Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

Геометричний зміст доведеного наступний: площа

криволінійної трапеції

яка обмежена

графіком функції

і

дорівнює площі прямокутника,

з основою довжини

 

висотою довжини Í

(рис. 5.5).

 

,

Тотожність (5.41) можна переписати і як

 

 

+b

Í ,

.

 

 

Звідси теорему про середнє значення можна сформулювати наступним чином:

Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює добутку значення цієї функції в деякій проміжній точці інтервалу інтегрування на довжину інтервалу.

5.11. ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦЯ

Розглянемо визначений інтеграл +b , в якому нижня границя стала, а верхня границя змінна. Зрозуміло, що зі

зміною верхньої границі буде змінюватися і значення інтегралу, тобто інтеграл є функцією верхньої границі:

 

 

 

Þ

 

+< " ".

 

 

 

(5.42)

Якщо

 

,

то

 

 

y

 

 

 

f(ξ)

f(x+ x)

чисельно

 

дорівнює

площі

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)X

 

 

 

" • 0

 

 

Þ

 

 

 

 

 

криволінійної

трапеції

буде

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 5.6).

 

 

 

 

 

y=f(x)

 

 

 

 

Значення площі

 

Φ(x)

ΔΦ

 

 

змінюватися

в залежності

 

від

 

A

 

 

 

зміни .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

x

 

 

 

 

 

 

 

a

x

x+ x

Знайдемо

 

похідну

 

 

 

 

 

визначного

інтегралу

 

(5.42)

по

 

 

 

Рис. 5.6.

 

 

верхній границі. Для цього розглянемо теорему.

261

+<

(за

""Теорема 5.14. Якщо неперервна функція і Þ

, то справедливо наступне

 

 

 

 

 

Þ .

 

 

 

Доведення: Нехай аргумент

набуває

приріст

,

звідси

формулою (5.39)) маємо

 

 

 

Þ ∆

+< ∆< " "

+< " " << ∆< " ".

Обчислимо приріст функції:

∆Þ

Þ ∆ Þ

 

+< " " << ∆< " " +< " " << ∆< " ".

Для отриманого інтегралу застосуємо теорему про середнє

значення інтегралу (теорему 5.13):

∆Þ Í ∆ Í · ∆, де f Í f ∆.

∆<

 

∆<

Í

 

 

 

Знайдемо відношення приросту функція до приросту

аргументу: ∆à

Ú á ·∆<

 

.

 

 

 

За визначенням похідної маємо

 

 

 

 

Þ

lim ∆Þ

lim Í

 

 

 

∆<Ït ∆

∆<Ït

 

Зрозуміло, що при ∆ Ï 0, Í Ï , тому

 

.

 

lim∆<Ït Í

limáÏ< Í

 

 

Þ

 

, що і

 

 

.

 

 

 

 

 

неперервна, отже

За умовою теореми

функція

 

остаточно маємо

 

 

 

треба було довести

 

 

 

 

262

 

 

 

Теорема 5.15. Значення визначеного інтегралу дорівнює

різниці значень будь-якої первісної від підінтегральної функції,

обчисленої при

 

і

,, тобто границях інтегрування:

 

 

 

+b

, .

 

(5.43)

Формула (5.43) називається формулою Ньютона-Лейбниця.

функції

. Але дві

 

 

 

 

+

" "

 

 

 

.

Доведення:

Нехай

 

 

- деяка первісна від функції

на сталу

 

(

 

 

 

 

5.1).

 

 

 

первісною від

 

 

5.14

функція

 

 

 

 

 

 

За теоремою

 

 

 

 

<

 

 

також

є

 

 

 

 

 

 

 

 

первісні від однієї функції відрізняються

 

величину

 

 

теорема

 

 

Тому можемо записати

 

 

 

 

 

 

 

+< " "

 

 

, для

(5.44)

Спробуємо

визначити

значення

 

цього

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інтегралу а саме

 

скористуємося властивістю визначного

 

 

,

 

Звідси

 

 

 

++

0.

 

 

 

0, тобто

 

 

.

 

 

 

Отже,

 

+< " "

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Підставимо , і повернемося до змінної , остаточно маємо

 

 

 

+b

 

 

,

,

 

 

 

що і треба було довести.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Різницю функцій часто записують як

 

 

 

 

 

 

,

 

,.

 

 

 

 

 

 

% G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

263

 

 

 

 

 

264

З урахуванняv останнього позначення, перепишемо формулу Ньютона-Лейбниця у вигляді, яким і будемо користатися:

+b %,G

, .

(5.45)

 

 

 

Формула Ньютона-Лейбниця дає нам основний спосіб обчислення визначених інтегралів не виконуючи додавання, а лише за допомогою первісною, тобто за допомогою невизначеного інтегрування.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<?

 

 

 

.

 

Приклад 5.33. Обчислити інтеграл

4

0<WF4<?F9< 4

 

 

Розв’язання: Скористаємося формулою Ньютона-

Лейбниця і основними властивостями визначеного інтегралу

 

 

<?

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

<?

 

4 0<WF4<?F9< 4

 

0

4

4

4

9

4

@<

4

4

@<

 

0 <C

3G

4<

3G 9

 

3G 4 3G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

%1

 

 

%1

 

â ã %1

< %1

4

23 9 3.

 

 

 

 

;0 50

 

: 4

9

3 9

1 54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<C <

.

 

 

 

 

 

 

Приклад 5.34. Обчислити інтеграл

 

@<

 

 

 

 

 

 

Розв’язання: Для

обчислення визначеного інтегралу,

згадаємо правило знаходження первісної від раціонального дробу

 

 

 

 

 

n

o< —

 

 

 

 

@<

R 1

<C < <

<?

U

@<

<@<

p 1

 

<C <

 

1 p

p ”

 

<

<?

 

 

0

p ”,

” p 1

 

 

 

 

 

G

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

1

p

 

 

 

 

 

 

2G

 

 

 

 

2G

2 1

 

 

 

| | %1 |

 

1| %1

 

5 2

4

2 5

24

5

 

07.

 

 

 

 

Приклад 5.35. Обчислити інтеграл 4 <?@<<.

@<

 

Розв’язання:

4

@<

 

 

4

 

@<

 

4

 

%<% %

 

 

 

 

<?<

 

<?< F

 

< ?F

 

%<% %

3G

 

0

 

 

0

 

< F 3G

 

 

 

 

<

 

 

4

 

 

 

5.

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

5.12. ЗАМІНА ЗМІННОЇ У ВИЗНАЧЕНОМУ ІНТЕГРАЛІ

Як і при знаходженні первісної при невизначеному інтегруванні, одним з найпоширеніших методів є метод заміни змінної. Але заміна змінної в визначеному інтегралі потребує більшої уваги.

Нагадаємо, що за формулою (5.7) у невизначеному

інтегралі має місце тотожність

|

 

A B

 

<IJ.

 

 

G

Сформулюємо правило заміни зміни у визначеному інтегралі за допомогою наступної теореми.

 

Теорема 5.16. Якщо в інтервалі

 

)Œ, ’*

функції

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

то

 

 

 

і

 

неперервні і

 

 

 

 

 

A B

Œ

 

 

,

 

 

 

 

 

 

, ’

 

 

 

 

 

 

+b

Š A B

.

 

 

 

(5.46)

Доведення: Будемо вважати, що невизначений інтеграл

ліворуч відомий і дорівнює , звідси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

265

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ,

 

 

 

 

 

 

 

Згідно заміні змінної у невизначеному інтегралі, інтеграл

праворуч дорівнює A B, а тому

Š A B "

A Œ B A ’ B , .

Порівняємо отримані результати, маємо формулу (5.46).

Зауваження 1.

Перетворення підінтегрального виразу

так, як і у невизначеному. Нові ж границі інтегрування Œ і є

при заміні змінної у визначеному інтегралі відбувається саме

коренями рівнянь:

Œ , ’ ,.

Зауваження 2. При замінні змінної у визначеному

інтегралі повертатися до попередньої змінної не потрібно. Первісні обчислюються при нових границях інтегрування.

 

Приклад 5.36. Обчислити інтеграл t <

10

< .

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

0

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

< 1

 

 

 

 

Розв’язання:

 

 

 

 

X н

 

 

 

<

 

 

0Y

 

 

 

 

 

 

t

 

 

1

 

 

 

 

t 1

 

t

 

0

 

5 %

 

0

 

 

 

5 1

5.

 

в

 

 

1

 

 

 

æF

 

 

GÄ

1

 

 

 

 

 

 

 

 

F

C√<

 

 

 

 

 

 

Приклад 5.37. Обчислити інтеграл

 

t

 

 

@< .

 

 

 

 

 

Розв’язання:

 

"4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

C

 

 

?

 

t @<

 

 

 

3"

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4K

@K

 

 

 

 

 

 

; "

 

 

0; "н

 

C 0

 

 

 

 

 

н: 2 2 "

4

4

 

 

t

 

K

F C

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2; "в

 

 

√2

 

 

 

 

 

 

в: 0 2 "4; "4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

266

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 t

 

-" 1

 

 

 

G

" |1 "|.%

2

 

K

. " 3 -

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

K?

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3

2 3 ç1 √2ç

 

 

 

0

 

4

C

 

 

 

C

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

µ

 

 

 

 

 

Приклад

5.38. Обчислити інтеграл

ƒ

<?

 

 

 

 

 

?

=> ƒ@<.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

Розв’язання: При обчисленні цього визначеного

інтегралу скористаємося формулами (5.38), (5.43), (5.46):

ƒ

 

?

 

 

 

<?

 

?

 

è

 

 

 

è? => µƒ@<

 

R

 

<

@<U

 

è

 

é

!

 

è

<

 

 

 

 

н

´

é

! ?

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´ G

é

.

 

 

 

 

 

 

%

 

 

1 0

1

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

´⁄2

 

 

 

 

 

 

4DE=<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

.

 

 

 

Приклад

5.39. Обчислити інтеграл

?

@<

 

 

 

Розв’язання:

При

обчисленні

цього визначеного

інтегралу, скористаємося універсальною тригонометричною підстановкою (5.17):

 

 

 

R

 

 

"# <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ? U

 

 

 

 

 

 

è

@<

 

 

?

 

 

·¸

 

 

@

?

 

 

 

 

@

 

 

ƒ¹¸?

 

t

4DE=<

 

 

?

0

t

4ƒƒ¹¸??

t

?F0

 

 

 

 

н

"#0

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

в

"# é;

1

F√0

 

F√0

 

 

F√0

1

 

 

 

√0

% √0

0

√0

% √0%

√0

% 0 %

 

 

 

 

 

 

 

267

 

 

 

 

% F√0%

√0 √0 .

Приклад 5.40. Обчислити інтеграл t0 25 .

Розв’язання: При обчисленні цього визначеного

інтегралу, для позбавлення від ірраціональності, скористаємося підстановкою (5.27) та формулами зниження степені тригонометричних функцій (5.24):

 

 

 

 

 

 

 

 

5 ! "

 

 

 

 

 

U

0

 

 

 

 

 

 

R

5 " "

 

 

 

 

 

25

 

√25

5 "

 

 

0

 

t

 

 

н: 0 5 ! "; ! " 0; "н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в: 5

5 ! ";

! "

1; "в

 

 

é

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25 ! " · 5 " · 5 " "

 

è

! 2" "

 

 

 

 

 

t?

5;0 t?

5 0

 

 

 

5 0

è?

 

 

 

5 0

 

 

 

´ë

´

.

 

7

 

t 1 4" "

G7

-" ;

! 4".% 02

5

 

 

5.13. ІНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

 

 

 

 

 

) , ,*

 

 

Теорема 5.17. Нехай

 

 

 

і

(

-

диференційовані функції

 

 

відрізку

 

 

,

тоді

 

незалежної змінної на

 

 

 

 

 

 

 

+ · ( ( %

G

 

 

( .

 

+

(5.47)

b

 

 

,

 

 

 

b

 

 

Формула (5.47) має назву формули інтегрування частинами

визначених інтегралів.

268

 

Доведення:

Нехай

 

і

 

-

диференційовані

функції

 

 

. Тоді

справедливо наступне

 

незалежної змінної

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

· (

· ( · (

 

 

Проінтегруємо обидві частини тотожності

в границях від до ,,

маємо

+b · (

+b · (

 

 

+b · (

(5.48)

За визначенням первісної · (

· ( , тому

 

 

 

,G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ · ( · ( %

. Тотожність (5.48) можна переписати у

b

 

 

вигляді

( %,G b( · b · (

 

 

 

або

 

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ · ( ( % +

,

 

 

 

b

 

 

 

,

 

b

 

 

 

що і треба було довести.

Зауваження: У формулі (5.47) букви і ( означаютьпредставлення· ( підінтегрального виразу у вигляді

. Не треба плутати це представлення з заміною змінної, тому нових змінних і границь інтегрування при інтегруванні частинами не виникає.

è <@<

C

Приклад 5.41. Обчислити інтеграл èW => ?<.

èC

<@<

Розв’язання: За формулою (5.47) маємо

 

 

¤

 

 

 

 

 

¥ · "# „

´⁄3G

è

?

<

 

@<

 

 

 

W

=>

(

?

<

(

"#

´⁄4

 

 

 

 

 

=>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

269

 

 

 

èC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´⁄3G

 

 

 

 

 

´⁄3G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

"#

 

· "# „´⁄4 | !| „´⁄4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é4 "# é4 é; "# é; 4

 

é; 4é√4

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 5.42. Обчислити інтеграл æ 4 .

 

 

(5.47).

 

 

 

 

 

Розв’язання:

Скористаємося

 

формулою

Зауважимо, що інтегрувати частинами необхідно буде тричі:

 

 

 

æ

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

3

@<<

 

 

 

4

 

 

G

 

 

 

 

¤(

 

 

 

(

 

 

 

¥ · %1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

@<

 

 

 

 

 

 

 

 

2

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

· ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

@<

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

¤(

 

%

 

 

 

 

< .

 

 

 

 

 

·

4

1 ·

4

1 3 - ·

 

 

2

· ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@<

 

 

 

 

 

 

G

 

 

æ

 

 

 

@<

 

 

 

 

 

 

¤

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

3 · 3 · 1

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

G

(

æ

@<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· < .

 

 

3 6 · 6 · 1

 

 

 

6 - · %1

 

 

 

 

 

6 %

G

2 6 6 6

 

 

6 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.14. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.14.1. Невласні інтеграли з нескінченими границями

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 5.5.

 

 

), ∞

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай

функція

+

 

 

визначена

 

на

 

 

 

 

 

 

), ì*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limíÏÔ

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інтегровна на будь якому

півнескінченому інтервалі

 

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

. Якщо існує

границя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

), ∞

 

 

відрізку

 

 

 

 

G G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

називається інтегровну невласно на проміжку

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

270

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.