Пособие_ВМ_для_менеджеров

1.2.

МАТРИЦІ

1.2.1.

Основні визначення

Визначення 1.6 Матрицею

$ 4 4

називається

прямокутна таблиця чисел.

:

$ 5

…

7

…

…

…

…

,

(1.3)

…

6

6

…

6

яка складається з рядків та

стовпців.

88888

.

888888

Визначення 1.7

Числа

називаються

елементами

! 1, #

- номер.

рядка

, а

– номер стовпця

матриці, де

одиничною, та позначається як1

0

…

0 .

(1.4)

9 50

1

…

07

…

…

…

…

0

0

…

1

Визначення 1.10. Дві матриці

і

називаються рівними,

якщо вони однакового розміру та

відповідні елементи

і

$ :

цих матриць рівні.

Визначення 1.11. Сумою (різницею) двох матриць

і

розміру

називається

матриця того же

розміру,

кожен

$

:

$ і ::

якої є сумою

(

різницею

)

елементів відповідних матриць

елемент ;

$ : <,

=

;

(1.5)

?4 "5 2

$ " : >,

" .

(1.6)

@ : ?"2 2 "1@

та різницю

матриць

$

3

1

Прикладі

1.5.

Знайти суму.

"7

3

0

4

Розв’язання:

"5 2

2 !"1#@ ?2

"3

1

@;

< $ : ?4 !"2#

3 3

1 0 "7 4

6 1 "3

> $ " : ?

4 " !"2#

"5 " 2 2 " !"1#

3 " 3

1 " 0 "7 " 4 @

?6

"7

3 @.

0

1

"11

Множення матриць на число.

A

Визначення 1.12.

Добутком

матриці

на число

називається матриця

, кожен елемент якої є

добутком числа

$

на відповідний

елемент матриці

:

A

:

A · .

: A · $, $

9 D

число

.

$ B 2

Приклад

1.6. Знайти добуток матриці

"5

6

на

A 7

: 7 · $ B

7 · !"5#

7 · 6

"35

42 .

7 · 2

7!· 9

#D B 14

63

D

7 · 0

7 · "4

0

"28

скільки у другої.

<

E ; F

правилом

і

Визначення

1.13. Добутком матриць

називається матриця

, елементи

якої обчислюються за

$ E ; F

: E ; F

= ·

· · ∑G0 G · G

(1.7)

888888

88888 .

де 1, ; 1,

Схематично розмір отриманої матриці можна зобразити

наступним чином:

n

k

k

m

.

=

m

n

j

i

j

.

i

=

Зауваження: В загальному випадку операція множення

матриць

не

комутативна

,

тобто

$ · : : · $,

навіть

коли це

можливо.

5 D

:

Приклад

1.7.

Дано

матриці

$ B1

і

?"4

$ · :

2

"7

1

. 5

@

Знайти добуток матриць

4і

: · $

,

якщо це

3

0

"2 .

6

можливо

Розв’язання:

2

"7

3

0 "2@

$ · : B1 5

D · ?

4

6

"4

1

5

2 · !"2# !"7# · 5

2 · 3 !"7# ·

!"4#

2 · 0 !"7# · 1

7

5

1 · 3 5 ·

!"4#

1 · 0 5 · 1

1 ·

!"2#

5 · 5

4 · 3 6 ·

!"4#

4 · 0 6 · 1

4 ·

!"2#

6 · 5

B

6 28

0 " 7

"4 " 35

34

"7

"39 .

3 " 20

0 5

"2 25D B"17

5

23

D

12 " 24

0 6

"8 30

"12

6

22

3

0

"2

2

"7

: · $ ?"4 1 5

@ · B1 5

D

3 · 2 0 · 1

!"2# · 44 63 · !"7# 0 · 5 !"2# · 6

K

"4 · 2 1 · 1 5 · 4

!"4#

· !"7# 1 · 5 5 · 6L

?

3 0 " 8

"21 0 " 12@ ?"5

"33@.

"8 1 20

28 5 3014

13

63

множення

і

. В результаті ми отримали матриці не

тільки з

різними елементами

але й різного розміру у першому

$ · :

: · $

,

:

2 ; 2

ми отримали матрицю розміром 3 ; 3, а в другому -

випадку.

мого курсу. Перевіримо її результати на прикладі.

$ B2

0

5D

Приклад 1.8. Дано матриці

3

"1

4

i

1

"1

8

: B"3

1

0 D

$ : $ · :

4

1

"6

. Знайти визначники матриць

,

і

.

5

1

2

$ · :

Розв’язання:

5 3 32

1 " 1 8

2

0

" 48

40

8

"46

;

B10

0

20

2 0 5

4

0

" 30D B30

7

"26D

15

3

16

3 " 1 4

6

0

" 24

34

6

"18

1

"1

8

;

$ -2

0

5-

0 " 15 " 16 " 0 5 8 "18

3

"1

4

15

5

1

2

;

: -"3 1

0

- "30 0 " 6 " 8 " 0 " 18 "62

4

1

"6

"46

40

8

!$ · :# -30

7

"26- "5040 " 7072 " 8280

34

6

"18

10948 4320 6240 1116;

$ · : "18 ·

!"62#

1116.

Як бачимо, $ · : !$ · :#.

;

:Транспонування матриць. Нехай $ - матриця розміром

$ 5

…

7

…

…

…

…

.

…

6

6

…

6

Визначення 1.14. Матриця, що утворюється з матриці

заміною

рядків

стовпцями

(або

навпаки),

називається

$

$M

…

6

транспонованою:

матрицею відносно матриці $ і позначається

$ 5

…

…

…

…

7

M

…

6

.

(1.8)

…

6

1.9.

"2

3

$

Приклад

Знайти

транспоновану

матрицю

M

0

"7

відносно матриці $ P

2

"5

S.

4

1

Розв’язання:

N

1

2

Q

M

"2

4

0

2

1 .

$

?

4

1

"7

"5

2@

Обернена матриця.

$

Визначення

1.15.

Нехай

–

квадратна

матриця -го

порядку.

$

-го

порядку)

називається

Квадратна матриця

!

оберненою до

, якщо

$T

Визначення 1.16.

$ · $T $T · $ 9.

-го порядку

Квадратна матриця

називається невиродженою,

якщо

її

визначник

$

матриця

відрізняється від нуля, в протилежному випадку

$

називається виродженою.

$

Теорема 1.2. Будь яка невироджена матриця

має єдину

обернену матрицю

$T.

-

Обернену матрицю будемо знаходити за схемою:

1)

обчислюємо визначник матриці

;

2)

знаходимо транспоновану

матрицю

$ M;

до

кожного

3)

обчислюємо

алгебраїчні

доповнення

$

елемента транспонованої матриці;

4) записуємо обернену матрицю за правилом:

$

UVWX P

$M

$M

…

$M

S

…

…

…

…

(1.9)

T

$M

$M

…

$M

.

$T

N $M

$M

…

$M

Q

5)

· $ 9.

обчислив

$ · $ 9

або

виконуємо

перевірку,

T

"3

0

6 .

$ B 2

2

4 D

Розв’язання:

5

1

"2

"3 0

6

;

$ - 2

2

4

- 12 0 12 " 60 " 0 12 "24

5

2

1

"2

"3

5

;

$M B 0

2

1

D

6

4

"2

1

' "4 " 4 "8;

$M !"1#%

· '2

$M

4

"2

'

"!0 " 6# 6;

!"1#% · '0

1

$M

6

"2

!"1#% · '0

2'

0 " 12 "12;

6

4

'

"!"4 " 20# 24;

$M !"1#% · '2

5

M

%

4

"2

"3

5

;

$ !"1#

%

· ' 6

"2' 6 " 30 "24

M

"3

2

"!"12 " 12#

24

;

$ !"1#

· ' 6

4'

$M !"1#% · '2

5'

2 " 10 "8;

M

%

2

1

5

"3

"!"3 " 0# 3

;

$ !"1#

%

· ' 0

1'

M

"3

2

"6 " 0 "6

.

$ !"1#

· ' 0

2'

"8

6

"12 .

$T " 1 B24

"24

24

D

"8

3

"6

Перевірка:

6

"12

"3

0

6

"8

$T · $ " 1 B24

"24

24 D · B 2

2

4 D

"8

3

0

"6

5

1

"2

24 12 " 60

12 " 12 "48 24 24

" 1 B"72 " 48 120

0

" 48 24

144 " 96 " 48D

24 6 " 30

0

0 6 " 6

0

"48 12 12

"24

0

1

0

.

" 1 B

0

"24

0

D B0

1

0D 9

0

0

"24

0

0

1

Отже, перевірка показала, що обернена матриця знайдена вірно.

Відповідь:

"8

6

"12 .

$T " 1 B24

"24

24 D

"8

3

"6

Ранг матриці. Елементарні перетворення.

; :

Нехай дано прямокутну матрицю $

розміром

$ 5

…

7

…

…

…

…

.

…

6

6

…

6

В окремому випадку можлива рівність

,

тобто матриця

$

може(

бути квадратною).

.

Нехай

-

довільне натуральне число, що не перевищує

Y

Y Y /

Y Y Y /

і

Оберемо в

довільним способом

рядків з номерами

та$

стовбців з

номерами

.

З

19

елементів матриці

, що розташовані на перетині обраних

рядків і

стовпців,

утворимо визначник

:

$

[ \

Z

[ [

… [ ]

Z

…

…

…

\ [

\ \

… \ ] .

] [ ] \ …

] ]

Цей визначник називається мінором

– го порядку матриці .

Визначення

1.17.

,

$

(

^$

Рангом матриці

)

називається таке ціле число

що серед мінорів -го порядку

матриці

є хоча б один

такий

що відрізняється від нуля

,

а всі

$

,

мінори

-го порядку (якщо їх можна скласти) дорівнюють

нулю. ! 1#

Приклад 1.11. Знайти ранг матриці

"7 .

"5

1

4

$ B 0

3

2

"3D

2

2

8

1

(визначник) другого порядку:

'від двох'. "15 " 0 "15 0

0

3

, Отже, ранг матриці не менший

"5

1

20