Пособие_ВМ_для_менеджеров

Нехай

дано функцію

Знайдемо швидкість

зміни функції на інтервалі

. Для.

цього по приросту

аргументу

знайдемо

приріст функції

і розглянемо їх

відношення∆:

, ∆

∆

∆

∆ .

∆

∆

∆

Визначення 4.1. Відношення

називається середньою

швидкістю сер. зміни функції на

інтервалі

, ∆.

∆

швидкість характеризує зміну функцію,тому примушуємо

приріст аргументу прямувати до нуля: ∆ 0.

Визначення 4.2. Швидкістю зміни функції в даній точці

на

називається

границя

середньої

швидкості

зміни

функції

інтервалі

, ∆ при прямуванні ∆ до нуля:

∆

lim∆ сер.

lim∆ ∆

lim∆

∆

∆ .

Отже

швидкість зміни функції

визначається

послідовним

,виконанням наступних дій:

1)

По приросту

, яке

надається

даному значенню

змінної

,

знаходиться

відповідний

2)

незалежної

∆

Складається

∆

∆;

приріст функції

∆

;

відношення

якщо вона

3)

цього відношення

(

Знаходиться границя

∆

∆

довільному прямуванні

до нуля

існує) при

131

.

якщо така границя існує:

∆

lim∆

∆ .

(4.1)

математичному аналізі. Один з засновників аналізу І. Ньютон

швидкість руху. - читаємо «еф штрих від ікс».

прийшов до поняття похідної,

розв’язуючи питання при

Користуючись визначенням похідної, можна сказати,

що:

! " по

2)

1)

швидкість прямолінійного руху є похідна від закону

руху

по часу

;

лінійна щільність є похідна від маси

4.1.3. Техніка диференціювання елементарних функцій

1. Похідна константи. Нехай

.

∆ ∆ 0

'

. Отже

∆ . '.

змінної

функція

дорівнює

При значенні

незалежної

'

відповідає

.

аргументу

Новому значенню

(4.2)

∆∆ 0

lim∆ ∆∆ 0 .

значення функції

Але

звідси

і

∆

∆ ∆

∆∆

1 .

( 1

(4.3)

незалежної змінної

Нехай

тоді

2.

Похідна

.

, тому і , .

∆

. Звідси

і

(

3.

.

1

*.

∆ -*

∆ ∆*

.

+ ,1 ∆ -.*

* ,1

Похідна степеневої функції

Нехай

Тоді

∆

*

∆

*

*

*

+,1

∆

*

.

,1

-

- 1.

Складемо відношення

∆

/0,1 ∆22

-/ 13

22/0,1 ∆22 -/ 13

* 1

0,1 ∆22

-/ 13

.

∆

∆

∆2

∆2

∆ 4

2

2

lim5

Положимо

і

згадаємо

«важливу

границю»

5

7

,

1 5 6 1

маємо

або

( lim∆ ∆∆ * 1 · 9

* (

9 · * 1

.

(4.4)

Доведення:

, і

:

Нехай 4 :.

∆

.

4

:

4 ∆4, : ∆:

,

∆ 4 ∆4 : ∆:

Нове значення аргументу

, при цьому набуває приросту і

Звідси

∆∆ ∆5∆

∆∆;.

Спрямуємо ∆ 0. За визначенням похідної маємо

lim∆ ∆5∆ 4 ,

lim∆ ∆∆;

: .

Звідси lim∆ ∆∆ 4( : ,

або

4 : (

4( :

(4.5)

<

= 6.

Приклад 4.1. Знайти похідну функції

Розв’язання: ( 5 · < 1

3 · = 1

0 5 A 3 B.

∆∆ ∆5∆ · : 4 · ∆∆; ∆5∆ · ∆:.

при ∆ 0 ( lim∆ ∆∆ 4( · : 4 · :( 4 · 0.

Отже остаточно маємо

4 · : ( 4( · : 4 · :(

(4.6)

Приклад 4.2. Знайти похідну функції

A B 7

· D3 √ FH

Розв’язання: 4 A B 7;

G

.

: 3 G√ F 3 G;

4( 4 = 2 ; :( <

G

< √ =

J

F

M

F G

.

< √ =

( 4 = 2 · D3

√ FH A B 7 ·

G

F G

.

3. Винесення постійного множника за знак похідної.

4

. Так як

, то' · 4

( ' · 4

' · 4 ' ·

'( 0

.

(

(

Нехай

За теоремою 2 маємо

маємо

або

' · 4 ( ' · 4

.

(4.7)

Наслідок. Справедлива формула

,N5-( 5(N

.

(4.8)

N5.

Доведення: Розглянемо

функцію

Винесемо

константу за знак похідної: ( ,N5-(

N1 4(

5(N .

135

добутком діленого на похідну дільника.

;

∆

; ∆;

Нехай

5, тоді

5 ∆5.

Приріст функції дорівнює

; ∆; ;

; ∆; ;

∆ ; ∆; ;

; ∆; ;

5 ∆5 5

5 ∆5 ; 5 ; ∆;

5; ∆5; 5; 5∆;

∆5; 5∆;.

Складемо відношення

∆

∆T∆2; 5∆2∆U.

∆

; ∆; ;

при ∆ 0 (так як ∆: 0) отримаємоV

;S

.

( lim∆ ∆

∆

5 ; 5;(

Отже остаточно маємо

,;-

;S

5

5V; 5;(

.

(4.9)

,N;-( N·;(;S

.

(4.10)

N;.

За теоремою 3

Доведення: Розглянемо функцію

(

N

;S

'( 0

(

;S

маємо

V

. Так як

, остаточно маємо

.

A B

Приклад 4.4. Знайти похідну функції

S

.

2

4; :(

6

.

4 4 2; : 3 4; 4

Розв’язання:

B

B

(

(

B A ·D= S AH D S A BH·W

W M 1B S F 1W W M BA S 1B

1B

= S A S

= S A S

A 1W

S

.

= S A S

Доведення:

4 , 4 X. Доведемо, що

Нехай

( (4

· 4( (4

· X( 5( · 4( .

∆

Дамо аргументу

приріст

; цей приріст спричиняє

∆

,

яке зумовить зміну функції

аргументу

приріст проміжного

∆

у вигляді

на . Складемо відношення ∆ ∆4

lim∆ ∆ lim∆ ∆5

· lim∆ ∆

∆

∆

∆5.

Так як lim∆ ∆5∆ 5( і lim∆ ∆5∆ 4( , то

( 5( · 4(

(4.11)

Приклад 4.5. Знайти

7 < 12 W

похідну функції

4W, отже 5( 64<, 4(

35 A:

4 7

<

12

Розв’язання: Тут проміжний

аргумент

,

( 5( · 4( 64< · 35 A 6 7 < 12 < · 35 A.

Зауваження: Припустимо тепер, що функція

двох а з

може бути представлена ланцюгом, що складається не з ,

трьох функцій: 4 ,

4 X : ,

: $ .

Згідно з теоремою маємо

( 5( · 4 .

X;( · :( X;(

· $( .

4

.

4

4(

де

- похідна від

, яка в свою чергу є функцією від незалежної

ланцюжка 411,

Розв’язання:

Представимо

цю функцію

у вигляді

4 15 √:, : 2 Y

3

, отримаємо

(

M

(

1

1

MS

W

11 (

M

Y

3

(

114

:

· 2 · 7

4

· D15 √:H

· 2

· =

=

D15

√2 Y 3H

· M[ B \ = S

1<A

M

1

Z

.

4.1.6. Похідні обернених функцій

.

X

-

∆

Нехай

і

пара взаємно обернених

дорівнює нулю.

(

lim∆ ∆

функцій Нам

відома

похідна

і

вона не

Так як

∆ 0 при

∆ 0,

то з тотожності

∆∆ ∆]1

отримаємо

lim∆ ∆∆

1

∆2

∆],

^_`∆2 a∆2