Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

Розв’язання: Скористаємося т. 2:

lim-D'

)Uc(Uc

lim-D' L

)Uc()

Uc()

M 015 05

-

-

-

0 )UU

03.

 

 

 

 

Приклад 3.25. Обчислити границю функції

lim-D' x)S-()- .

Розв’язання: Скористаємося т. 3:

 

 

x

 

 

 

 

)

 

 

 

W

()

) )

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)S-()

 

 

)S-

 

 

 

 

 

 

 

lim-D'

 

 

 

 

lim-D'

-

x

 

· k

8)

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.7. Порівняння нескінченно малих

 

 

 

 

Нехай декілька нескінченно малих величин

 

є

функціями одного ж того ж самого аргументу

 

и прямують до

нуля при

D

(або

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[, e, ± …

 

 

 

 

 

 

D ∞

 

 

 

 

 

 

[ i

e

 

 

 

 

 

 

Визначення 3.23

Якщо відношення

має кінцеву і

відмінну від нуля границю. при

D

, тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-Df ig * d 0,

 

а

lim-Df ig o) d 0,

 

 

То [ і e нескінченно малі одного порядку малості.

 

 

 

Приклад

3.26.

Нехай

малі

 

 

 

 

 

,

 

їх

 

,

де

 

 

 

 

-

нескінченно

[ . 1 5 .

 

e ·

відношення

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

./05

 

 

 

: D 0

 

 

 

)(”•ƒ- )S”•ƒ-S”•ƒV-

 

 

 

 

lim-D'

)(”•ƒj-

 

'

lim-D'

 

 

 

-·ƒ„AU-

 

K'K

 

 

 

-·ƒ„AU-

 

 

 

 

 

lim-D' )(”•ƒ-

· lim-D' 1 " 5 . " 5 .8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-·ƒ„AU-

 

 

 

 

 

121

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8ƒ„AVc

 

 

 

 

 

 

ƒ„Ac

 

 

ƒ„Ac .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 · lim-D' -·ƒ„AUV- 6 · lim-D'

 

- V · lim-D' ƒ„AUV-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 · 8) · )U²8 )'.

 

 

 

3.23

 

 

 

 

 

 

 

[ і e

 

 

 

 

 

 

порядку.

 

 

 

 

 

 

нескінченно малі

 

одного

Згідно з визначенням

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 3.24. Якщо lim-Df ig 0, а lim-Df ig , то

нескінченно мала

[

вищого порядку, ніж нескінченно мала

 

; а

нескінченно мала

нижчого порядку малості, ніж

нескінченно

 

 

 

 

 

 

e

 

 

мала [

при D .

e

 

 

 

 

 

 

 

[

 

-j

 

, e

 

-y

 

 

 

 

 

 

Приклад

3.27. Нехай

 

 

 

 

 

де

D ∞

 

 

-V()

 

 

 

 

-VS),

 

- нескінченно малі. Обчислимо границю їх відношення:

 

 

g -

 

 

 

 

 

 

cVqW

 

'

 

 

-y -V()

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cj

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

lim-Dm i -

lim-Dm cV¡W

K'K

lim-Dm -j -VS)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

cy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.24

нескінченно мала

 

 

нижчого

Згідно з визначенням

 

 

порядку, ніж

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

якщо e

 

Визначення 3.25. Нескінченно мала

 

називається

 

[´

 

 

 

 

 

-го порядку відносно

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

,

нескінченно малою

 

 

нескінченно малої

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

якщо

і

 

-

нескінченно малі одного порядку при

 

 

 

 

,

тобто

 

 

 

³

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-Df giµ * d 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

Приклад 3.28. З’ясувати порядок відносно

 

функції

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-j-S), нескінченно малої при D 0.

 

,

 

 

 

 

 

 

 

³ 2.

 

 

Розв’язання: Порівнюючи степені

 

положимо

Обчислимо границю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

122

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D' gµ lim-D'

jc!

 

 

 

-V 3 · lim-D' -!S-

i

cj¡W

 

 

-!

Звідси маємо, що нескінченно мала

 

 

 

 

го порядку відносно нескінченно

малої

 

 

e

j 3.

є нескінченно малою 2- (за визначенням 3.25).

малих [

Визначення 3.26. Якщо відношення двох нескінченно

і e прямує до 1 при D , тобто якщо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-Df ig 1.

 

 

 

 

 

то нескінченно

 

малі

 

[

і

e

називаються

еквівалентними

і

позначаються:

[~e

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай [ )S)(-- , e 1 √ ,

 

 

 

Приклад

3.29.

де

D 1 - нескінченно малі. Обчислимо границю їх відношення:

 

g

 

 

 

 

 

 

Wqc

 

 

 

 

 

 

)(-

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W¡c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D) i

lim-D) )(-

lim-D) )(- · lim-D) )S-

 

lim-D)

)(√- )S√-

·

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)(√-

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8) · lim-D) 1 " √ 8) · 2 1.

 

 

 

 

 

 

За визначенням 3.26 ці нескінченно малі еквівалентні.

 

 

 

Зауваження 1. Якщо відношення двох нескінченно

малих

 

 

і

 

 

не

має

границі

при

 

і

і

не прямує

до

нескінченності

,

то

нескінченно

малі

 

не

порівняні між

 

[

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

собою.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

e

 

 

 

D 0 [

Приклад 3.30.

 

Нехай [ і e · ./0 L-M при

 

і e

є нескінченно малими, але їх відношенням не має

границі, тому що K./0 L MK 1

 

не має границі. Звідси прямує, що

ці нескінченно малі не порівняні-

між собою.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

123

 

 

 

 

 

 

 

Зауваження 2. Нескінченно великі величини

порівнюють між собою так само, як і нескінченно малі.

 

5

 

" 12

- нескінченно великі

[ 7 .

 

" 4 e

 

 

:

3.31. Нехай

 

D ∞

 

 

і

 

 

 

Приклад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

 

 

 

Знайдемо границю їх

відношення

7 " 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

-limDm 5 " 12

KK

 

 

Звідси прямує, що ці нескінченно великі – одного порядку великості.

Порівняння нескінченно малих має практичне застосування. Поняття еквівалентних нескінченно малих ми застосуємо при обчисленні границь функцій.

Принцип заміни нескінченно малих

При розкритті невизначеності типу K''K можна і

чисельник, і знаменник замінити еквівалентними їм величинами.

З розглянутих важливих границь та їх наслідків, маємо еквівалентні функції, використання яких значно полегшує

обчислення границь:

6 ~ ;

 

./0 ~ ;

 

45./0 ~ ;

456 ~ ;

 

0 1 " ~ ;

=- 1~ .

lim-D' ¶jc()

Приклад 3.32. Знайти границю функції

f™”>˜k-.

Розв’язання:

Скористаємося

еквівалентними

нескінченно малими

 

 

 

124

 

lim-D'

f™”>˜k-

'

456 7 ~7

k-

k.

jc()

K'K · = - 1~3

¸ lim-D' -

 

3.2.8. Неперервність функцій. Властивості неперервних функцій

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y+

y

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 3.27.

Приростом

 

 

y

 

 

 

 

 

 

функції

 

 

 

 

в

даній

 

точці

'

 

 

y

 

 

M

 

 

∆ " ∆ ( . 3.10).

 

 

 

 

 

 

називається різниця

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приріст аргументу'

рис' ,

 

де

 

 

-

0

 

y M0

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

3.28.

 

Функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

Визначення

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

називається неперервною у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точці

 

 

якщо ця функція визначена

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

деякому'

 

 

lim∆-D'

∆ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

околі

 

 

 

 

 

Рис. 3.10.

 

x

у

 

 

 

 

 

 

 

 

'

,

 

 

 

 

 

O

0

x+ x

 

 

виконується умова:

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

-

 

 

 

Приклад

3.33.

Перевірити

чи

є

функція

 

неперервною у будь якій точці

'.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання: Знайдемо приріст функції :

 

 

 

 

 

∆ 2-NS∆- 2-N 2-N · 2∆- 2-N 2-N2∆- 1.

 

 

Отже при ∆ D 0,

 

2∆- D 1, ∆ D 0 , тобто функція неперервна.

 

 

 

Скористаємося визначеннями 3.27, 3.28 і дамо ще одне

визначення неперервності функції в точці. Для цього приріст

функції перепишемо як

 

 

 

 

 

 

lim∆-D' ' " ∆ ' 0

 

 

 

 

або

lim∆-D'

' " ∆ lim∆-D' ' .

∆ D 0)

 

остаточно маємо

 

' " ∆ ,

то

D '

(

при

і

Якщо ввести позначення

 

 

 

 

 

 

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D-N ' .

 

 

(3.15)

 

Визначення 3.29. Функція

 

неперервна в точці

 

 

 

 

, якщо вона визначена в будь-

якому околі цієї точки і якщо

 

 

 

 

,

 

границя'

функції існує і дорівнює значенню функції при

'

(за умовою, що незалежна змінна

прямує до ').

 

 

 

Визначення

 

,

якщо вона

 

 

-

 

 

3.30.

Функція

 

 

називається

неперервною в інтервалі

 

 

 

неперервна у будь якій

точці інтервалу.

 

 

 

 

 

 

 

 

Для кінців інтервалу визначеннянеперервності в точці треба уточнити: для лівого кінця треба брати додатнім, а для правого – від’ємним.

Зауваження 1. Графік неперервної функції можна нарисувати, не відриваючи олівця.

Зауваження 2. Всі основні елементарні функції неперервні в своїх областях визначення.

точці ºn

 

;

 

Однобічна неперервність

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

визначена на

 

Визначення 3.31

Нехай функція

 

 

інтервалі

 

.

 

Кажуть.

, що функція

 

неперервна в

 

 

ліворуч'

 

якщо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D-N(' ' .

 

(3.16)

. Кажуть, що функція

 

 

 

 

 

º

;

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 3.32.

Нехай

 

 

визначена на інтервалі

праворуч'

 

 

 

 

 

 

 

неперервна в точці

n

 

якщо

 

lim-D-NS' ' .

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.17)

 

 

 

 

 

 

 

126

 

 

 

 

 

точка

належить

 

 

,

 

 

;

і

Якщо функція

 

 

визначена на інтервалі

 

функції в'

 

 

цьому інтервалу то для

неперервності

точці

необхідно і достатньо, щоб функція

 

була неперервна ліворуч'

і праворуч від точки ':

 

 

 

lim-D-N(' lim-D-NS' .

 

 

(3.18)

Якщо умови (3.16), (3.17) не виконуються, то функція розривна у точці ', а точка ' називається точкою

розриву функції.

 

 

 

 

 

 

Класифікація розривів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 3.33. Якщо функція

 

 

 

не визначена в

 

 

 

 

 

 

 

величини то кажуть

,

 

що в

точці

 

 

або має стрибок кінцевої

 

,

,

 

 

 

 

така точка , в якій

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тобто,

точці

'

 

функція

 

 

 

 

має

розрив першого роду.

 

точкою'

 

 

функції

 

 

 

першого

роду називається

розриву

 

 

 

між собою (рис'

 

 

функція має ліву та праву границю не рівні

. 3.11):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D-N(' d lim-D-NS' .

 

 

 

(3.19)

 

 

Визначення 3.34. Якщо функція

 

'

 

в точці

 

'

не

роду (рис. 3.12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

має хоча в однієї з однобічніх границь,

 

або вона дорівнює

,

 

 

 

 

 

 

 

то кажуть, в функція

 

 

 

має в точці

 

розрив

 

 

 

v∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

другого

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

O

x

O

x

Рис. 3.11.

 

Рис. 3.12.

 

127

Зауваження. У випадках і розриву першого роду, і розриву другого роду, точка ' може належати або не належати області визначення функції.

Приклад 3.34. Перевірити на неперервність функцію

 

 

 

" 5,

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

» 8,

0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 6,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=5x-6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Побудуємо

 

графік

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функції (рис. 3.13):

 

 

 

 

y=x+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція

задана

 

трьома

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

елементарними

функціями,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неперервними

 

у

 

своїх

-

5

 

 

 

 

 

 

O

 

 

2 3

x

 

областях визначення, тому,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.13.

 

 

 

 

якщо вона і має розриви, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лише у

точках

0

і

2.

Дослідимо на

 

неперервність

функції у точках:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D'('

 

lim-D'(' " 5 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D'S'

 

lim-D'S'

8 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D'('

d lim-D'S'

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D8('

 

lim-D8('

8 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D8S'

 

lim-D8S'5 6 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim-D8('

 

lim-D8S'

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

Отже, у точці

роду

функція неперервна,

а у точці

має

розрив першого 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

128

 

 

Приклад

3.35. Перевірити

 

на

 

неперервність функцію

5

x

 

 

 

 

у 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cqy в точці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання: Обчислимо ліву та праву границю функції

у точці 4:

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5x

x

5

 

 

0

 

 

lim-D (' lim-D (' 5 x

 

(m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cqy

 

(N

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

lim-D S' lim-D S' 5cqy 5N 5m ∞.

 

 

 

Отже, права

 

границя

функція

у

 

 

точці

 

 

 

 

дорівнює

нескінченності, а тому вона має в ній розрив

другого роду

 

4

.

 

 

 

Деякі властивості неперервних функцій

 

відрізку

 

 

,

то на цьому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

,

Якщо функція

 

 

 

 

 

 

 

 

неперервна на

 

 

Теорема

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка

 

 

 

 

така,

що

 

 

 

 

відрізку знайдеться хоча б одна

 

 

 

 

½

 

 

 

 

 

 

у

цій

точці буде

точка

 

 

така

 

що

значення

функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

і знайдеться хоча б одна

задовольняти) нерівності

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

цій

точці буде

задовольняти8 нерівності

значення)

функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( . 3.14).

 

 

 

 

 

P

 

на інтервалі

 

 

 

Тут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

- найменше

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

найбільше, а

 

 

 

8

 

 

 

значення функції)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

a

a

 

x

 

 

 

x2

 

 

b

 

b

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

129

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауваження. Твердження теореми може бути невірним, якщо; розглядати функцію на незамкненому інтервалі

.

 

Теорема

 

2.

 

Нехай

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інтервалу

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функція

 

 

 

 

неперервна на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інтервалі

 

і

на

кінцях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

має

значення

різних

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знаків, тоді між точками

 

і

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знайдеться

 

хоча

б одна

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

c

 

d

b

x

(рис. 3.15)5.

0

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.15.

 

 

 

, у якій функція дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нулю

 

 

 

 

3.

 

 

Нехай

 

функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначена

 

і

 

Теорема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неперервна на відрізку

 

 

 

. Якщо

на кінцях цього відрізку

 

 

 

 

 

,

то яке б не

значення функції

відрізняються

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¾

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¾ ±

 

 

 

було число

,

 

 

 

 

 

 

 

 

між числами

 

і

 

 

знайдеться

яке розташоване *

 

 

 

+,

 

 

 

 

така точка

 

±

 

, яка розташована між

 

і

 

 

 

,

що

 

+

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

На рис. 3.15 будь-яка пряма ± перетинає графік.

 

 

130

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.