Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

 

 

 

 

1.2.

 

МАТРИЦІ

 

 

 

 

 

 

 

1.2.1.

Основні визначення

 

Визначення 1.6 Матрицею

$ 4 4

називається

прямокутна таблиця чисел.

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ 5

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(1.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

6

 

6

 

 

 

яка складається з рядків та

стовпців.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

88888

.

 

 

 

 

 

 

 

888888

 

 

 

 

 

Визначення 1.7

Числа

 

називаються

 

елементами

! 1, #

 

- номер.

рядка

 

, а

 

– номер стовпця

матриці, де

 

 

 

Визначення 1.8. Матриця, число рядків якої дорівнює числу стовпців, називається квадратною матрицею.

Визначення 1.9. Квадратна матриця, всі елементи головної діагоналі якої, дорівнюють 1, а всі інші – 0, називається

одиничною, та позначається як1

0

0 .

 

(1.4)

9 50

1

07

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

Визначення 1.10. Дві матриці

і

називаються рівними,

якщо вони однакового розміру та

відповідні елементи

 

і

 

 

$ :

 

 

 

 

цих матриць рівні.

 

 

 

 

1.2.2.Операції над матрицями

Додавання (різниця) матриць. Додавати (віднімати)

можна лише матриці однакового розміру.

11

 

 

 

Визначення 1.11. Сумою (різницею) двох матриць

 

 

і

 

 

розміру

 

 

 

називається

матриця того же

розміру,

кожен

 

 

 

 

$

 

 

:

$ і ::

 

 

якої є сумою

 

(

різницею

)

елементів відповідних матриць

елемент ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ : <,

 

 

 

=

;

 

(1.5)

?4 "5 2

 

 

 

$ " : >,

 

 

 

 

" .

 

(1.6)

@ : ?"2 2 "1@

та різницю

матриць

 

$

3

1

Прикладі

1.5.

 

Знайти суму.

 

"7

 

 

 

 

 

3

0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання:

 

 

 

"5 2

 

2 !"1#@ ?2

"3

 

1

 

@;

 

< $ : ?4 !"2#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 3

 

 

1 0 "7 4

 

 

6 1 "3

 

 

 

> $ " : ?

4 " !"2#

"5 " 2 2 " !"1#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 " 3

 

 

1 " 0 "7 " 4 @

 

 

 

 

 

 

 

 

?6

"7

 

 

 

3 @.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

"11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Множення матриць на число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

Визначення 1.12.

Добутком

матриці

 

на число

 

називається матриця

 

 

, кожен елемент якої є

добутком числа

 

 

 

$

 

 

 

 

 

 

на відповідний

елемент матриці

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

:

 

 

 

 

A · .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: A · $, $

 

 

9 D

 

 

число

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ B 2

 

 

 

 

 

Приклад

1.6. Знайти добуток матриці

 

 

 

"5

6

 

 

на

 

 

A 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання:

12

: 7 · $ B

7 · !"5#

7 · 6

"35

42 .

7 · 2

7!· 9

#D B 14

63

D

 

7 · 0

7 · "4

0

"28

 

Множення матриць. Множити можна матриці лише в тому випадку, якщо число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої. В добутку отримаємо матрицю, у якої стільки рядків, скільки у першої матриці, і стільки стовпців,

скільки у другої.

 

<

E ; F

 

 

 

 

 

 

 

правилом

 

 

 

 

 

 

 

 

і

 

Визначення

1.13. Добутком матриць

 

 

 

називається матриця

 

, елементи

якої обчислюються за

 

 

$ E ; F

 

: E ; F

= ·

· · ∑G0 G · G

(1.7)

888888

88888 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де 1, ; 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схематично розмір отриманої матриці можна зобразити

наступним чином:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

k

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

.

 

=

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Що стосується правила для обчислення елементів матриці-добутку, то його схематично можна зобразити так:

 

 

 

 

j

i

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

Щоб отримати елемент = , необхідно скласти$ суму добутків відповідних: елементів -го рядка матриці та -го стовпця матриці . При виконанні цього завдання радимо користуватися олівцем та гумкою, закреслюючи відповідні рядки першої та стовпці другої матриць.

 

Зауваження: В загальному випадку операція множення

матриць

не

комутативна

,

тобто

$ · : : · $,

навіть

 

коли це

можливо.

 

 

 

 

 

 

 

5 D

 

:

 

Приклад

1.7.

Дано

матриці

$ B1

і

?"4

$ · :

2

"7

 

 

 

1

. 5

@

Знайти добуток матриць

4і

: · $

,

якщо це

3

0

"2 .

 

6

можливо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

"7

 

3

0 "2@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ · : B1 5

D · ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

6

 

"4

1

5

 

 

 

2 · !"2# !"7# · 5

 

2 · 3 !"7# ·

!"4#

2 · 0 !"7# · 1

7

5

1 · 3 5 ·

!"4#

 

 

 

1 · 0 5 · 1

1 ·

!"2#

5 · 5

 

 

4 · 3 6 ·

!"4#

 

 

 

4 · 0 6 · 1

4 ·

!"2#

6 · 5

 

 

B

6 28

0 " 7

"4 " 35

 

 

34

"7

"39 .

 

 

 

 

3 " 20

0 5

"2 25D B"17

5

23

D

 

 

 

 

12 " 24

0 6

"8 30

 

 

"12

6

22

 

 

 

 

 

 

 

3

0

 

"2

 

2

"7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: · $ ?"4 1 5

@ · B1 5

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 · 2 0 · 1

!"2# · 44 63 · !"7# 0 · 5 !"2# · 6

 

 

 

K

"4 · 2 1 · 1 5 · 4

 

!"4#

· !"7# 1 · 5 5 · 6L

 

 

?

3 0 " 8

 

"21 0 " 12@ ?"5

"33@.

 

 

 

 

 

 

"8 1 20

28 5 3014

 

13

63

 

 

 

 

 

 

 

В розглянутому прикладі можливі були операції

множення

 

і

 

. В результаті ми отримали матриці не

тільки з

різними елементами

але й різного розміру у першому

 

$ · :

 

: · $

,

:

2 ; 2

ми отримали матрицю розміром 3 ; 3, а в другому -

випадку.

Зауваження: Для квадратних матриць однакового порядку операція множення матриць можлива завжди.

Якщо$ · :$ і : - дві квадратні матриці -го порядку, то їх добуток – матриця -го порядку. Виникає питання, а чи пов’язані між собою визначники цих матриць?

Теорема 1.1. Визначник добутку двох квадратних матриць -го порядку дорівнює добутку визначників матрицьмножників.

Доведення цієї теореми виходить за рамки розглядає

мого курсу. Перевіримо її результати на прикладі.

 

 

 

 

 

 

 

 

$ B2

0

5D

 

 

 

Приклад 1.8. Дано матриці

3

"1

4

i

 

 

1

"1

8

 

 

: B"3

1

0 D

 

 

$ : $ · :

 

4

1

"6

. Знайти визначники матриць

 

,

 

і

.

5

1

2

 

 

$ · :

Розв’язання:

 

 

 

 

 

 

 

 

5 3 32

1 " 1 8

2

0

" 48

40

8

"46

;

B10

0

20

2 0 5

4

0

" 30D B30

7

"26D

 

15

3

16

3 " 1 4

6

0

" 24

34

6

"18

 

 

1

"1

8

 

 

 

 

 

;

 

 

$ -2

0

5-

0 " 15 " 16 " 0 5 8 "18

 

 

 

3

"1

4

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

: -"3 1

0

 

- "30 0 " 6 " 8 " 0 " 18 "62

 

 

 

4

1

"6

 

"46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!$ · :# -30

7

 

 

"26- "5040 " 7072 " 8280

 

 

 

 

34

6

 

 

"18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10948 4320 6240 1116;

 

 

 

 

 

$ · : "18 ·

!"62#

1116.

 

 

 

 

 

 

 

 

Як бачимо, $ · : !$ · :#.

 

 

 

 

 

;

:Транспонування матриць. Нехай $ - матриця розміром

 

 

$ 5

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 1.14. Матриця, що утворюється з матриці

 

заміною

рядків

 

стовпцями

(або

навпаки),

 

 

називається

 

 

 

 

 

$

$M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

транспонованою:

матрицею відносно матриці $ і позначається

 

 

$ 5

7

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

6

 

.

 

(1.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9.

"2

3

 

 

 

 

 

 

$

 

Приклад

 

Знайти

транспоновану

матрицю

 

M

 

 

 

 

 

 

 

0

"7

 

 

 

 

 

 

 

відносно матриці $ P

2

"5

S.

 

 

 

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання:

 

 

N

1

2

Q

 

 

 

 

 

 

 

16

M

 

"2

4

0

2

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$

?

4

1

"7

"5

2@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обернена матриця.

 

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення

1.15.

 

Нехай

 

квадратна

матриця -го

порядку.

 

$

 

 

 

 

 

 

 

-го

порядку)

 

називається

Квадратна матриця

 

!

 

 

 

 

оберненою до

 

, якщо

 

 

 

$T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 1.16.

$ · $T $T · $ 9.

 

 

 

-го порядку

Квадратна матриця

 

 

 

 

називається невиродженою,

 

якщо

її

визначник

 

 

 

$

 

 

матриця

відрізняється від нуля, в протилежному випадку

 

$

називається виродженою.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$

 

 

Теорема 1.2. Будь яка невироджена матриця

 

має єдину

обернену матрицю

$T.

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обернену матрицю будемо знаходити за схемою:

 

1)

обчислюємо визначник матриці

 

 

;

 

 

 

 

 

2)

знаходимо транспоновану

матрицю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ M;

 

до

кожного

3)

обчислюємо

алгебраїчні

 

доповнення

 

 

 

 

 

 

$

 

 

 

 

 

 

елемента транспонованої матриці;

 

 

 

 

 

 

 

4) записуємо обернену матрицю за правилом:

 

 

 

$

 

UVWX P

 

$M

 

$M

 

 

$M

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.9)

 

T

 

 

 

 

$M

 

$M

 

 

$M

 

.

 

 

 

 

$T

 

 

N $M

 

$M

 

 

 

$M

Q

 

 

 

 

5)

· $ 9.

 

 

 

 

обчислив

 

$ · $ 9

або

виконуємо

перевірку,

 

 

 

T

 

Приклад 1.10. Знайти матрицю, обернену до

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"3

0

6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ B 2

2

4 D

 

 

Розв’язання:

 

 

 

 

 

5

1

"2

 

 

"3 0

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

$ - 2

 

2

 

4

 

- 12 0 12 " 60 " 0 12 "24

 

5

2

1

"2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"3

 

 

5

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

$M B 0

2

 

 

1

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

4

 

 

"2

 

 

1

 

' "4 " 4 "8;

 

 

$M !"1#%

· '2

 

 

 

 

 

 

$M

 

 

 

 

4

 

 

 

"2

'

"!0 " 6# 6;

 

 

!"1#% · '0

 

 

 

1

 

 

 

$M

 

 

 

 

6

 

 

 

"2

 

 

 

 

 

 

!"1#% · '0

 

 

 

2'

0 " 12 "12;

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

4

 

 

'

"!"4 " 20# 24;

 

$M !"1#% · '2

 

5

 

 

M

 

%

 

4

 

 

 

"2

 

 

 

 

 

 

 

"3

 

 

 

5

 

 

 

;

 

$ !"1#

%

· ' 6

 

 

"2' 6 " 30 "24

 

M

 

 

"3

 

 

2

"!"12 " 12#

24

;

$ !"1#

 

 

· ' 6

 

 

4'

 

$M !"1#% · '2

 

 

 

5'

2 " 10 "8;

 

 

 

M

 

%

 

2

 

 

 

1

5

 

 

 

 

 

 

 

"3

 

 

"!"3 " 0# 3

;

 

$ !"1#

%

· ' 0

 

 

1'

 

 

M

 

 

"3

 

 

2

"6 " 0 "6

.

 

 

$ !"1#

 

 

· ' 0

 

 

2'

 

 

 

18

 

 

 

"8

 

6

 

"12 .

 

 

 

 

 

$T " 1 B24

"24

 

24

D

 

 

 

 

 

 

 

 

"8

 

3

 

"6

 

 

 

 

 

 

Перевірка:

 

6

 

"12

"3

0

 

6

 

 

 

"8

 

 

 

$T · $ " 1 B24

"24

 

24 D · B 2

 

2

 

4 D

 

 

 

 

"8

 

3

 

0

"6

5

 

1

"2

24 12 " 60

 

12 " 12 "48 24 24

" 1 B"72 " 48 120

 

0

" 48 24

 

144 " 96 " 48D

 

24 6 " 30

0

 

 

0 6 " 6

0

"48 12 12

 

"24

 

0

 

 

 

1

0

 

 

.

" 1 B

0

 

"24

 

0

 

D B0

1

0D 9

 

 

0

 

 

0

"24

 

0

0

1

 

 

 

Отже, перевірка показала, що обернена матриця знайдена вірно.

 

 

 

 

Відповідь:

 

 

 

 

 

"8

6

 

"12 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$T " 1 B24

"24

24 D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"8

3

 

"6

 

 

 

 

 

 

 

 

Ранг матриці. Елементарні перетворення.

; :

 

 

 

 

 

 

Нехай дано прямокутну матрицю $

розміром

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ 5

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В окремому випадку можлива рівність

,

тобто матриця

$

може(

бути квадратною).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Нехай

 

-

 

довільне натуральне число, що не перевищує

 

Y

Y Y /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y Y Y /

 

 

 

і

 

 

Оберемо в

 

довільним способом

 

рядків з номерами

 

 

 

 

 

 

 

та$

 

стовбців з

 

номерами

 

 

 

.

З

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

елементів матриці

 

, що розташовані на перетині обраних

 

рядків і

 

стовпців,

утворимо визначник

:

 

 

 

 

 

 

 

$

 

 

[ \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

[ [

 

[ ]

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ [

 

\ \

\ ] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

] [ ] \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

] ]

 

 

 

 

 

 

 

Цей визначник називається мінором

– го порядку матриці .

 

Визначення

 

 

1.17.

 

 

,

 

 

 

 

$

(

^$

 

 

 

Рангом матриці

 

 

 

 

)

називається таке ціле число

 

 

що серед мінорів -го порядку

матриці

 

 

є хоча б один

такий

що відрізняється від нуля

,

а всі

$

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мінори

-го порядку (якщо їх можна скласти) дорівнюють

нулю. ! 1#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод знаходження рангу матриці за визначенням 1.17

називається «методом відокресленних мінорів». Розберемо цей метод на прикладі.

Приклад 1.11. Знайти ранг матриці

"7 .

"5

1

4

$ B 0

3

2

"3D

2

2

8

1

Розв’язання:

На перетині, наприклад,5 першого0 рядка і першого стовпця розташований елемент - . Отже ранг матриці не менший від одиниці.

З елементів, що розташовані, наприклад, на перетині перших двох рядків і перших двох стовпців, утворимо мінор

(визначник) другого порядку:

 

'від двох'. "15 " 0 "15 0

0

3

, Отже, ранг матриці не менший

"5

1

 

 

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.