Пособие_ВМ_для_менеджеров

Оптимальним значенням виробництва для виробникаè є те значення одиниць продукції, при якому прибуток є найбільшим. Тому для визначення величини оптимального значення виробництва, необхідно розв’язати задачу про найбільше значення функції (см. п. 4.4.4).

Приклад 4.46. Виробнича фірма мінімізує середні витрати, які в результаті дорівнюють 50 грн./один. Чому при

цьому дорівнюють граничні витрати?

Розв’язання: З (4.56) маємо: ' Å · 50. За формулою (4.57) граничні витрати є похідна від функції витрат.

Після її обчислення маємо:

¥ '( 50.

Отже, граничні витрати дорівнюють 50 грн./один.

Приклад 4.47. Визначити оптимальне для виробника значення випуску , за умови, що весь товар реалізується за

211

Розв’язання: За формулою (4.55) прибуток визначається якè ë ' 19 22 7 = 12 22 =.

Оптимальне значення випуску – значення, при якому прибуток є

похідної), тому оптимальне значення випуску дорівнює 2.

Приклад 4.48. Доход від виробництва ëпродукції80√ з

використанням одиниць ресурсів дорівнює . Вартість одиниці ресурсів складає 4 умовних одиниці. Яку кількість ресурсів треба придбати, щоб прибуток був найбільшим?

Розв’язання: За формулою (4.55) прибуток визначається

як

è ë ' 80√ 4.

цій точці функція набуває максимуму. Отже необхідно придбати 100 одиниць ресурсів, щоб прибуток був найбільшим.

Розв’язання: За формулою (4.55) прибуток визначається

як

è ë ' 2 <= √ 17 4 BS6 <= √ 17 BS.

Розв’яжемо задачу про найбільше значення функції. Для цього

фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?

Розв’язання: За формулою (4.56) функція середніх

Отже 2. Граничні витрати (4.57):

¥ '( 2 5.

Відомо, що прибуток (4.55) визначається як:

è ë ' 37 '.

Продиференцюємо даний вираз:

è( 37 '( 37 ¥ 37 2 5 35 5.

Знайдемо критичну точку:

è( 0; 35 5 0; 7.

Отже, оптимальне значення кількості товару опт. 7. З цього

прямує∆ , що необхідно збільшити виробництво на 5 одиниць

опт. .

Ɓ BP=1A 12 1B<1A .

Отже, середні витрати зміняться на 1B<1A .

Розділ 5. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

5.1. ПЕРВІСНА

У попередніх розділах, коли вивчали диференціювання, розв’язували наступну задачу: як знайти похідну даної функції? Зараз поставимо перед собою обернену задачу: як знайти

Теорема 5.1. Будь-яка неперервна функція має несчислену множину первісних, причому будь-які дві з них відрізняються на сталу величину.

215

Визначення 5.3. Знаходження всіх первісних функції називається невизначеним інтегруванням (далі просто інтегруванням) цієї функції.

За визначенням 5.1 маємо основні властивості

216

5.2. ТАБЛИЦЯ НЕВИЗНАЧЕНИХІНТЕГРАЛІВ. ПРОСТІШІ ПРИЙОМИ ІНТЕГРУВАННЯ

В таблиці 5.1 безпосередньо зведені формули, необхідні для інтегрування. Ці формули випливають з формул диференціювання основних елементарних функцій. Будь-яка з наведених формул легко перевіряється диференціюванням.

Зауваження. В таблиці 5.1 буква може позначати якнезалежну змінну , так і неперервну диференційовану функцію аргументу . Справедливість цього зауваження ми

доведемо пізніше.

Таблиця 5.1. Основна таблиця інтегралів

Похідна від лівої частини рівності (5.2) за визначенням похідної

дорівнює підінтегральній функції:

( (.

Ми отримали той же самий вираз. Теорема доведена.

Теорема 5.3. Константу можна виносити за знак

Доведення: Диференцюємо обидві частини рівності (5.3):

218

інтегрування). Будь-яка формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо замінити незалежну змінну будь-якою диференційованою функцією від незалежної змінної, тобто якщо

що і потрібно було довести. Цією теоремою ми довели зауваження до таблиці невизначних інтегралів. Це правило є дуже важливим, тому що значно розширює таблицю інтегралів. Виявляється, що таблиця є справедливою незалежно від того, чи є змінна інтегрування незалежною змінною, чи будь-якою диференційованою функцією від неї.

Теорему доведено.

Проілюструємо застосування наведених теорем при безпосередньому інтегруванні.