ∆

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай

 

 

 

 

час

 

- закон руху матеріальної точки,

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Нехай

 

-

координата точки в момент

довжина шляху", -"

 

¥1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

часу

 

, а

 

 

і

- в

момент часу

 

;

 

 

-

довжина шляху між

точками

 

 

 

 

 

 

,

тобто

 

 

∆"

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥B

¥B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥1

 

 

 

 

∆" " ∆ "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відношення ∆f∆v є середня швидкість руху на відрізку від

 

до

 

B

,

 

 

 

∆v

∆f -

миттєвою швидкістю в момент часу ,

тобто1

 

 

lim

∆v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: lim∆v ∆f∆v ".

 

 

 

 

 

 

(4.36)

 

 

 

За визначенням диференціала,

 

 

 

 

 

 

 

 

, з цього прямує,

що диференціал шляху дорівнює

відстані

 

 

 

яку б пройшла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢" :¢,

 

 

 

 

матеріальна точка за проміжок часу

 

 

 

від моменту

 

до

моменту

 

 

 

 

 

 

,

 

якщо б рухалася рівномірно з швидкістю

яка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

миттєвої швидкості точки в момент

 

 

 

 

 

дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогічно, прискорення руху –

 

це

 

швидкість

зміни

швидкості

 

 

 

 

 

 

7 lim∆v ∆;∆v :( ",

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.37)

тобто обчислюється за другою похідною від закону руху матеріальної точки

Приклад 4.26. Відомий закон руху матеріальної точки

" = A 1 = 7B 18 5

A = .

170

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.