Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

Розділ 4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

4.1. ПОХІДНА ТА ДИФЕРЕНЦІАЛ

4.1.1. Поняття похідної як швидкості зміни функції

Нехай

дано функцію

 

 

 

 

 

Знайдемо швидкість

зміни функції на інтервалі

 

. Для.

цього по приросту

аргументу

знайдемо

приріст функції

 

 

і розглянемо їх

відношення:

 

 

, ∆

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 4.1. Відношення

називається середньою

швидкістю сер. зміни функції на

інтервалі

, ∆.

 

 

Зрозуміло, що чим менший інтервал, тим краще середня

швидкість характеризує зміну функцію,тому примушуємо

приріст аргументу прямувати до нуля: ∆ 0.

 

 

 

 

 

 

Визначення 4.2. Швидкістю зміни функції в даній точці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на

називається

границя

 

середньої

 

швидкості

зміни

функції

 

 

інтервалі

, ∆ при прямуванні до нуля:

 

 

 

 

lim∆ сер.

lim∆ ∆

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Отже

швидкість зміни функції

 

 

 

 

визначається

послідовним

,виконанням наступних дій:

 

 

 

 

 

1)

По приросту

 

, яке

надається

 

даному значенню

 

 

 

 

 

змінної

 

 

,

знаходиться

 

відповідний

2)

незалежної

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Складається

 

 

;

 

 

 

 

 

 

приріст функції

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відношення

 

 

 

 

 

 

 

 

якщо вона

3)

 

 

 

 

 

 

 

цього відношення

(

Знаходиться границя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

довільному прямуванні

до нуля

 

 

 

існує) при

 

 

 

 

131

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

4.1.2. Визначення похідної

Визначення 4.3. Похідною даної функції називається границя відношення приросту функції до приросту незалежної змінної при довільному прямуванні цього приросту до нуля,

якщо така границя існує:

 

lim

 

 

.

(4.1)

Поняття похідної – одне з фундаментальних понять в

математичному аналізі. Один з засновників аналізу І. Ньютон

швидкість руху. - читаємо «еф штрих від ікс».

 

прийшов до поняття похідної,

розв’язуючи питання при

Користуючись визначенням похідної, можна сказати,

що:

 

 

 

 

 

! " по

2)

 

 

 

1)

швидкість прямолінійного руху є похідна від закону

 

руху

 

по часу

 

;

 

 

лінійна щільність є похідна від маси

 

3)теплоємність є %похідна від кількості тепла # $% по температурі ;

4)швидкість& хімічної реакції є похідна від кількості речовини по часу ."

4.1.3. Техніка диференціювання елементарних функцій

 

1. Похідна константи. Нехай

 

 

.

 

∆ 0

 

'

 

. Отже

 

 

. '.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

змінної

 

функція

дорівнює

При значенні

незалежної

'

 

 

 

відповідає

 

.

 

 

 

 

аргументу

 

 

Новому значенню

 

 

 

 

 

(4.2)

0

 

lim0 .

 

 

 

 

значення функції

 

 

Але

звідси

 

і

'( 0

132

 

 

 

 

 

 

∆ ∆

 

1 .

 

 

 

 

( 1

 

 

 

(4.3)

 

 

 

 

 

незалежної змінної

 

Нехай

 

 

тоді

 

 

 

2.

Похідна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

, тому і , .

 

 

. Звідси

 

 

 

 

і

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

1

 

 

 

 

*.

 

-*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆ ∆*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

+ ,1 -.*

* ,1

 

 

 

Похідна степеневої функції

Нехай

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді

*

 

 

*

 

 

 

 

*

 

 

*

 

+,1

*

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

,1

-

 

 

 

 

 

 

 

 

- 1.

 

 

 

 

Складемо відношення

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/0,1 ∆22

-/ 13

 

22/0,1 ∆22 -/ 13

 

* 1

0,1 ∆22

-/ 13

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆2

 

 

 

 

∆2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

lim5

Положимо

 

 

і

згадаємо

 

 

 

«важливу

 

 

границю»

 

 

5

 

7

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 5 6 1

 

маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або

 

 

 

 

( lim* 1 · 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* (

9 · * 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(4.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1.4.Основні правила диференціювання

1.Похідна суми.

Теорема 1. Похідна алгебраїчної суми кінцевого числа

функцій дорівнює сумі похідних доданків.

 

 

 

 

Доведення:

 

 

 

 

, і

 

:

Нехай 4 :.

.

4

:

4 ∆4, : ∆:

,

 

 

 

∆ 4 ∆4 : ∆:

Нове значення аргументу

 

, при цьому набуває приросту і

звідси

133

Віднімаючи, знаходимо ∆ ∆4 ∆:.

Звідси

 

 

∆5

∆;.

 

 

 

 

 

 

 

Спрямуємо ∆ 0. За визначенням похідної маємо

 

 

lim∆54 ,

lim∆;

: .

 

Звідси lim4( : ,

 

 

 

 

 

або

 

 

4 : (

4( :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

= 6.

 

Приклад 4.1. Знайти похідну функції

 

Розв’язання: ( 5 · < 1

3 · = 1

0 5 A 3 B.

2. Похідна добутку.

Теорема 2. Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків похідної першої функції на другу і похідної другої функції на першу.

Доведення:

Нехай 4 · :.

∆ 4 ∆4 · : ∆: 4 · : ∆4 · : 4 · ∆: ∆4 · ∆:.

Приріст функції дорівнює ∆ ∆4 · : 4 · ∆: ∆4 · ∆:.

Складемо відношення

134

 

 

 

 

∆5· : 4 · ∆; ∆5· ∆:.

 

 

 

 

при ∆ 0 ( lim4( · : 4 · :( 4 · 0.

 

 

Отже остаточно маємо

 

4 · : ( 4( · : 4 · :(

 

 

 

 

 

(4.6)

 

 

 

 

 

 

Приклад 4.2. Знайти похідну функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A B 7

· D3 √ FH

 

 

 

 

 

Розв’язання: 4 A B 7;

 

 

G

.

 

 

 

 

 

 

: 3 GF 3 G;

4( 4 = 2 ; :( <

G

< =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

F

M

F G

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< =

 

 

( 4 = 2 · D3

FH A B 7 ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F G

.

 

3. Винесення постійного множника за знак похідної.

4

. Так як

 

 

, то' · 4

 

 

 

 

( ' · 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' · 4 ' ·

 

'( 0

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

(

 

 

Нехай

 

 

 

За теоремою 2 маємо

 

 

 

 

 

 

маємо

 

 

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' · 4 ( ' · 4

 

.

 

 

 

 

 

 

(4.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наслідок. Справедлива формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,N5-( 5(N

 

.

 

 

 

 

 

 

(4.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N5.

 

 

Доведення: Розглянемо

функцію

Винесемо

константу за знак похідної: ( ,N5-(

N1 4(

5(N .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

135

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 4.3. Знайти похідну функції

8P 5√ 13.

Розв’язання:

( 8 · 9F 5 · 1B RS 72 B√< .

4.Похідна частки.

Теорема 3. Похідна частки двох функцій дорівнює

дробу, знаменник якого дорівнює квадрату дільника, а чисельник – різниці між добутком похідної діленого на дільник і

добутком діленого на похідну дільника.

 

 

 

 

 

 

;

 

; ∆;

 

 

 

 

Нехай

 

5, тоді

 

 

 

5 ∆5.

 

 

Приріст функції дорівнює

 

 

 

 

 

 

; ∆; ;

; ∆; ;

; ∆; ;

 

; ∆; ;

 

 

 

 

5 ∆5 5

5 ∆5 ; 5 ; ∆;

 

5; ∆5; 5; 5∆;

∆5; 5∆;.

Складемо відношення

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆T∆2; 5∆2∆U.

 

 

 

 

 

 

 

 

; ∆; ;

 

 

 

 

 

при ∆ 0 (так як ∆: 0) отримаємоV

;S

.

 

 

 

( lim∆ ∆

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 ; 5;(

 

Отже остаточно маємо

 

,;-

 

;S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5V; 5;(

 

.

 

(4.9)

 

 

 

 

 

 

 

Наслідок. Справедлива формула

136

∆ ∆

 

 

 

 

 

 

 

 

,N;-( N·;(;S

 

.

 

 

 

 

 

(4.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N;.

За теоремою 3

 

 

Доведення: Розглянемо функцію

 

 

(

 

N

;S

 

 

'( 0

 

 

 

 

 

 

(

;S

 

маємо

 

 

V

 

. Так як

 

 

, остаточно маємо

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A B

 

 

 

 

 

Приклад 4.4. Знайти похідну функції

 

S

 

.

2

4; :(

6

.

 

 

4 4 2; : 3 4; 4

 

 

 

Розв’язання:

 

B

 

 

 

 

 

B

 

 

(

 

 

 

(

B A ·D= S AH D S A BH·W

 

W M 1B S F 1W W M BA S 1B

 

1B

 

 

= S A S

 

 

 

 

= S A S

 

 

 

 

A 1W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= S A S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1.5. Похідна складної функції

Теорема. Похідна складної функції дорівнює похідної даної функції по проміжному аргументу, помноженої на похідну цього аргументу по незалежній змінній.

 

Доведення:

4 , 4 X. Доведемо, що

 

 

Нехай

 

 

( (4

· 4( (4

· X( 5( · 4( .

 

Дамо аргументу

 

приріст

 

; цей приріст спричиняє

 

 

 

 

 

 

,

яке зумовить зміну функції

 

 

 

 

аргументу

 

 

приріст проміжного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у вигляді

на . Складемо відношення ∆4

 

 

 

∆5 · ∆5.

Обчислимо границю

137

 

 

limlim∆5

· lim∆ ∆

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆5.

 

 

 

Так як lim∆55( і lim∆54( , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 5( · 4(

 

 

 

 

(4.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 4.5. Знайти

 

 

 

7 < 12 W

 

 

 

похідну функції

4W, отже 5( 64<, 4(

35 A:

 

 

4 7

<

12

 

 

Розв’язання: Тут проміжний

 

аргумент

 

 

,

 

 

( 5( · 4( 64< · 35 A 6 7 < 12 < · 35 A.

 

 

 

 

Зауваження: Припустимо тепер, що функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

двох а з

може бути представлена ланцюгом, що складається не з ,

трьох функцій: 4 ,

 

4 X : ,

: $ .

 

 

 

 

Згідно з теоремою маємо

( 5( · 4 .

X;( · :( X;(

· $( .

 

 

 

4

.

4

 

 

4(

 

 

де

 

- похідна від

 

, яка в свою чергу є функцією від незалежної

змінної За тією ж теоремою маємо

Отже, похідна даної функції знаходиться за правилом:

( 5( · X;( · $( .

Саме так знаходимо формулу при будь-якої кінцевої кількості проміжних аргументів. А тому можна сформулювати правило:

Похідна складної функції дорівнює добутку похідних від функцій, що її складають.

Приклад 4.6. Знайти похідну функції

D15 M2 Y 3H11.

138

ланцюжка 411,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання:

Представимо

цю функцію

у вигляді

4 15 √:, : 2 Y

3

, отримаємо

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

M

 

 

(

 

1

1

 

MS

 

W

 

 

 

11 (

 

M

 

Y

3

(

114

:

· 2 · 7

 

 

4

 

 

· D15 √:H

· 2

 

 

 

· =

 

 

 

 

 

=

 

D15

2 Y 3H

· M[ B \ = S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1<A

 

 

M

 

1

 

 

Z

.

 

 

 

 

 

 

 

Надалі ми ще не раз звернемося к диференціюванню складних функцій.

 

4.1.6. Похідні обернених функцій

 

 

.

 

 

X

-

 

 

 

Нехай

 

 

і

 

 

 

 

 

пара взаємно обернених

дорівнює нулю.

 

 

 

 

(

lim∆ ∆

 

 

функцій Нам

 

відома

похідна

 

 

 

 

 

і

вона не

Так як

 

∆ 0 при

∆ 0,

то з тотожності

∆]1

отримаємо

 

lim

 

 

1

 

 

∆2

 

 

 

 

∆],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^_`∆2 a∆2

 

 

тобто

X( (1 .

Отже, можемо сформулювати правило:

Похідні від взаємно обернених функцій обернені за величиною:

139

 

 

( 1]V

 

,

 

( 12V

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 4.7. Знайти похідну функції

.

G

( 5A . Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання:

Функція

 

 

 

<

обернена заданій

 

 

( <1b

G1

b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< √

 

 

 

 

 

(4.12)

і

 

 

4.1.7. Таблиця похідних

 

 

 

 

Похідні тригонометричних функцій.

 

 

 

1.

Похідна синуса. "c9 .

 

 

 

∆ "c9

. Знайдемо приріст функції

 

 

 

 

"c9 ∆ "c9 2"c9 B de"

B B

.

 

Складемо відношення fg*∆2∆2S · de" , B -.

 

 

 

 

 

 

S

 

 

1.

Скористаємося першою чудовою границею lim fg*∆2∆2S

 

 

 

 

 

 

 

S

 

Остаточно маємо ( lim hfg*∆2∆2S · de" , B -i de".

 

 

 

"c9(S de"

 

 

 

 

(4.13)

 

 

 

 

 

 

2.

Похідна косинуса. de" .

 

 

 

 

∆ de" ∆. Знайдемо приріст функції

 

 

 

 

 

140

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.