Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

 

:

 

(

 

· 0

(

 

 

 

 

 

 

 

(

 

:

(

¸ 0

), 7, Ž

функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

похідна

 

Якщо на всьому досліджуваному інтервалі

 

 

 

 

додатна

 

 

 

 

 

 

 

 

або

 

від ємна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

на ньому строго зростає

строго спадає).

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• 7, Ž .

∆ · 0

 

 

 

7, Ž

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Необхідність.

 

 

Якщо

 

функція

 

 

 

 

 

 

 

 

зростає

на

 

 

 

Ã,

0

 

:

 

 

 

 

 

à 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інтервалі

 

 

,

 

то для будь-якої точки

 

 

при

 

 

 

маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆ 0

 

 

 

Звідси

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перейдемо до границі при

 

 

 

 

 

маємо

 

( Ã 0

 

 

 

 

 

lim∆ ∆

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 0:

 

• 7, Ž маємо

 

 0. Звідси

 

Аналогічно,

якщо функція спадає, то

для

 

будь

 

якої точки

 

lim∆ ∆

lim

 

 

 

 

 

 

( Â 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

Достатність. Візьмемо в досліджуваному інтервалі дві

 

 

 

(4.45) 1

 

B:

такі, що

7 ¸ 1 ¸ B

¸ Ž

.

 

 

 

 

 

 

 

будь які точки

 

 

і

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

За формулою

Лагранжа

 

 

маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

¸

¸ B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S R

 

( ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

¸ B

 

 

 

 

 

 

B

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

.

B , 1 (

· 0,

 

 

B

1 · 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тому що

 

 

 

 

 

 

 

, різниця

 

 

 

 

додатна і знак різниці

 

 

 

 

повністю

визначається

знаком

 

похідної

 

 

 

Отже якщо

 

 

 

 

 

 

 

то

1

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B ·

при B · 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а з цього прямує, що функція

 

 

зростає.

 

 

 

 

¸ 0

 

цього прямує, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

· 1

,

 

 

спадає.

 

 

 

 

 

 

 

B

¸ 1

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

,

а з

 

Якщо похідна

 

 

(

 

 

всюди від’ємна,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

 

 

 

 

 

 

 

тобто

 

функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

191

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4.2. Екстремуми функції

 

 

 

Особливу

 

 

увагу

потрібно

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M2

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приділити тим значенням не залеж-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ної

змінної

,

які

 

відокремлюють

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зростання

від

інтервалу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інтервал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

спадання або інтервал спадання від

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інтервалу

 

зростання

 

 

функції

 

 

a

 

O

x1

 

 

x2

 

 

x3

 

x4b x

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 4.6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.6.

 

 

 

 

 

 

 

Визначення

 

4.12.

 

Нехай

функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначена в деякому околі точки

 

.

Точка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

називається

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точкою

 

максимуму функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

,

якщо

 

в

 

 

є

найбільше

 

значення

 

 

 

 

Рис.04.7, а

функції

 

 

 

 

деякому околі

точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 4.7, ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення

 

4.13.

 

Нехай

функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначена в деякому околі точки

 

.

Точка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

називається

 

точкою

мінімуму функції

 

 

 

 

 

x0

 

 

x

 

 

 

 

,

якщо

 

 

 

 

 

є

найменше

 

значення

 

 

 

 

Рис. 4.7, б

функції в деякому околі точки

 

рис

 

 

 

 

 

 

 

б

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

. 4.7,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точки максимуму та мінімуму називаються точками

екстремуму функції.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 4.2. (необхідна ознака екстремуму). Якщо точка

 

є точкою екстремуму функції, то похідна функції в цій точці

або дорівнює нулю

:

( 0,

або не існує

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення: Дійсно, якщо точка

 

 

 

 

 

є точкою екстремуму

функції

,

то

значення

 

 

функції

в

ній

 

є

 

найбільшим

(

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найменшим) в деякому околі точки

 

. Звідси прямує, що якщо

в точці

 

існує похідна

,

 

то за теоремою Ферма

,

вона дорівнює

нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 4.3.(достатня ознака існування екстремуму

функції

). Точка

є точкою екстремуму функції

 

, якщо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

192

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

протилежний;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

переході

 

через

 

 

похідна

 

 

 

(

 

 

змінює

 

знак на

 

 

при

зміні

 

знака

 

на

 

 

 

 

точка

 

є

точкою

максимуму, при зміні на

точка

 

є точкою мінімуму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Доведення: Нехай при переході

 

 

зліва направо через

 

 

 

 

 

 

 

; з цього

прямує що ліворуч точки

похідна змінює знак з на

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

,

 

 

 

функції

,

а праворуч

 

 

 

інтервал

зростання

 

 

розташований

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інтервал спадання функції Тобто точка

є точкою максимуму

функції.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогічно можна переконатися, що при зміні знакапохідної з на і при переході через зліва направо точкає точкою мінімуму функції.

4.4.3. Схема дослідження функції на монотонність та екстремум

Вкажемо послідовність дій для з’ясування інтервалів монотонності та екстремумів функції як в кінцевому, так і в нескінченному інтервалі.

1.З’ясуємо область визначення функції (ОВФ).

2.Знайдемо( критичні0 точки, похідна в яких дорівнює нулю або не існує.

3.Нанесемо на числову вісь (або в таблицю) точки, похідна в яких дорівнює нулю або не існує, та точки, в яких функція не існує. Таким чином ми розіб’ємо числову вісь на часткові інтервали, в кожному з яких похідна не змінює знак. Ці інтервали є інтервалами монотонності функції.

4.З’ясуємо знак похідної в кожному з часткових інтервалів, для цього достатньо встановити знак у

будь-якій точці обраного інтервалу. За знаком похідної визначаємо характер поведінки функції( · 0в кожному з інтервалів монотонності( ¸ 0: якщо , то функція зростає, якщо - спадає.

193

5.Прослідкуємо за зміною знака похідної при переході зліва направо через границі інтервалів монотонності функції і з’ясуємо, які з критичних точок є мінімумами, а які – максимумами. Може так статися, що деяка точка не є точкою екстремуму функції. Це може статися, якщо в двох суміжних інтервалах, які

поділяються вказаною критичною точкою, похідна має однаковий знак.

6.Підставимо у функцію значення незалежної

 

змінної, в яких ми встановили існування екстремуму

 

і обчислимо екстремальні значення функції.

 

Приклад 4.40. Дослідити функцію

 

 

 

M

на

монотонність та екстремуми.

 

 

 

 

 

1

 

Розв’язання:

 

 

 

 

 

 

 

 

0; • 1

 

• ∞; 1 Ð 1; ∞

 

 

 

 

 

Встановимо область визначення функції

 

ОВФ

 

, тобто

 

 

(

.

(

 

 

): 1 •

Знайдемо похідну функції:

=S 1 M

BM=S.

 

 

 

 

 

1S

 

 

1S

 

 

 

 

( 0; B1=S

0;

 

Знайдемо критичні точки

 

 

M S

 

 

 

 

 

1 0, B =B.

З’ясуємо знак першої похідної в отриманих часткових інтервалах, встановимо характер поведінки функції. Результати досліджень зведемо у таблицю:

194

 

x ∞; 2y

2

 

 

x 2 ; 1y

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

не

 

0

 

 

 

 

 

 

 

існує

 

 

 

 

зростає

Ñm

4

 

спадає

 

спадає

Ñg*

зростає

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або на числову пряму (рис. 4.8):

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+

y /

 

x

 

 

 

 

 

 

 

- 3

-1

 

 

0

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.8.

 

• , ∞; B=- Ð 0; ∞,

 

Отже, функція зростає на інтервалі

 

спадає на

інтервалі

• , B=

; 1- Ð

1; 0 .

В точці

B=

 

функція має максимум:

Ñm

 

BY, а в точці

0

-

мінімум:

 

Ñg* 0

.

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4.4. Найбільше і найменше значення функції в інтервалі

 

Розв’язання задачи на найбільше та найменше значення

 

функції в

інтервалі

пов’язано

з

 

y

 

 

 

 

 

 

дослідженням

функції

 

на f(b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

монотонність

та

екстремум.

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

Зрозуміло,

що

функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

може приймати найбільше

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найменше

 

значення або

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

f(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точках екстремуму, або на кінцях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

інтервалу

 

.

 

Можливу

 

O

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2

b

 

 

 

 

 

 

ситуацію

проілюструємо

на

 

 

 

 

 

Рис. 4.9.

 

 

 

 

 

 

 

À7; ŽÁ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис. 4.9. Отже, для знаходження найбільшого і найменшого значення функції необхідно:

195

z=M;

1.Розв’язати задачу на екстремум функції.

2.Обчислити значення функції в точках екстремуму (лише тих, що належать обраному інтервалу) і на кінцях інтервалу.

3.Порівняти отримані значення і обрати з них найбільше та найменше.

Окремо розглянемо задачки, в яких дві величини пов’язані функціональною залежністю, і потрібно знайти значення однієї з них (це значення може бути або обмеженим певним інтервалом, або необмеженим), при якому інша приймає найбільше або найменше значення. Для розв’язання таких задач необхідно скласти рівняння, яке описує функціональну залежність цих величин, а потім знайти найбільше або найменше значення функції за описаною схемою.

Прикладln 4.41. ЗнайтиÀoнайбільше=; 1Á і найменше значення функції в інтервалі .

Розв’язання:

Проведемо дослідження функції на екстремум:

ОВФ: · 0 або • 0, ∞ .( 1 · ln · 1 ln 1

;

( 0; ln 1 0; ln 1; o 1 1z.

Критична точка належить досліджуваному інтервалу. Обчислимо значення функції в критичній точці і на кінцях

інтервалу:

o = o = ln o = z1M ln o = z=M ln o,1z- 1z ln o 1 1z ln o 1z;

196

1 1 · ln 1 0;

 

z1:

1: ¥ 1 0 а найменше значення

– в точці

Отже, найбільше значення функція

набуває в

точці

,z1- z1.

 

 

Приклад 4.42. Визначити, при яких розмірах відкритого басейну з квадратним дном, на облицювання стін і дна буде затрачено найменшу кількість матеріалу. Об’єм басейну фіксований.

 

 

 

Розв’язання: Басейн має форму прямокутного

паралелепіпеду. Його об’єм визначається за формулою

 

 

 

.

Позначимо сторону основи квадратного дна басейну за

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Звідси площа основи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

осн · Ó

 

 

 

 

 

 

 

осн B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÔS. Маємо бічну

 

 

 

Висоту басейну визначимо як Ó µоснÔ

площу поверхні

біч 4Ó · 4 ÔS

· . Отже,

загальна

площа, яку необхідно облицювати,

дорівнює

 

 

 

.

Дослідимо цю функцію на екстремум:

 

 

 

B

( 2

 

B M ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 0; 2= 4 0; M2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Після з’ясування знаків

 

 

(

 

в

кожному

з

 

часткових

інтервалів

,

встановили

що в точці

 

 

M

функція набуває

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мінімуму.

 

Отже,

при стороні дна

 

 

2і висоті

Ó M Ô

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√AÔ

M Ô басейн фіксованого об’єму потребує найменшу кількість

облицювальногоA

матеріалу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

197

4.4.5. Опуклість та угнутість функцій. Точки перегину

Визначення 4.14. Дуга називається опуклою, якщо вона перетинається з будь-якою своєю січною не більш, ніж в двох точках.

Якщо дуга опукла, вона цілком розташована по одну сторону від дотичної, проведеної в будь-якій точці. Опукла дуга може обертатися як опуклістю вгору (рис. 4.10, а), або донизу

(рис. 4.10, б).

Лінії, обернені опуклістю вгору, називаються опуклими (опукла дуга розташована під дотичною); лінії, обернені опуклістю донизу, називаються угнутими (опукла дуга розташована над дотичною).

y

 

 

B

 

y

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

x1

x2 x

O

 

 

x1

x2 x

 

 

 

 

(а)

 

 

 

 

 

 

(б)

 

 

 

Рис. 4.10.

 

 

Особливу роль грають точки, які відділяють інтервали опуклості і угнутості функції.

Визначення 4.15. Точкою перегину функції називається точка лінії, яка відділяє опуклу дугу від угнутої.

В точці перегину функції дотична перетинає лінію; в околі цієї точки лінія розташована по обидві сторони від дотичної.

198

З’ясуємо ознаки опуклості та угнутості функції та умови існування точок перегину.

інтервалі,7, Ž

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 4.4. Для того щоб двічі диференційована на

інтервалі

функція

була опукла (угнута) на цьому

0 (додатною (( Â 0).

 

 

 

 

 

((

Ã

 

необхідно і

достатньо

 

щоб

в усіх

точках

цього

інтервалу друга похідна функції була від’ємною,

тобто

 

 

 

ÆDB, BH

 

 

 

 

 

 

 

Доведення: Проведемо пряму через точки

 

 

 

 

і

,

які належать графіку

функції

ÅD1, 1.HЇї

рівнянням є

 

 

 

 

S R R S .

 

 

 

 

 

 

 

 

S R

 

 

n.

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Позначимо

праву

частину

рівняння

через

Тому

рівняння січної має вигляд

 

.

 

 

 

Нехай 7 ¸ 1 ¸ ¸ B ¸ Ž. Знайдемо різницю

 

 

n

 

 

 

S R

 

 

S R

 

 

S R R S

 

R S

 

À S Á R À RÁ S .

 

 

 

 

 

 

 

 

S R

 

 

 

 

 

За теоремою Лагранжа маємо

S R

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V × S R V Ø R S

 

 

 

 

 

” V × V Ø • S

R ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S R

 

 

 

 

 

де 1 ¸ Ù ¸ ¸ Ú ¸ B.

Знов скористаємося теоремою Лагранжа:

199

 

n

 

(( Û B 1 Ú Ù

 

 

 

;

¸ 0

B 1

 

7; Ž

 

 

, тобто функція

 

 

 

.

 

((

· 0

 

 

 

,

що якщо

((

 

 

 

 

,

то

Звідси бачимо,

 

на інтервалі

 

n ·

 

 

опукла

а якщо

 

 

 

 

на інтервалі

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

тобто функція угнута

 

 

 

 

 

 

 

n ¸ 7; Ž,

Теорема 4.5.

(необхідна

 

умова

існування точок

перегину).

 

 

 

 

 

 

 

(( 0

 

 

 

 

Якщо в точці

 

перегину функції

.

існує

друга похідна, то вона

дорівнює нулю

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 4.6. (достатня умова існування точок

перегину).

Точка

 

 

(якщо

в

цій

точці

 

виконується

 

 

((

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

точкою перегину лінії

 

 

 

якщо друга

необхідна умова) є ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

переході через

 

похідна функції

 

змінює знак при

 

 

 

 

 

Пропонуємо читачеві провести доведення цих теорем самостійно.

4.4.6. Схема дослідження функції на опуклість, угнутість і точки перегину

Вкажемо послідовність дій для з’ясування інтервалів опуклості, угнутості і точок перегину.

1.З’ясуємо область визначення функції (ОВФ).

2.Знайдемо критичні точки((, тобто0точки, друга похідна в яких дорівнює нулю або не існує.

3.Нанесемо на числову вісь (або в таблицю) критичні точки та точки, в яких функція не існує. Таким чином ми розіб’ємо числову вісь на часткові інтервали, в кожному з яких друга похідна не змінює знак. Ці інтервали є інтервалами опуклості або угнутості функції.

4.З’ясуємо знак другої похідної в кожному з часткових інтервалів, для чого достатньо встановити знак у будь-якій точці обраного інтервалу. За знаком другої

200

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.