Пособие_ВМ_для_менеджеров

Зауважимо, що розв’язати цю задачу можна і за

формулою (5.6).

@< .

Приклад 5.7. Знайти невизначений інтеграл

R

7

U

9<? ;

@<

@

Розв’язання:

√7

9<? ;

√7

√9

? ;

√9 · $"#

√9

√9 $"# √9< .

Приклад 5.8. Знайти невизначений інтеграл

√7F4<<@< ?

.

Розв’язання:

<@<

8 3

@

?

6

√7F4<

N

5 O

5

√

5 · 2√ 4 √8 3 .

Приклад 5.9. Знайти невизначений інтеграл

@<

.

√ F 0<?+VD=> 0<

$ 5

@<

Розв’язання:

X

0@<

Y

√ F 0<?+VDDE=W0<

√ F 0<?

@<

@

ZC

√ F 0<?

0

.

0

W

0

· F4

0+VDDE=C0<

Розв’язання: Спочатку спростимо цей вираз, винесемо за

дужки і скористаємося методом заміни змінної:

@<

@<

4 7

@

7 @<<

;<F9<[ <

< ;F9[ <

X @<

Y 9

<

9

9 4 7 .

5.4. ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ, ЯКІ МІСТЯТЬ

КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН

&^]_ `] a

5.4.1. Інтеграли, які мають вигляд

^]_ `] a

\]

або

\]

При інтегруванні запропонованих функцій за допомогою

простіший, прийом виділення повного

квадрату.

Для

.

' 2 , ,

'

«квадрат суми» або

«квадрат різниці»:

,

<?F5< 0

Приклад 5.11. Знайти невизначений інтеграл

@< .

Розв’язання:

Виділимо повний квадрат у виразі,

який

дорівнює

та віднімемо в початковому виразі величину, яка

,

,

(згідно з формулою). Отже, маємо:

3

6;

6 15

6 9

9 15

2 , ,

, ;

h

2 ,

6 .

2 ,

6

i

,

3

Підставимо отриманий вираз в початковий інтеграл і

скористаємося методом заміни змінної:

@<

@<

3

@

<?F5< 0

<F4 ? 5

j

k

? 5

√5

$"# √5

√5

$"# <F4√5 .

√4F;<F<?

.

Приклад 5.12. Знайти невизначений інтеграл

@<

225

Отже маємо:

4 3 7 2 .

3 4

скористаємося методом заміни змінної:

@<

@<

2

@

√4F;<F<?

&9F < ?

j k √9F ?

$ ! √9 $ ! <√9

.

^]_ `] a \]

5.4.2. Інтеграли, які мають вигляд

l] m

&^]_ `] a \]

або

l] m

10 3

2

10.

Сформуємо в чисельнику диференціал знаменника. Для

цього виконаємо у ньому тотожні перетворення:

<? t<F4

<? t<F4

<? t<F4

<F;

<F7

< tF tF7

<? t<F4

<? t<F4

u u

< t

7

@<

.

u

Знайдемо отримані інтеграли:

<? t<F4

v

10 3 w

< t

10

@

2

| 10 3|

;

5

u

9 <? t<F4

9 < 0 ?F 7

j

k

@<

@<

;√9

%< 0 √9%

9 ?F 7

9 · · √9 % √9%

@

F √9

:

< 0F √9

.

Остаточно маємо:

<? t<F4

| 10 3| ;√9 %< 0 √9%

<F;

:

< 0F √9

.

yz <

Будь яка

елементарна

функція

може

многочлени:

{|<

•

представлена-

у

вигляді дробу

{|<

, де x

і

бути-

x

yz < .

Нагадаємо, що якщо максимальний степінь чисельника

менший за

максимальний

степінь знаменника

, дріб

правильним,

максимальний

степінь

називається

якщо

€ f

, то

€ •

,

-

чисельника

більший

або

дорівнює максимальному

степеню

€ •

,

неправильним. Якщо

знаменника

дріб

називається

многочлен

– результат

ділення;

чисельник

отриманого

правильного дробу –

залишок від ділення):

x

‚

{|<

y|Zƒ < .

Нагадаємо читачеві процедуру ділення многочленів.

Приклад

5.14.

Знайти

цілу

частину

і залишок

< 4< < <

W

<?<

алгебраїчного дробу

C

?

.

Розв’язання: Поділимо чисельник на знаменник

3

2 1

?

G

4

<?<

;

; 4

„ < <F

24

24

2 2

1

1

2.

229

Отже, ‚

2 1 - ціла частина, число ( 2) –

залишок.

Остаточно маємо:

<W 4<C <? <

.

<? <

2 1 <? <

Інтегрування

многочлену

не

складає труднощів,

‚

дробу. Приведемо без доведення наступну теорему.

Теорема 5.7. Нехай y <

- правильний раціональний дріб,

де }

і •

- многочлени{з<дійсними

коефіцієнтами. Якщо

•

…ƒ

…

V …‡

ˆ ‰ Šƒ

…

· …

ˆ= ‰= Š‹

(5.8)

де

–

дійсні

корені

многочлену

• ;

(які

попарно

відрізняються

)

кратності

>

спряжені>

Ž

корені многочленуŽ

(які

попарно

– комплексноŒ , !

1,2, … , $

ˆ ‰

відрізняються

)

кратності

то

A •ŽBA •‘•B

…

’Ž,

“

1,2, … ,

•,

існують

дійсні

числа

>;

p

>

,

!

такі що

1,2, … , Œ

”Ž Š ,

Ž Š “

1,2, … ,

,

’

, 1,2,

,… , $, Œ

1,2, … , ’Ž

y <

nƒƒ

nƒ?

–

nƒ•ƒ

–

{ <

<F+ƒ •ƒ

<F+ƒ •ƒZƒ

<F+ƒ

n‡ƒ

n‡?

n‡•‡

<F+‡ •ƒ

<F+‡ •‡Zƒ

– <F+ƒ –

oƒƒ < —ƒƒ

oƒ? < —ƒ?

–

oƒšƒ < —ƒšƒ

–

<? ˜ƒ< ™ƒ šƒ

<? ˜ƒ< ™ƒ šƒZƒ

<? ˜ƒ< ™ƒ

o‹ƒ < —‹ƒ

o‹?

< —‹?

o‹š‹ < —‹š‹ .

(5.9)

<? ˜‹< ™‹

š‹

<? ˜‹< ™‹ š‹Zƒ

– <? ˜‹< ™‹