Пособие_ВМ_для_менеджеров
.pdf
Геометричний зміст доведеного наступний: площа
криволінійної трапеції |
яка обмежена |
графіком функції |
і |
||
дорівнює площі прямокутника, |
з основою довжини |
|
|||
висотою довжини Í |
(рис. 5.5). |
|
, |
||
Тотожність (5.41) можна переписати і як |
|
|
|||
+b |
Í , |
. |
|
|
|
Звідси теорему про середнє значення можна сформулювати наступним чином:
Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює добутку значення цієї функції в деякій проміжній точці інтервалу інтегрування на довжину інтервалу.
5.11. ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦЯ
Розглянемо визначений інтеграл +b , в якому нижня границя стала, а верхня границя змінна. Зрозуміло, що зі
зміною верхньої границі буде змінюватися і значення інтегралу, тобто інтеграл є функцією верхньої границі:
|
|
|
Þ |
|
+< " ". |
|
|
|
(5.42) |
||||
Якщо |
|
, |
то |
|
|
y |
|
|
|
f(ξ) |
f(x+ x) |
||
чисельно |
|
дорівнює |
площі |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
f(x)X |
|
|
|||||||
|
" • 0 |
|
|
Þ |
|
|
|
|
|
||||
криволінійної |
трапеції |
буде |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(рис. 5.6). |
|
|
|
|
|
y=f(x) |
|
|
|
|
|||
Значення площі pß |
|
Φ(x) |
ΔΦ |
|
|
||||||||
змінюватися |
в залежності |
|
від |
|
A |
|
|
|
|||||
зміни . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
x+ x |
||||
Знайдемо |
|
похідну |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
визначного |
інтегралу |
|
(5.42) |
по |
|
|
|
Рис. 5.6. |
|
|
|||
верхній границі. Для цього розглянемо теорему.
261
Теорема 5.15. Значення визначеного інтегралу дорівнює
різниці значень будь-якої первісної від підінтегральної функції, |
|||||||||||||||
обчисленої при |
|
і |
,, тобто границях інтегрування: |
||||||||||||
|
|
|
+b |
, . |
|
(5.43) |
|||||||||
Формула (5.43) називається формулою Ньютона-Лейбниця. |
|||||||||||||||
функції |
. Але дві |
|
|
|
|
+ |
" " |
|
|
|
. |
||||
Доведення: |
Нехай |
|
|
- деяка первісна від функції |
|||||||||||
на сталу |
|
( |
|
|
|
|
5.1). |
|
|
|
первісною від |
||||
|
|
5.14 |
функція |
|
|
|
|
|
|
||||||
За теоремою |
|
|
|
|
< |
|
|
також |
є |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
первісні від однієї функції відрізняються |
|||||||||
|
величину |
|
|
теорема |
|
|
Тому можемо записати |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
+< " " |
|
|
, для |
(5.44) |
|||||
Спробуємо |
визначити |
значення |
|
цього |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
інтегралу а саме |
|
||
скористуємося властивістю визначного |
|
|
, |
|
|||||||||||
Звідси |
|
|
|
++ |
0. |
|
|
|
|||||||
0, тобто |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
Отже, |
|
+< " " |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Підставимо , і повернемося до змінної , остаточно маємо |
|||||||||||||||
|
|
|
+b |
|
|
, |
, |
|
|
|
|||||
що і треба було довести. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Різницю функцій часто записують як |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
, |
|
,. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
% G |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
263 |
|
|
|
|
|
|
З урахуванняv останнього позначення, перепишемо формулу Ньютона-Лейбниця у вигляді, яким і будемо користатися:
+b %,G |
, . |
(5.45) |
|
|
|
Формула Ньютона-Лейбниця дає нам основний спосіб обчислення визначених інтегралів не виконуючи додавання, а лише за допомогою первісною, тобто за допомогою невизначеного інтегрування.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<? |
|
|
|
. |
|
Приклад 5.33. Обчислити інтеграл |
4 |
0<WF4<?F9< 4 |
|
|||||||||||||||
|
Розв’язання: Скористаємося формулою Ньютона- |
||||||||||||||||||
Лейбниця і основними властивостями визначеного інтегралу |
|
||||||||||||||||||
|
<? |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
<? |
|
||||||
4 0<WF4<?F9< 4 |
|
0 |
4 |
4 |
4 |
9 |
4 |
@< |
4 |
4 |
@< |
|
|||||||
0 <C |
3G |
4< |
3G 9 |
|
3G 4 3G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
%1 |
|
|
%1 |
|
â ã %1 |
< %1 |
4 |
23 9 3. |
|
|
|
|
||||||
;0 50 |
|
: 4 |
9 |
3 9 |
1 54 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<C < |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 5.34. Обчислити інтеграл |
|
@< |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Розв’язання: Для |
обчислення визначеного інтегралу, |
|||||||||||||||||
згадаємо правило знаходження первісної від раціонального дробу
|
|
|
|
|
n |
o< — |
|
|
|
|
@< |
R 1 |
<C < < |
<? |
U |
@< |
<@< |
||
p 1 |
” |
||||||||
|
<C < |
|
1 p |
p ” |
|
< |
<? |
||
|
|
0 |
p ”, |
” p 1 |
|
|
|
||
|
|
G |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
2G |
|
|
|
|
2G |
2 1 |
|
|
|
||||
| | %1 | |
|
1| %1 |
|
5 2 |
||||||||||
4 |
2 5 |
24 |
5 |
|
07. |
|
|
|
||||||
|
Приклад 5.35. Обчислити інтеграл 4 <?@<<. |
@< |
||||||||||||
|
Розв’язання: |
4 |
@< |
|
|
4 |
|
@< |
|
4 |
||||
|
%<% % |
|
|
|
|
<?< |
|
<?< F |
|
< ?F |
||||
|
%<% % |
3G |
|
0 |
|
|
0 |
|||||||
|
< F 3G |
|
|
|
|
< |
|
|
4 |
|
|
|
5. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5.12. ЗАМІНА ЗМІННОЇ У ВИЗНАЧЕНОМУ ІНТЕГРАЛІ
Як і при знаходженні первісної при невизначеному інтегруванні, одним з найпоширеніших методів є метод заміни змінної. Але заміна змінної в визначеному інтегралі потребує більшої уваги.
Нагадаємо, що за формулою (5.7) у невизначеному
інтегралі має місце тотожність |
| |
|
|
A B |
|
<IJ. |
|
|
|
G |
|
Сформулюємо правило заміни зміни у визначеному інтегралі за допомогою наступної теореми.
|
Теорема 5.16. Якщо в інтервалі |
|
)Œ, ’* |
функції |
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
то |
|
||
|
|
і |
|
неперервні і |
|
|
|
|
|||||||
|
A B |
Π|
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
, ’ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
+b |
…Š A B |
. |
|
|
|
(5.46) |
||||||
Доведення: Будемо вважати, що невизначений інтеграл |
|||||||||||||||
ліворуч відомий і дорівнює , звідси |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
b |
265 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Згідно заміні змінної у невизначеному інтегралі, інтеграл |
|
праворуч дорівнює A B, а тому |
|
…Š A B " |
A Œ B A ’ B , . |
Порівняємо отримані результати, маємо формулу (5.46). |
|
Зауваження 1. |
Перетворення підінтегрального виразу |
так, як і у невизначеному. Нові ж границі інтегрування Œ і ’ є
при заміні змінної у визначеному інтегралі відбувається саме
коренями рівнянь:
Œ , ’ ,.
Зауваження 2. При замінні змінної у визначеному
інтегралі повертатися до попередньої змінної не потрібно. Первісні обчислюються при нових границях інтегрування.
|
Приклад 5.36. Обчислити інтеграл t < |
10 |
< . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
0 |
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
< 1 |
|
|
|
||||
|
Розв’язання: |
|
|
|
|
X н |
|
|
|
< |
|
|
0Y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 |
|
|
|
|
t 1 |
|
||||||||||||||
t |
|
0 |
|
5 % |
|
0 |
|
|
|
5 1 |
5. |
|
в |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
æF |
|
|
GÄ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
C√< |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Приклад 5.37. Обчислити інтеграл |
|
t |
|
|
@< . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Розв’язання: |
|
"4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
C |
|
|
? |
|
|||
t @< |
|
|
|
3" |
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4K |
@K |
||||||
|
|
|
|
|
|
; " |
|
|
0; "н |
|
C 0 |
|
|
√ |
|
||||||||||||||
√ |
|
|
н: 2 2 " |
4 |
4 |
|
|
t |
|
K |
|||||||||||||||||||
F C |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2; "в |
|
|
√2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
в: 0 2 "4; "4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
266 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 t |
|
-" 1 |
|
|
|
G |
" |1 "|.% |
√2 |
||||||||
|
K |
. " 3 - |
|
|
||||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
K? |
|
|
|
C |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
√4 3 |
√2 3 ç1 √2ç |
|
|
|
0 |
|
|||||||||
4 |
C |
|
|
|
C |
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
µ |
|
|
|
|
|
Приклад |
5.38. Обчислити інтеграл |
ƒ |
<? |
|
|
||||||||
|
|
|
? |
=> ƒ@<. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
Розв’язання: При обчисленні цього визначеного |
|||||||||||||
інтегралу скористаємося формулами (5.38), (5.43), (5.46): |
||||||||||||||||
ƒ |
|
? |
|
|
|
<? |
|
? |
|
è |
|
|
|
|||
è? => µƒ@< |
|
R |
|
< |
@<U |
|
è |
|
é |
! |
|
|||||
è |
< |
|
|
|
|
н |
´ |
é |
! ? |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
´ G |
é |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
% |
|
|
1 0 |
1 |
|
|
è |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
´⁄2 |
|
|
|
|
|
|
4DE=< |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
. |
||
|
|
|
Приклад |
5.39. Обчислити інтеграл |
? |
@< |
||||||||||
|
|
|
Розв’язання: |
При |
обчисленні |
цього визначеного |
||||||||||
інтегралу, скористаємося універсальною тригонометричною підстановкою (5.17):
|
|
|
R |
|
|
"# < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ? U |
|
|
|
|
|
|
|||
è |
@< |
|
|
? |
|
|
·¸ |
|
|
@ |
|||
? |
|
|
|
|
@ |
|
|
ƒ¹¸? |
|
||||
t |
4DE=< |
|
|
? |
0 |
t |
4ƒƒ¹¸Z¸?? |
t |
?F0 |
||||
|
|
|
|
н |
"#0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
G |
|
|
в |
"# é; |
1 |
F√0 |
|
F√0 |
||||
|
|
F√0 |
1 |
|
|
||||||||
|
√0 |
% √0%« |
0 |
√0 |
% √0% |
√0 |
% √0 % |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
267 |
|
|
|
|
||
% F√0%
√0 √0 .
Приклад 5.40. Обчислити інтеграл t0 √25 .
Розв’язання: При обчисленні цього визначеного
інтегралу, для позбавлення від ірраціональності, скористаємося підстановкою (5.27) та формулами зниження степені тригонометричних функцій (5.24):
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ! " |
|
|
|
|
|
U |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
R |
5 " " |
|
|
|
|
||||
|
√25 |
|
√25 |
5 " |
|
|
0 |
|
||||||||
t |
|
|
н: 0 5 ! "; ! " 0; "н |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в: 5 |
5 ! "; |
! " |
1; "в |
|
|
é |
|
||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
25 ! " · 5 " · 5 " " |
|
è |
! 2" " |
|
|
|
|
||||||||
|
t? |
5;0 t? |
5 0 |
|
|
|||||||||||
|
5 0 |
è? |
|
|
|
5 0 |
|
|
|
´ë |
´ |
. |
||||
|
7 |
|
t 1 4" " |
G7 |
-" ; |
! 4".% 02 |
5 |
|
|
|||||||
5.13. ІНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ
|
|
|
|
|
) , ,* |
|
|
|||
Теорема 5.17. Нехай |
|
|
|
і |
( |
- |
диференційовані функції |
|||
|
|
відрізку |
|
|
, |
тоді |
|
|||
незалежної змінної на |
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ · ( ( % |
G |
|
|
( . |
|
|||||
+ |
(5.47) |
|||||||||
b |
|
|
, |
|
|
|
b |
|
|
|
Формула (5.47) має назву формули інтегрування частинами
визначених інтегралів.
268
|
Доведення: |
Нехай |
|
і |
|
- |
диференційовані |
функції |
||||
|
|
. Тоді |
справедливо наступне |
|
||||||||
незалежної змінної |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
· ( |
· ( · ( |
|
|
|||||||
Проінтегруємо обидві частини тотожності |
в границях від до ,, |
|||||||||||
маємо |
+b · ( |
+b · ( |
|
|||||||||
|
+b · ( |
(5.48) |
||||||||||
За визначенням первісної · ( |
· ( , тому |
|
||||||||||
|
|
,G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ · ( · ( % |
. Тотожність (5.48) можна переписати у |
|||||||||||
b |
|
|
||||||||||
вигляді |
( %,G b( · b · ( |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||
або |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
( |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ · ( ( % + |
, |
|
|||||||||
|
|
b |
|
|
|
, |
|
b |
|
|
|
|
що і треба було довести.
Зауваження: У формулі (5.47) букви і ( означаютьпредставлення· ( підінтегрального виразу у вигляді
. Не треба плутати це представлення з заміною змінної, тому нових змінних і границь інтегрування при інтегруванні частинами не виникає.
è <@<
C
Приклад 5.41. Обчислити інтеграл èW => ?<.
èC |
<@< |
Розв’язання: За формулою (5.47) маємо |
|
|
|||||||
¤ |
|
|
|
|
|
¥ · "# „ |
´⁄3G |
||||
è |
? |
< |
|
@< |
|
|
|
||||
W |
=> |
( |
? |
< |
( |
"# |
´⁄4 |
|
|||
|
|
|
|
=> |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
269 |
|
|
|
èC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´⁄3G |
|
|
|
|
|
´⁄3G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
è |
"# |
|
· "# „´⁄4 | !| „´⁄4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
é4 "# é4 é; "# é; √4 √ |
|
é; 4é√4 |
4. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Приклад 5.42. Обчислити інтеграл æ 4 . |
|
|
(5.47). |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Розв’язання: |
Скористаємося |
|
формулою |
|||||||||||||||||||||||||
Зауважимо, що інтегрувати частинами необхідно буде тричі: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
æ |
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
@<< |
|
|
|
4 |
|
|
G |
|
|
|
|
|||||||||
¤( |
|
|
|
( |
|
|
|
¥ · %1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
æ |
|
|
|
|
@< |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
· · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
@< |
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
< |
|
¤( |
|
% |
|
|
|
|
< . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
· |
4 |
1 · |
4 |
1 3 - · |
|
|
2 |
· · |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
@< |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
æ |
|
|
|
@< |
|
|
|
|
|
|
|||||
¤ |
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
< |
3 · 3 · 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
G |
( |
æ |
@< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· < . |
|
|
3 6 · 6 · 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
6 - · %1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
6 % |
G |
2 6 6 6 |
|
|
6 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
5.14. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5.14.1. Невласні інтеграли з нескінченими границями |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Визначення 5.5. |
|
|
), ∞ |
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Нехай |
функція |
+ |
|
|
визначена |
|
на |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
), ì* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limíÏÔ |
|
|
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
інтегровна на будь якому |
||||||||||||
півнескінченому інтервалі |
|
|
|
|
|
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
G |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
||
|
|
|
|
|
. Якщо існує |
границя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), ∞ |
|
|
|||||||||||||
відрізку |
|
|
|
|
G G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
називається інтегровну невласно на проміжку |
|
|
|
а |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
270 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Оставленные комментарии видны всем.