Пособие_ВМ_для_менеджеров
.pdf
б) |
xA , √ |
|
|
|
B |
. |
|
+ . |
|
(5.28,a) |
||||
|
|
|
|
|
Скористаємося підстановкою |
|||||||||
звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
=> K |
|
|
|
||
Å=> ?K |
|
Å |
|
=> ?K |
|
=> K |
"#"; |
(5.28,б) |
||||||
√ |
|
|
|
|||||||||||
+DE=K=> ?K |
|
+? |
|
|
|
|
|
F=> ?K |
DE=K |
|
|
|||
". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) xA , √ B . Скористаємося підстановкою |
||||||||||||||
звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"#" . |
|
(5.29,a) |
||
|
|
& "# " |
|
|
Å |
|
DE=?K |
DE=K ; |
(5.29,б) |
|||||
√ |
|
|
|
|
||||||||||
|
DE=?K. |
|
|
|
|
|
|
|
=> ?K DE=?K |
+ |
|
|||
|
+ @K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проілюструємо використання отриманих формул на прикладах.
Приклад 5.31. Знайти невизначений інтеграл
√4 .
|
|
|
Розв’язання: За формулами (5.27) маємо |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 ! " |
|
|
|
|
|
√4 |
|
|
2 " " |
4 ! |
" 2 " 2 " " |
|||||
|
|
h√4 |
2 "i |
|
|||||||
16 |
! " " " |
16 · ; ! 2" " |
u |
|
|
||||||
Ми отримали інтеграл від тригонометричної функції. Скористаємося формулами (5.24):
251
u |
4 · |
1 4" " |
2" ; |
! 4" |
|
|
||||
|
2$ ! < ! -4$ ! ). . |
|
|
|||||||
|
|
|
Приклад 5.32. Знайти невизначений інтеграл √<<?W : . |
|||||||
|
|
|
Розв’язання: За формулами (5.29) маємо |
|||||||
|
<W |
|
|
X |
|
3"#" |
C C·È |
: |
DE=CK · => WK " |
|
|
|
DE=?K4 Y |
7 K¶WK |
|||||||
|
√<? : |
|
|
|
4@K |
ÆÇ‹È·ÆÇ‹?È |
|
DE=WK |
||
|
: =>DE=KWK " |
|
√ 9 |
DE=K |
|
|
|
|||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||
Ми отримали інтеграл від тригонометричної функції. Скористаємося формулами (5.18):
u |
|
! " |
|
@ |
|
ZC |
|
|
|
j |
" "k |
: |
W |
: |
· F4 |
9 C |
|||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
9=> CK |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.9. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
До поняття визначеного інтегралу приводить велика кількість прикладних задач математики, фізики, та інших наук, а саме – обчислення площі плоскої фігури, довжини дуги, об’єму, роботи змінної сили, моментів інерції і т.п. У зв’язку з цим спробуємо розв’язати класичну задачу про площу криволінійної трапеції.
252
lim~+<∆<ÓÏt Ë |
|
lim~+<∆<ÓÏt ∑>I Í> · ∆> |
|
Ë. |
|
(5.32) |
|||||||||||||||||||
|
Визначення 5.4. Визначеним інтегралом називається |
||||||||||||||||||||||||
границя |
|
до якої |
прямує |
|
-та інтегральна сума (5.32) при |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
довжини найбільшого часткового інтегралу |
||||||||||||||||
прямуванні до нуля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
Позначається визначений інтеграл як |
|
· ∆> |
|
lim ÏÔ Ë |
Ë |
|
|||||||||||||||||||
+ |
|
|
lim~+<∆< Ït, ÏÔ ∑>I Í> |
|
|
||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ó |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.33) |
|||||
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
і |
, |
- |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тут функція |
|
|
|
називається підінтегральною функцію; вираз |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
підінтегральним виразом |
|
а |
|
|
|
|
границями |
||||||||||||||
інтегрування |
|
|
|
|
|
+ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Õ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||
|
Якщо |
|
побудувати |
|
|
графік |
підінтегральної функції |
||||||||||||||||||
|
Ë |
|
|
, |
|
, |
|
b |
|
|
Ö. |
|
|
|
|
|
|
|
Õ |
|
|||||
|
|
|
, |
то |
інтеграл |
|
|
|
буде |
чисельно |
дорівнювати |
||||||||||||||
площі |
криволінійної трапеції яка обмежена кривою |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
прямими |
|
|
|
|
|
і віссю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), ,* |
|||||||||
то іі |
-та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Теорема 5.7 (про існування визначеного інтегралу). |
|||||||||||||||||||||||
Якщо функція |
|
|
неперервна на замкненому інтервалі |
|
|
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
інтегральна сума прямує до границі при прямуванні до |
|||||||||||||||||||||
тобто визначний інтеграл |
+b , |
не залежить від способу |
|||||||||||||||||||||||
нуля довжини найбільшого часткового інтервалу. |
Ця границя, |
||||||||||||||||||||||||
ділення інтервалу інтегрування на часткові інтервали та від вибору в них проміжних точок.
Інтегральні суми, які складені при різних діленняхÍ інтервалу інтегрування та різному виборі проміжних точок , можуть суттєво відрізнятися одна від одної. Але для неперервних функцій різниця між цими сумами зникає при прямуванні до нуля найбільшого часткового інтервалу та до нескінченності кількості точок ділень відрізку інтегрування.
255
5.10. ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ
Насамперед зауважимо, що визначений інтеграл від функції є число, яке відповідає даній функції згідно визначенню (5.33), тому це число не залежить від вибору позначення аргументу підінтегральної функції, тобто від позначення змінної
інтегрування: +b +b " " +b . |
(5.34) |
|||
|
Для нас принциповою є і наступна формула |
|
||
|
+b |
, . |
|
(5.35) |
з якої |
прямує, що будь-яка |
інтегральна |
сума для |
функції |
× 1 дорівнює , : |
|
|
|
|
|
t – F |
t |
, |
|
Ø ∆> |
||||
>I |
Теорема 5.8 (про інтеграл суми). Визначений інтеграл |
|||
|
||||
від суми декількох функцій дорівнює сумі інтегралів від цих |
|||||||
функцій: |
|
|
|
|
|
|
|
+bA ( – Ù B |
|
|
|
|
|||
|
+b +b ( – +b Ù. |
(5.36) |
|||||
|
Доведення: |
За |
визначенням |
b |
|
, |
частину |
|
|
|
|
записати так |
|
||
тотожності (5.36), яка стоїть ліворуч можна + |
|
|
|
||||
u lim |
∑>I > (> – Ù>∆> |
(>∆> |
… ∑>I Ù>∆> . |
||||
|
lim |
∑>I |
>∆> ∑>I |
||||
За теоремою про границю суми маємо
256
u lim ∑ >∆> lim ∑ (>∆> – lim ∑ Ù>∆>
>I >I >I .
|
u +b +b ( – +b Ù, |
||||||
що і треба було довести. |
|
|
|
|
|
||
|
Теорема 5.9 (про винесення постійного множника). |
||||||
Постійний множник можна виносити за знак інтегралу |
|||||||
де |
+b |
|
|
+b , |
(5.37) |
||
-константа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доведення: За визначенням інтегралу маємо |
||||||
|
|
u |
lim |
∑>I |
>∆>. |
|
|
Винесемо константу |
за знак суми а потім за знак границі за |
||||||
властивістю границь), остаточно маємо, |
|
( |
|||||
u |
lim ∑>I >∆> |
lim |
∑>I >∆> |
+b , |
|||
що і треба було довести. |
|
|
|
|
|
||
|
Теорема 5.10 (про перестановку границь). Якщо |
||||||
Звідси, після граничного переходу |
(5.32) |
маємо частину |
|||||
тотожності (5.36), яка стоїть праворуч: |
|
|
|||||
верхню та нижню границі визначеного інтегралу переставити місцями, то знак інтегралу зміниться на протилежний:
+b |
. |
b+ . |
|
(5.38) |
|||
Доведення: Нехай |
|
Якщо інтервал |
інтегрування |
||||
), ,* розбити на частини |
точками |
, , … , F |
то отримаємо |
: |
|||
|
e , |
|
|
|
|||
e e e – e F e ,. |
|
|
|
||||
|
|
257 |
|
|
|
|
|
Різниці |
> >F |
∆> |
будуть від’ємними. З цього прямує, що |
|
|
усі доданки у (5.30) будуть від’ємними, і після граничного переходу отримаємо:
|
|
|
|
|
+b |
b+ , |
|
|
|
|
||||||||||||
що і треба було довести. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Теорема |
5.11 |
|
(про |
адитивність |
інтегралу). |
|
|
Нехай |
||||||||||||
f , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), *, |
||||||||||||
|
|
. Якщо існує визначений інтеграл на відрізках |
||||||||||||||||||||
то існує інтеграл і на відрізку |
|
|
|
|
, |
при цьому |
|
|
||||||||||||||
f , |
|
|
|
|
|
|
|
|
), ,* |
|
|
|
|
|
||||||||
), ,* |
|
|
|
+b |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+D |
Db |
|
|
(5.39) |
||||||||||||||
|
Доведення: Відомо, що |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
границя інтегральної |
суми |
не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
залежить від способу розбиття |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
інтервалу |
|
|
на |
частини. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розіб’ємо |
|
інтервал |
таким |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
), ,* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
b |
|
|
|
|
|||
чином, щоб точка), ,*завжди |
|
|
|
|
|
|
|
⌡⌠ f(x)dx |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
⌠ f(x)dx |
|
|
|
|
|||||||||||
була |
точкою |
його |
ділення |
|
|
|
|
|
|
a |
|
⌡ |
|
|
|
|
||||||
(рис 5.3). |
|
За |
властивістю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
часткових |
інтегральних сум |
|
|
|
a |
|
|
|
c |
b |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.3. |
|
|
||||||||||||||
маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ø Í>∆> |
Ø Í>∆> Ø Í>∆> |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
де в частині тотожності, яка стоїть праворуч, першому доданку |
|||||||||
), *, а в другому доданку – інтервалу ), ,*. |
|
|
|
|
|
||||
відповідають елементи, |
які включають точки ділення інтервалу |
||||||||
За визначенням |
(5.33) перша |
часткова сума |
буде |
||||||
|
|
, |
|
|
|
, |
|
– |
|
прямувати до інтегралу в границях від |
до |
а друга |
до |
||||||
інтегралу в границях від |
до |
|
: |
|
|
|
|||
+b |
+D Db , |
|
|
|
|||||
|
|
258 |
|
|
|
|
|
|
|
що і треба було довести.
Теорема 5.12 (про знак визначеного інтегралу). Якщо підінтегральна функція в інтервалі інтегрування не змінює знак, то визначений інтеграл є числом того ж знаку, що й
підінтегральна функція. |
|
u |
∑’ >I Í>∆> |
|
||||
), ,*’ f, , |
|
|
, |
|
|
|||
Доведення: Нехай для визначеності |
|
в інтервалі |
||||||
. В інтегральній сумі |
|
|
• 0всі доданки |
|||||
невід ємні тобто |
|
|
а границя невід ємної величини не може |
|||||
бути від’ємною. |
Звідси маємо |
|
|
|
|
|||
|
u • 0 |
|
+b • 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема |
|
5.12 |
|
(про оцінку |
визначеного |
інтегралу). |
||
Значення визначного інтегралу лежить в межах між добутками найменшого та найбільшого значень підінтегральної функції на довжину інтервалу інтегрування:
€, Î +b Î É , , |
|
|
(5.40) |
|||||||
де і - |
найменше та найбільше значення функції |
|
на |
|||||||
інтервалі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ É), ,*. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
Доведення: Розглянемо дві функції |
|
і |
|
|
||||||
Перша з них на інтервалі |
|
|
|
а друга недодатна |
За |
|||||
), ,* |
невід’ємна, É |
|
€ . |
|||||||
теоремою 5.11 маємо |
* |
|
+b) |
* |
|
|
|
|
||
+b) |
|
|
і |
|
|
|
|
|||
|
É • 0 |
|
€ |
Î 0 |
|
|
||||
за формулою (5.35) маємо |
|
€, Î +b , |
|
|||||||
É , • +b |
і |
|
||||||||
що і треба було довести.
Геометричний зміст доведеного наступний: площа криволінійної трапеції більше площі прямокутника з основою,
259
яка дорівнює основі трапеції, і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
висотою, |
яка |
|
|
|
|
дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
найменшій ординаті трапеції, і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
менше площі |
прямокутника |
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
тією же основою і висотою, яка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
дорівнює |
найбільшій |
|
ординаті |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
трапеції (рис. 5.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Теорема |
|
|
|
5.13 |
|
(про |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
середнє |
|
значення). |
|
|
Якщо |
|
O |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
функція |
|
|
|
неперервна |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.4. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
інтервалі |
, то на цьому інтервалі існує хоча б одна точка ξ, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для якої |
буде виконуватися наступне |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
) , ,* |
|
|
|
|
|
|
|
sÛ Ú < @< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.41) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bF+ |
|
|
Í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Доведення: За теоремою 5.12 маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ f |
sÛ |
Ú < @< |
f É |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
bF+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sÛ Ú < @< |
|
|
Ü |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bF+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де |
|
|
деяке число |
|
яке розташоване |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
міжÜ |
- |
найменшим |
, |
|
та |
|
|
найбільшим |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
значеннями функції |
|
|
|
|
на інтервалі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
. За умовою |
|
|
|
|
|
|
|
|
y=f(x) |
|
|
|
|||||||||||||||
теореми функція |
|
|
|
|
неперервна на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
) , ,* |
|
|
€ f Ü f É |
|
|
|
обов язково |
f(ξ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
інтервалі |
|
, |
|
тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
один |
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
хоча |
|
б |
|
раз |
|
прийме |
кожне |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
значення, |
) , ,* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
яке розташоване між |
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
. |
З цього прямує |
|
що при деякому |
|
O |
|
|
a |
|
ξ |
b |
x |
|||||||||||||||||||||||||
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.5. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
функція |
|
|
|
|
|
|
набуде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
É |
|
|
|
|
|
Í Ü: , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
значення |
|
що і треба було довести |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Ý ) , ,* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
260 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|