Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

∆ '2

"3 ' 2 3 5 .

 

 

1

 

{/{

.

Отже маємо: b [ T{/{ " ; b \

 

Відповідь: b " ; b ; b ; | }.

1.3.7.Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки

Упопередньому розділі ми познайомилися з методами розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Знання цих методів та навички в їх використанні знадобляться нам у розв’язанні прикладних економічних задач. Познайомимося з

основними визначеннями та формулами.

b

0 b ~

! 1,2, … #

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

1.26.

 

 

 

вигляду

 

 

b

 

Визначення

 

Рівняння

 

 

 

 

 

 

називаються співвідношеннями балансу, де

 

-

об єми валового

продукту

 

тої

галузі для невиробничого

в процесі

 

b

-

-

 

 

 

 

! 1,2,… #.

 

 

 

споживання,

 

 

об’єм продукції

 

-тої галузі що споживаються

 

виробництва

тою галуззю

 

 

 

 

 

 

Співвідношення балансу можуть бути записані:

де

а) у вигляді b ∑0

b ~ ! 1,2, … #

! , 1,2, … , #

 

(1.22)

(1.23)

- коефіцієнти прямих витрат, які вказують на витрати

продукції -тої галузі на виробництво одиниці продукції -тої галузі;

б) у матричному вигляді

 

c $c ‚

(1.24)

41

 

або

 

b

 

 

 

 

!9 " $#c ‚

 

 

~

 

 

 

 

(1.25)

 

c 5

 

$ 5

 

 

 

 

7 ‚ 5

7

 

 

 

 

 

 

 

ƒ 7

,

 

 

 

 

 

 

ƒ

 

 

(1.26)

де

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

~

 

,

 

c

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

$

 

-

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

- вектор кінцевого продукту,

-

 

вектор валового випуску,

 

 

 

 

матриця прямих витрат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Головна задача міжгалузевого балансу складається у

знаходженні

 

такого вектора

 

валового

випуску

 

 

,

який

при

відомій матриці

прямих витрат

 

забезпечує

 

заданий

вектор

$

 

 

c

 

 

 

 

 

 

кінцевого продукту .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор c

валового випуску знаходиться за формулою:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

!9

 

" $#T‚ e‚

 

 

 

 

 

 

 

(1.27)

де

 

 

,

 

 

e !9 " $#

T

 

 

називається

матрицею

повних

 

матриця

 

 

 

 

 

 

 

витрат

 

кожен

елемент

 

 

 

якої

показує

величину

валового

 

 

 

 

.

 

 

 

-тої

галузі

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

1

!

випуску продукції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2, … , #

 

 

кінцевого

продукту

 

-тої

галузі

 

 

 

 

 

 

 

випуску одиниці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауваження.

 

Матриця

 

 

вектора

 

 

називається

продуктивною,

якщо

для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

існує

 

будь-якого$ … 0

 

 

 

‚ … 0

 

 

 

розв’язок c … 0 рівняння (1.25).

 

 

 

 

… 0

 

 

 

 

 

, 1,2, … ,.

та

$

 

 

 

 

 

 

 

 

‰ 1

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

max0 ,…, 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матриця

 

продуктивна,

якщо

 

 

 

для будь-яких

0 Y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

існує номер

 

такий що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 1.27. Чистою продукцією галузі називається різниця між валовою продукцією цієї галузі і витратами продукції всіх галузей на виробництво цієї галузі.

Скористаємося наведеними визначеннями для розв’язання задач.

42

Приклад 1.19. В таблиці 1.1 наведені коефіцієнти прямих витрат і кінцева продукція галузей на запланований період (в умовних грошових одиницях):

 

 

 

 

 

Таблиця 1.1

 

 

 

 

 

 

Галузь

 

Споживання

Кінцева

 

Галузь 1

Галузь 2

продукція

 

 

 

Виробництво

 

Галузь 1

0,4

0,35

400

 

Галузь 2

0,2

0,15

300

Знайти:

1)плановані об’єми валової продукції галузей, міжгалузеві поставки, чисту продукцію галузей;

2)необхідний об’єм валового випуску кожної галузі, якщо кінцеве споживання продукції першої галузі збільшиться на 10 %, а другої – на 30 %.

Розв’язання:

 

 

$

 

1)

 

 

 

і

запишемо матрицю коефіцієнтів прямих витрат

вектор кінцевої продукції

 

:

 

 

$ ?0,4

0,35@ ;

‚ ?400@.

 

 

 

0,2

0,15

 

300

 

 

Зауважимо, що матриця продуктивна, тому що всі її елементи додатні та сума елементів в кожному рядку і в кожному стовпці менше одиниці.

Щоб знайти матрицю повних витрат, знайдемо матрицю

9 " $:

9 " $ ?1

0@ " ?0,4

0,35@ ? 0,6

"0,35@.

 

 

0

1

 

0,2

0,15

"0,2

0,85

 

Звідси

матриця повних

витрат

 

T

знаходиться за

добре відомою нам схемою

знаходження оберненої матриці

:

 

e !9

" $#

 

 

 

 

 

43

 

 

 

det!9 " $#

0,6

"0,35

 

 

;

"0,2

0,85

• 0,51 " 0,07 0,44

M

0,6

"0,2

;

 

 

!9 " $# ?"0,35

0,85

@

$M 0,2; $M 0,6;

$M 0,85;

$M 0,35;

 

e !9 " $#T y,11 ?0,85

0,35@ ?1,93

0,80@.

 

 

0,25

0,6

0,57

1,36

Знайдемо вектор

валового

продукту c за формулою

(1.27):

c e · ‚ ?1,93 0,80@ · ?400@ ?772 240@ ?1012@ 0,57 1,36 300 228 408 636

Перший рядок матриці c відповідає галузі 1, а другий – галузі 2.

Міжгалузеві поставки b знайдемо за формулою (1.23): b · b

b · b 0,4 · 1012 404,8; b · b 0,35 · 636 222,6; b · b 0,2 · 1012 202,4; b · b 0,15 · 636 95,4.

Чиста продукція галузі дорівнює різниці між валовою продукцією цієї галузі і витратами продукції всіх галузей на виробництво цієї галузі.

Отже, витрати продукції всіх галузей на виробництво:

- першої галузі

b b 404,8 202,4 607,2;

44

-

другої галузі

 

 

 

b b 222,6 95,4 318,0.

Остаточно маємо чисту продукцію

 

-

другої галузі:

1012 " 607,2 404,8.

-

636 " 318 318

;

першої галузі:

 

Всі отримані результати зведені в таблиці 1.2:

Таблиця 1.2

 

 

 

 

Споживання

 

Кінцева

 

Валова

Галузь

 

 

Галузь

 

Галузь

 

 

 

 

 

продукція

продукція

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Виробництво

 

Галузь1

404,8

 

222,6

 

400

 

1012

 

 

Галузь2

202,4

 

95,4

 

300

 

636

 

Чиста продукція

404,8

 

318

 

 

 

 

 

 

 

Валова продукція

1012

 

636

 

 

 

 

 

 

 

2) знайдемо вектор кінцевого

 

споживання

 

,

 

з

урахуванням того, що кінцеве споживання

першої

 

 

 

галузі збільшиться на 10 %, а другої – на 30 %:

 

 

 

 

 

 

‚ ?400 · 1,1@ ?440@.

 

 

 

 

 

 

 

 

300 · 1,3

390

 

 

 

 

 

,

Останнє дає можливість знайти вектор валового випуску

 

який при відомій матриці прямих витрат

 

забезпечує

заданий

$

 

 

c

вектор кінцевого продукту .

 

 

 

 

 

 

 

Скористаємося формулою (1.27):

 

 

 

 

 

 

 

c e · ‚ ?1,93

0,80@ · ?440@ ? 849,2 312 @ ?1161,2@

0,57

1,36

390

 

250,8 530,4

 

781,2

 

 

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

2.1.МЕТОД КООРДИНАТ

2.1.1.Декартова система координат на площині

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай

 

 

на

 

площині

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

проведено

 

дві

 

взаємно

 

B

 

 

 

 

 

 

 

перпендикулярні

прямі

Žb, Ž~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(рис. 2.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1.

 

 

O

 

1 A

 

 

Визначення

Система

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координат, що утворена перетином

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

двох

взаємно перпендікулярних

 

Рис. 2.1.

 

 

 

 

 

прямих, називається прямокутною

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(або декартовою) системою координат.

Вісь

 

називається

віссю абсцис

,

вісь

 

-

віссю

ординат

.

Точка

 

перетину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Žb

 

 

координатних осей називається початком координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ž~

 

 

 

 

 

 

Ž .

 

Система координат вважається заданою, якщо заданий початок координат, напрям координатних осей та масштаб (одиничний відрізок).

Нехай

-

довільна

 

точка

 

на

площині

(рис. 2.1).

знаками.

 

 

 

 

 

Ž$

 

Ž:

,$

і

 

на координатні вісі

Проведемо із неї перпендикуляри

 

 

Нас цікавлять довжини

 

 

і

 

 

які :беруться

з

певними.

Правило:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

якщо

точка

то

 

розташована

праворуч

від

початку

 

координат,

 

 

довжині

 

 

 

приписують

знак

« »,

 

 

$

 

 

 

Ž$

 

 

 

 

 

 

якщо ліворуч – « - »;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

якщо

точка

 

розташована

вище

від

початку

2)

координат,

 

то

:довжині

Ž:

приписують

знак « »,

 

якщо нижче – « - ».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином точка

має координати

b Ž$, ~

3)

Ž: (одиниць довжини).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перший принцип відповідності. Будь-якій точці на площині відповідає два числа – її координати. І навпаки, будьякій парі чисел відповідає певна точка на площині, яка має ці числа своїми координатами.

2.1.2. Довжина відрізка. Відстань між двома точками

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 2.2).

 

Нехай дано дві точки

 

 

 

і

 

і

 

 

 

 

точок

 

 

 

на координатні

вісі

.

Опустимо перпендикуляри з

 

 

 

 

,

 

,

 

 

y

 

 

y

 

 

 

y

 

M2

y2

 

M2

 

2

 

 

 

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

y

 

N

 

 

A x2

 

1

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

x

O

x1

x

O

 

 

x2

 

 

 

 

 

M1

B

y

N

 

 

 

1

 

 

 

 

(a)

 

 

(б)

 

 

 

Рис. 2.2.

 

 

 

 

,

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

, вона

Точку перетину перпендикулярів позначимо як

має координати

 

. Ми отримали прямокутний трикутник

 

де

 

- гіпотенуза

. З теореми Піфагора маємо

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

розташування точок. Тут ,

На рис. 2.2,а простіше.

Отже маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(2.1)

 

,

 

 

 

 

 

.

 

 

,,

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо рис. 2.2,б.

Тут

 

 

 

Аналогічно

, але

 

 

 

 

 

а тому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47

 

 

 

 

 

але ,

,

а тому

 

 

. Отже маємо

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0

Згідно з формулою (2.1) відстань від початку координат

 

до точки , обчислюємо за формулою

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

(2.2)

 

: 2,1 , 1,5, 6, 4 . Знайти периметр трикутника.

 

 

Приклад

2.1.

Дано

вершини

трикутника

 

 

Розв’язання: Периметр трикутника обчислимо за

 

формулою

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для цього знайдемо довжини відрізків

, , .

 

 

1 2 5 1 9 16 5 (од.);

 

 

 

6 1 4 5 25 81 106 (од.);

 

6 2 4 1 64 25 89 (од.).

 

Отже маємо 5 √106 89 (од.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1.3. Поділ відрізка у даному відношенні

 

,

і ,

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та додатні

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай

 

дано

 

точки

 

 

 

 

 

 

 

M 2

 

числа і

! ""$#%. Необхідно

 

 

 

 

q1

M

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що поділяє

 

 

M

 

 

 

 

 

 

знайти точку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

відрізок

 

 

,у ,відношенні

 

 

x1

x

P

 

x

! ""$#,

тобто

 

 

 

 

 

O

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&&$

"$ !.

 

 

 

 

 

&#& "#

 

 

 

 

 

(2.3)

Побудуємо трикутники і ( (рис.2.3). Вони

 

 

 

&*

&&$

 

подібні (за двома кутами). А тому &#)

&#&. Але

 

 

, ( .

"#

 

 

 

 

 

 

З (2.3) маємо +,+#

!

;

! !

,

+$,+

"$

 

 

! ! . Звідси

 

-.

 

 

 

(2.4)

 

 

+#-.+$.

 

 

Аналогічно знаходимо

/#-./$. (2.5)

-.

Приклад 2.2. Дано відрізок : 1,3 , 4,8. Його поділено на чотири рівні частини. Знайти координати точок ділення.

 

 

 

Розв’язання: На чотири частини поділяємо відрізок

трьома точками. Позначимо їх як (рис. 2.4)

 

 

. Визначимо

 

 

 

 

 

 

 

кількості

частин

що

 

для кожної з точок як відношення

 

, 1, 2

,

 

пройшли від початку відрізку до обраної

y

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точки,

до

кількості частин,

що пройшли

 

 

B

 

після неї. Нехай - початок відрізку, а -

8

 

 

 

 

 

кінець. Отже λ4

5 , λ6

1, λ7 5

 

 

 

E

 

3. Скористаємося формулами (2.4) і (2.5):

 

 

 

D

 

8

, -#·;

 

5-#·=

;> ;

 

3

C

 

 

-99#

; ; 8 -99#

 

A

 

 

 

6 , --; 5 ;

6 5--= ;

 

-1O

 

4

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.4.

 

 

 

 

 

 

 

49

 

 

 

 

 

7

, -5·;

 

 

5-5·=

>

 

 

 

 

-5

;

; 7 -5

; .

 

, ;>%.

 

 

Відповідь:

; , ;>% , 1

5 , % , 2 ;

 

 

. Знайти точку перетину

 

:

2,2 , 1,1 ,

3,7 .

 

2.3.

Дано трикутник

 

 

 

 

 

Приклад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бісектриси кута

 

з протилежною

стороною

Розв’язання: Скористаємося властивістю бісектрис, а саме: бісектриса поділяє протилежну сторону трикутника у відношенні, що дорівнює відношенню @довжин прилеглих сторін. Позначимо через

точку перетину бісектриси і сторони

(рис. 2.5). Згідно з властивістю бісектриси

і :

B8

C8

!

. Обчислимо довжини

 

маємо AB

CA

 

 

1 2 1 2 9 1 10;3 2 7 2 1 25 26,

y

C

7

K

2 A

B 1

x

-1 O 2 3 Рис. 2.5.

Маємо ! ED F5. Скористуємося формулами (2.4), (2.5)

і

знайдемо

координати точки

@

:

B

, -#G9

·5

 

,√ 5-5√F

;

 

- G ·>

 

 

 

.

 

 

-√G#9

5-√F

B

#9

5->√F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-#9G

5-√F

√ 5-√F

,

5-√F %

 

 

 

 

 

 

Відповідь:

@

 

 

 

 

 

 

 

 

,√ 5-5√F

 

5->√F .

 

 

 

 

 

50

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.