Пособие_ВМ_для_менеджеров
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
ûürq . |
|
|
|
(5.65) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û∆ürý |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Нехай |
|
|
крива |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деякий товар і |
|
|
|
|
|
||||||||||||
крива попиту |
|
|
|
на |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
p |
C |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
- |
крива пропозиції |
|
|
, |
|
де |
|
D |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
þ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|||
ціна на товар |
а |
|
величина попиту |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ˆ |
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ë |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|||||
(пропозиції). |
|
Точка |
|
перетину |
|
цих |
p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
назву |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ліній |
|
|
|
|
|
|
|
|
має |
|
|
|
точка |
0 |
P |
|
D |
|
||||||||||||
ринкової |
|
|
рівноваги |
( |
рис |
. 5.12). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
t, ˆt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Прибуток від реалізації товару |
|
|
|
|
за |
O |
|
x0 |
|
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дорівнює |
|
|
|
|
|
|||||||||
рівноважною |
|
ціною |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
Рис. 5.12 |
|
|
|
|||||||||||||
добутку |
|
|
|
|
|
|
. Якщоˆt ціна |
|
|
|
буде |
|
|
|
|
до |
||||||||||||||
неперервно |
|
знижуватися |
|
від |
|
|
максимальної |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tˆt |
|
|
(якщо задовольняється попит),ˆ•то |
|
|
|
||||||||||||||||||||
рівноважної |
|
|
|
|
|
прибуток |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
величину |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t<£ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
складає |
|
|
|
|
ˆt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Величина коштів |
|
|
|
|
|
tˆt, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t<£ |
|
|
(5.66) |
||||||||||||
яка зберігається користувачем, якщо товар продається за |
||||||||||||||||||||||||||||||
рівноважною ціною |
ˆt, називається виграшем користувачів. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Аналогічно, величина |
, |
|
} tˆt t<£ |
(5.67) |
називається виграшем постачальників.
Приклад 5.50. Нехай зміна щоденної продуктивностіпраці" 0,0054"деякого 0,028"виробництва12,34 " задана функцією , де - час у годинах. Знайти
об’єм випуску продукції, яка вироблена за 8-годинний робочий день.
• " |
, " |
|
281 |
" |
, " |
|
|
Розв’язання: |
За формулою (5.63) |
знайдемо об’єм |
|
продукції, виробленої за проміжок часу ) |
*: |
||||
• " , " KKƒ? " " KKƒ? 0,0054" 0,028" 12,34 "0,0018"4 0,014" 12,34" %"" .G
Обчислимо об’єм продукції, вироблений за 8-годинний робочий день:
• 0,8 0,0018 · 84 0,014 · 8 |
12,34 · 8 |
од. . |
0,9216 0,896 98,72 |
98,6944 |
Приклад 5.51. Знайти об’єм виробленої деяким
підприємством продукції за 10 років, якщо в функції Кобба- |
|||||||||||||||||||||
Дугласа |
|
|
|
|
p " |
|
t,0K., ÷ " |
" 2 4, ø " |
2" 5 |
, |
|||||||||||
t 3, Π|
2, ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 , ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Розв’язання: За формулами (5.64), (5.63) маємо |
|
||||||||||||||||||||
• 0; 10 |
3 |
t t |
K " 2 2" 5 " |
|
|
|
2" " 10 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2" |
" 10 " |
|
( |
K " |
|
|
||||||||||
|
3 t |
|
|
X |
4" 1 " Y |
|
|||||||||||||||
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
10 |
G |
|
( |
K |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
K |
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
2" " 10 % |
|
|
t 4" 1 " |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
4" 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( |
|
K " |
O |
3 |
t |
200 10 10 3 10 |
|
|||||||||||||
|
N |
|
|
4 " |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( |
|
|
K |
|
|
10 |
G |
|
|
t |
K |
|
|
|
t |
|
|
||
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 4" 1 % |
0 |
|
|
|
" |
540 |
|
30 |
|
|||||||||||
|
3 · 4 t |
|
|
||||||||||||||||||
|
117 t 3 12 t 12 |
435 t 15 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
282 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
9581527,621. |
|
|
|
||||
Приклад 5.52. За |
даними досліджень |
про |
розподіл |
||||
. |
Õ |
9F4< |
|
Ý )0; 1* |
|
|
|
доходів в |
однієї з |
країн |
крива Лоренці може |
бути |
описана |
||
c |
|
< |
, де |
|
. Обчислити коефіцієнт Джині |
||
рівнянням |
|
|
|||||
Розв’язання:
Обчислимо площі фігур, які входять до формули (5.65). Отже площа трикутника дорівнює
|
|
|
|
|
Ë∆ n— |
· 1 · 1 |
|
|
0,5 од . |
|
|
||||
а площу фігури Öp” |
знайдемо за формулою (5.57): |
|
|||||||||||||
Ë |
|
|
|
Õ |
Õ |
|
|
|
|
- 9F4<. |
|
|
|||
|
no |
|
b |
|
|
* |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
+ ) |
t |
|
- 4 |
4 9F4<. |
|
|||||||||
|
|
t - 4 |
9F4< |
. |
t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
9F4< F9 |
|
|
|
|
|
; |
|
: 7 |
|||
|
|
- |
|
4 : |7 3 |. % |
|
|
4 |
: |
4 |
||||||
|
|
<? |
|
; |
|
|
|
1G |
; |
; |
|||||
|
|
59 :; 9; 0,2962 од .0 |
|
|
|
|
|||||||||
Отже, коефіцієнт Джині дорівнює |
|
0,5924 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
t,0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t, :5 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
Приклад 5.53. Знайти виграші постачальників та користувачів (при сталій ринковій рівновазі), якщо закони
попиту та пропозиції мають відповідно вигляд:
ˆ 210 , ˆ 12 50.
Розв’язання: Знайдемо точку ринкової рівноваги t, ˆt з розв’язання системи рівнянь
283
ˆ |
210 |
|
|
|
210 |
12 50; |
|
|
|
|
|
|
|||||
; |
|
|
12 160 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ðˆ |
12 50G |
|
|
|
8 |
н |
е має се су |
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
8; |
|
|
|
v |
20 |
|
н |
G |
|
|
|
||||
|
ˆt |
210 8 |
|
210 64 |
|
136. |
136. |
||||||||||
|
|
Отже, точка ринкової рівноваги t |
|
|
8, ˆt |
||||||||||||
|
7 |
Знайдемо виграш користувачів (5.66): |
8G |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
8 · 136 |
-210 |
<C |
|
|
|
||||||||
t 210 |
|
|
4 |
. %0 |
1088 |
||||||||||||
|
1680 170,67 1088 |
421,33 |
грош. од. |
. |
|
||||||||||||
|
|
Знайдемо виграш постачальників (5.67): |
|
8G |
|||||||||||||
|
|
|
7 |
12 50 |
1088 6 |
|
|
|
|||||||||
} 8 · 136 t |
|
50 % |
|||||||||||||||
|
1088 384 400 |
304 грош. од. . |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
284
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1985.
2.Боревич З.И. Определители и матрицы. - М.: Наука, 1988. – 184 с.
3.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1973. – 720 с.
4.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. – М.: Высшая школа, 1988. -712 с.
5.Пискунов Н.С. Диференциальное и интегральное исчисление. Т. 1. – М.: Наука, 1985. – 430 с.
6.Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. М.:
Физматгиз, 1963. – 748 с.
7.Станішевський С.О. Вища математика. – Харків:
ХНАМГ, 2005. – 270 с.
8.Высшая математика для экономистов. / Под редакцией Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007. – 479 с.
9.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.:
Наука, 1988. -432 с.
10.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М. Высшая школа, 1966. – 460 с.
11.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985. – 383 с.
12.Ганич Д.І., Олійник И.С. Російсько-український, українсько-російський словник. – К.: А.С.К., 1996. – 550 с.
285
|
|
ЗМІСТ |
|
|
Передмова |
|
|
|
3 |
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |
|
4 |
||
1.1. Визначники |
|
|
4 |
|
1.2. Матриці |
|
|
|
11 |
1.2.1. Основні визначення |
|
11 |
||
1.2.2. Операції над матрицями |
|
11 |
||
1.2.3. Застосування матриць для розв’язання задач |
|
|||
з економіки |
|
|
23 |
|
1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь та методи |
|
|||
їх розв’язання |
|
|
27 |
|
1.3.1. Основні визначення |
|
27 |
||
1.3.2. Теорема Крамера |
|
|
29 |
|
1.3.3. Метод послідовного виключення невідомих. |
|
|||
Метод Гаусса |
|
|
31 |
|
1.3.4. Матричний метод |
|
35 |
||
1.3.5. Умова сумісності системи лінійних алгебраїчних |
|
|||
рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі |
38 |
|||
1.3.6. Однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь |
39 |
|||
1.3.7. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки |
41 |
|||
Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ |
46 |
|||
2.1. Метод координат |
|
|
46 |
|
2.1.1. Декартова система координат на площині |
46 |
|||
2.1.2. Довжина відрізка. Відстань між двома точками |
47 |
|||
2.1.3. Ділення відрізка у заданому відношенні |
48 |
|||
2.1.4. Координати середини відрізка |
51 |
|||
2.1.5. Площа трикутника |
|
53 |
||
2.2. Пряма лінія на площині |
|
56 |
||
2.2.1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом |
56 |
|||
2.2.2. Загальне рівняння прямої |
|
57 |
||
2.2.3. Рівняння прямої у відрізках |
|
58 |
||
2.2.4. Рівняння прямої, що проходить через дві точки |
60 |
|||
2.2.6. p, Õ |
|
. |
c |
|
2.2.5. Рівняння прямої, |
що проходить через задану точку |
|
||
|
у заданому напрямку |
|
61 |
|
Кут між прямими Умови паралельності і |
|
|||
|
|
286 |
|
|
перпендикулярності прямих |
62 |
2.2.7. Нормальне рівняння прямої |
65 |
2.2.8. Відстань від точки до прямої |
68 |
2.2.9. Взаємне розташування прямих на площині |
70 |
2.3. Лінії другого порядку на площині |
71 |
2.3.1. Коло |
72 |
2.3.2. Еліпс |
74 |
2.3.3. Гіпербола |
79 |
2.3.4. Парабола |
84 |
2.3.5. Розв’язання задач на прямі та криві другого порядку |
86 |
Розділ 3. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ. |
|
ТЕОРІЯ ГРАНИЦЬ |
88 |
3.1. Змінні величини і функції |
88 |
3.1.1. Змінні та сталі величини |
88 |
3.1.2. Функції. Основні визначення |
89 |
3.1.3. Способи задання функції |
91 |
3.1.4. Основні характеристики поведінки функції |
94 |
3.2. Теорія границь |
96 |
3.2.1. Границя змінної величини. Теореми о границях |
96 |
3.2.2. Границя функції |
98 |
3.2.3. Нескінченно малі і нескінченно великі величини |
|
та їх властивості |
100 |
3.2.4. Основні теореми про границі функції |
103 |
3.2.5. Невизначеності. Розкриття деяких типів |
|
невизначеностей |
105 |
3.2.6. Важливі границі та їх застосування |
112 |
3.2.7. Порівняння нескінченно малих |
121 |
3.2.8. Неперервність функцій. Властивості неперервних |
|
функцій |
125 |
Розділ 4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ |
|
ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ |
131 |
4.1. Похідна та диференціал |
131 |
4.1.1. Поняття похідної як швидкості зміни функції |
131 |
4.1.2. Визначення похідної |
132 |
4.1.3. Техніка диференціювання елементарних функцій |
132 |
4.1.4. Основні правила диференціювання |
133 |
287 |
|
4.1.5. Похідна складної функції |
137 |
4.1.6. Похідні обернених функцій |
139 |
4.1.7. Таблиця похідних |
140 |
4.1.8. Логарифмічне диференціювання |
150 |
4.1.9. Диференціювання неявної функції |
153 |
4.1.10. Диференціювання функцій, заданої параметрично |
154 |
4.1.11. Похідні вищих порядків |
156 |
4.1.12. Диференціал функції |
160 |
4.1.13. Властивості диференціала |
161 |
4.1.14. Застосування диференціалу у наближених |
|
обчисленнях |
164 |
4.1.15. Геометричний сенс похідної і диференціалу |
165 |
4.1.16. Фізичний сенс похідної та диференціалу |
170 |
4.2. Граничний аналіз економічних процесів |
172 |
4.3. Основні теореми диференціального числення |
178 |
4.3.1. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші |
178 |
4.3.2. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя |
184 |
4.4. Поведінка функції в інтервалі |
190 |
4.4.1. Ознаки монотонності функції |
190 |
4.4.2. Екстремуми функції |
192 |
4.4.3. Схема дослідження функції на монотонність |
|
та екстремум |
193 |
4.4.4. Найбільше і найменше значення функції в інтервалі |
195 |
4.4.5. Опуклість та угнутість функцій. Точки перегину |
198 |
4.4.6. Схема дослідження функції на опуклість, угнутість |
|
і точки перегину |
200 |
4.4.7. Асимптоти функції |
202 |
4.4.8. Загальна схема дослідження функції |
206 |
4.4.9. Застосування похідної в задачах з економічним |
|
змістом |
211 |
Розділ 5. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ |
|
ЗМІННОЇ |
215 |
5.1. Первісна |
215 |
5.2. Таблиця невизначений інтегралів. Простіші прийоми |
|
інтегрування |
217 |
5.3. Метод заміни змінної |
221 |
288 |
|
інтегралів |
274 |
5.15.1. Обчислення площі плоскої фігури |
274 |
5.15.2. Обчислення довжини дуги плоскої кривої |
275 |
5.15.3. Обчислення об’єму тіла |
278 |
5.16. Застосування визначних інтегралів для розв’язанні |
|
задач економіки |
280 |
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ |
285 |
290