Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать
@< => ?<

Приклад 5.3. Знайти невизначений інтеграл

-2< 70 5 4.

=> ?< < .

-2< 6

Розв’язання:

 

 

 

 

 

70 => 5?< <4. 2 < 7 0

 

 

13 @<<

2< 59 5 7 "# 13 .

 

 

 

 

 

<√<

.

Приклад 5.4. Знайти невизначений інтеграл

 

A √<BC

 

Розв’язання:

 

A √<BC

 

 

4√< 4< <√<

@<

4

@< 4

@<

<√<

 

<√<

 

<√<

<

√<

 

 

√<

4 3√

.

 

 

 

Приклад 5.5. Знайти невизначений інтеграл "# .

 

Розв’язання:

 

 

DE=@<?<

"#

 

DE==> ??<< FDE=DE=?<?<

 

"# .

 

 

 

 

 

 

 

5.3. МЕТОД ЗАМІНИ ЗМІННОЇ

Познайомимося з найпоширенішим методом інтегрування – методом заміни змінної. Диференціювати елементарні функції за допомогою таблиці інтегралів не складно. Для вдалого використання результатів теореми 5.5 необхідні великі навички, щоб швидко звести інтеграл до табличного. Але й теорема 5.5 не охоплює усіх можливих

221

ситуацій. Спробуємо навчитися встановлювати підстановку (в кожному окремому випадку), за допомогою якої інтеграл може

бути зведений до табличного. Допоможе нам в цьому наступна

теорема.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 5.6. Якщо функція має первісну

 

 

 

 

"

 

,

 

 

 

 

A" B

і

 

 

 

 

 

 

A " B "

 

 

 

 

 

 

 

,

то

функція

 

 

 

 

 

має

первісну

а функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A " B

" "

 

|

<IJ K .

 

(5.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

Доведення: За визначенням похідної

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

За правилом диференціювання складної функції маємо

 

 

 

@K A " B

 

 

G@<%<IJ K ·

 

@K

A " B "

 

 

 

@

 

 

 

 

@L

 

 

@J K

"

 

 

 

.

A " B

Звідси за визначенням

 

 

A " B

 

 

 

 

З цього прямує, що функція

 

 

 

 

має первісну

.

 

 

 

 

 

 

 

інтегралу маємо

 

 

.

 

 

 

A " B " "

A " B

 

 

Теорему доведено.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 5.6. Знайти невизначений інтеграл

 

 

Розв’язання:

 

 

 

! 4

3.

 

4 3

 

 

 

 

 

 

 

! 4 3

 

 

4

 

; !

 

N

 

; O

 

;

; 4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

222

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауважимо, що розв’язати цю задачу можна і за

формулою (5.6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@< .

 

 

Приклад 5.7. Знайти невизначений інтеграл

 

 

 

 

 

 

 

R

 

7

U

 

9<? ;

 

 

 

 

 

 

 

@<

 

@

 

 

 

Розв’язання:

 

 

7

 

 

 

 

 

 

9<? ;

 

 

√7

 

√9

? ;

 

 

√9 · $"#

 

 

 

 

√9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√9 $"# 9< .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 5.8. Знайти невизначений інтеграл

√7F4<<@< ?

.

 

Розв’язання:

 

<@<

 

 

8 3

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

?

 

6

 

 

 

 

 

 

 

√7F4<

 

N

 

5 O

5

 

 

5 · 2√ 4 8 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 5.9. Знайти невизначений інтеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@<

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√ F 0<?+VD=> 0<

 

 

 

$ 5

 

 

 

 

 

 

 

 

@<

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання:

 

 

 

 

 

X

 

 

0@<

Y

 

 

 

 

√ F 0<?+VDDE=W0<

 

√ F 0<?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@<

 

 

 

 

 

 

@

 

ZC

 

 

 

 

 

√ F 0<?

0

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

0

W

0

· F4

0+VDDE=C0<

 

 

 

 

 

 

Приклад 5.10. Знайти невизначений інтеграл

@< ;<F9<[ <.

223

Розв’язання: Спочатку спростимо цей вираз, винесемо за

дужки і скористаємося методом заміни змінної:

 

@<

 

@<

 

4 7

 

@

 

 

 

7 @<<

 

 

;<F9<[ <

< ;F9[ <

X @<

 

 

 

Y 9

 

9

 

<

9

 

 

 

 

9 4 7 .

 

 

 

 

5.4. ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ, ЯКІ МІСТЯТЬ

 

 

КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН

 

&^]_ `] a

5.4.1. Інтеграли, які мають вигляд

 

^]_ `] a

 

 

 

\]

або

\]

При інтегруванні запропонованих функцій за допомогою

формул (12-15) таблиці 5.1 нам заважає доданок, який містить першу степінь незалежної змінної. Зрозуміло, що для того, щоб скористатися основною таблицею інтегралів, нам необхідно виділити повний квадрат:

, - b+. - ;+b?. - b+. ' c ,

 

де

 

 

 

 

b?. Знак плюс або мінус береться у залежності від

того

чи буде другий доданок додатним або від ємним

Зробимо

c

,

 

 

 

 

;+

&

| |

 

 

 

 

 

.

 

 

 

заміну змінної "

- b+.. За формулою (5.7) отримаємо

 

 

@<

 

 

 

 

@K

 

 

 

або

@<

 

 

 

 

@K

.

+<? b< D

&|+|

'K?'d?

 

√+<? b< D

&|+|

&'K?'d?

 

Зауважимо,

що перед

 

 

стоїть знак плюс,

якщо

 

 

, і знак

мінус

,

якщо

 

.

Отримані інтеграли є табличними

формули

 

 

 

 

таблиці

 

 

"

Після

інтегрування

 

 

e(0

 

 

(12-15)

 

f 05.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

початкової змінної.

224

Не для всіх читачів процедура виділення повного квадрату є простою, а запам’ятовувати отриману формулу не варто. При розв’язанні наступних прикладів, ми приведемо

простіший, прийом виділення повного

квадрату.

Для

 

.

 

 

 

' 2 , ,

 

'

користування їм потрібно лише згадати добре відомі формули

«квадрат суми» або

«квадрат різниці»:

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

<?F5< 0

Приклад 5.11. Знайти невизначений інтеграл

 

@< .

 

Розв’язання:

Виділимо повний квадрат у виразі,

який

стоїть в знаменнику підінтегральної функції. Для цього підпишемо під квадратним тричленом (доданок під доданком) формулу «квадрат різниці» (обираємо формулу за знаком доданку з першим степенем незалежної змінної). Поставимо у

відповідність перші два доданки, звідки знайдемо

 

 

і

 

. Додамо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дорівнює

 

 

та віднімемо в початковому виразі величину, яка

 

,

 

,

(згідно з формулою). Отже, маємо:

3

6;

 

6 15

 

6 9

9 15

 

 

 

2 , ,

 

, ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

2 ,

6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ,

6

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Підставимо отриманий вираз в початковий інтеграл і

скористаємося методом заміни змінної:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@<

 

@<

 

 

 

3

@

 

 

 

 

 

 

 

<?F5< 0

<F4 ? 5

j

k

? 5

 

 

 

 

 

 

 

 

√5

$"# √5

√5

$"# <F4√5 .

 

 

 

 

√4F;<F<?

.

 

 

Приклад 5.12. Знайти невизначений інтеграл

 

 

 

@<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

225

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання: Виділимо повний квадрат у виразі, який стоїть під коренем в знаменнику підінтегральної функції. Для цього потрібно зробити деякі перетворення, а саме:

-переписати доданки в порядку спадання степеня незалежної змінної;

-винести за дужки знак мінус:

-виділити повний квадрат у виразі, який опинився у дужках, за допомогою формули «квадрат суми»;

-змінити знак кожного доданку отриманого виразу на протилежний.

Отже маємо:

4 3 7 2 .

3 4

Підставимо отриманий вираз в початковий інтеграл і

скористаємося методом заміни змінної:

 

@<

@<

 

2

@

√4F;<F<?

&9F < ?

j k √9F ?

$ ! √9 $ ! <√9

.

^]_ `] a \]

5.4.2. Інтеграли, які мають вигляд

l] m

 

 

&^]_ `] a \]

 

 

або

 

l] m

 

Розглянемо інтеграли більш загального вигляду. Заважимо, що в чисельнику розташовано многочлен першого порядку, а в знаменнику (або в підкореневому виразі знаменника) – многочлен другого порядку. За правилами диференціювання, похідна від многочлену другого порядку – многочлен першого порядку. Тобто за структурою чисельник підінтегрального виразу повторює диференціал знаменника (або

226

підкореневого виразу знаменника), відрізнятися ці вирази можуть лише коефіцієнтами.

Приведемо методику інтегрування таких інтегралів на

знаменника:

 

+<? b< D

.

 

прикладі інтегралу

n< o

 

Візмемо диференціал

 

,

2 ,.

Сформуємо в чисельнику диференціал знаменника. Для цього виконаємо тотожні перетворення чисельника:

n< o

 

< rq

+<? b< D p +<? b< D

n+

+< bFb ?sq

 

n+

+<? b< Dr

 

+< ?sq

n+ +<? b<r D

+< b -?sqFb.

 

.

 

+<? b< D

 

 

r

 

 

Отриманий інтеграл представимо у вигляді двох інтегралів:

n< o

n +< b

n-?sqr Fb.

@<

,

+<? b< D

+ +<? b< D

+

+<? b< D

 

перший з яких методом заміни змінної зводиться до інтегралу

 

@

(формула 7 таблиці 5.1), а другий –

до вже розглянутого

 

 

 

@<

.

 

 

 

 

вище

інтегралу

+<? b< D

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауважимо, що

інтеграли

n< o

 

знаходяться

аналогічно. Різниця

 

 

лише

у

виборі формул

полягає

√+< b< D

 

інтегрування. Перший з отриманих інтегралів методом заміни

змінної зводиться до інтегралу вигляду @ (формула 3 таблиці

5.1), а другий – до вже розглянутого вище інтегралу

√+<? b< D

.

 

@<

<F;

 

.

5.13.

Знайти

невизначений

інтеграл

Приклад

<? t<F4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

227

 

 

 

 

 

 

Розв’язання: Візьмемо диференціал знаменника

 

 

 

 

 

10 3

 

2

 

10.

 

 

 

 

Сформуємо в чисельнику диференціал знаменника. Для

цього виконаємо у ньому тотожні перетворення:

 

 

 

<? t<F4

 

<? t<F4

 

 

<? t<F4

 

 

 

 

<F;

 

<F7

 

 

 

 

 

< tF tF7

 

 

 

 

<? t<F4

<? t<F4

u u

 

 

 

 

 

 

< t

 

7

@<

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

u

 

Знайдемо отримані інтеграли:

 

 

 

 

 

<? t<F4

v

 

 

10 3 w

 

 

 

 

< t

 

 

 

 

 

10

 

 

@

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

| 10 3|

;

 

5

 

 

u

9 <? t<F4

9 < 0 ?F 7

 

 

 

 

 

 

j

 

k

 

 

 

 

@<

 

 

 

@<

 

 

 

;√9

%< 0 √9%

 

 

9 ?F 7

9 · · √9 % √9%

 

 

 

 

@

 

 

F √9

 

 

 

 

 

:

< 0F √9

 

.

 

 

Остаточно маємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<? t<F4

| 10 3| ;√9 %< 0 √9%

 

 

 

 

<F;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

< 0F √9

.

 

5.5. ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ

Розглянемо методику інтегрування одного з найважливіших класів елементарних функцій – раціональних

функцій.

228

 

 

 

 

 

 

yz <

 

}~

 

 

 

Будь яка

елементарна

функція

може

 

многочлени:

 

 

 

 

 

{|<

 

 

представлена-

у

вигляді дробу

{|<

, де x

 

і

 

бути-

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yz < .

 

 

 

 

 

 

Нагадаємо, що якщо максимальний степінь чисельника

менший за

максимальний

степінь знаменника

 

 

 

, дріб

 

 

правильним,

 

 

максимальний

 

степінь

називається

 

якщо

 

 

€ f

, то

€ •

 

 

 

 

 

 

,

 

-

чисельника

більший

або

дорівнює максимальному

степеню

€ •

 

 

,

 

 

 

 

неправильним. Якщо

знаменника

 

 

дріб

називається

виконавши операцію ділення многочленів будь який неправильний дріб може бути представлений у вигляді суми

многочлену

(ціла частина)

і правильного дробу (отриманий

многочлен

– результат

 

ділення;

чисельник

отриманого

правильного дробу –

залишок від ділення):

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

{|<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y|Zƒ < .

 

 

Нагадаємо читачеві процедуру ділення многочленів.

 

Приклад

 

5.14.

 

Знайти

цілу

частину

і залишок

 

 

 

 

 

 

< 4< < <

 

 

 

 

 

 

 

 

W

<?<

 

 

 

 

алгебраїчного дробу

 

 

C

 

?

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання: Поділимо чисельник на знаменник

3

 

2 1

 

?

 

 

 

 

 

G

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

<?<

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; 4

 

 

 

 

 

 

< <F

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

229

 

 

 

 

Отже,

 

2 1 - ціла частина, число ( 2) –

залишок.

Остаточно маємо:

<W 4<C <? <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<? <

 

 

 

 

2 1 <? <

 

 

 

 

 

 

 

Інтегрування

многочлену

 

 

 

 

 

 

не

складає труднощів,

проблема

полягає в

інтегруванні правильного раціонального

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дробу. Приведемо без доведення наступну теорему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 5.7. Нехай y <

- правильний раціональний дріб,

де }

 

і

- многочлени{з<дійсними

коефіцієнтами. Якщо

 

 

 

 

 

…ƒ

V …

ˆ ‰ Šƒ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· …

 

ˆ= ‰= Š‹

 

(5.8)

де

 

 

 

 

 

дійсні

 

корені

многочлену

;

(які

попарно

відрізняються

)

 

 

 

кратності

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

спряжені>

 

 

 

 

Ž

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

корені многочленуŽ

(які

 

попарно

 

 

 

 

– комплексноŒ , !

 

1,2, … , $

ˆ ‰

 

 

 

відрізняються

)

кратності

 

 

 

 

 

 

 

то

A •ŽBA •‘B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ž,

 

1,2, … ,

,

існують

 

дійсні

 

числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

>

 

,

!

 

 

такі що

 

 

 

1,2, … , Œ

Ž Š ,

Ž Š

 

 

1,2, … ,

,

 

 

 

 

, 1,2,

,… , $, Œ

 

 

 

 

1,2, … , ’Ž

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y <

 

 

 

 

 

nƒƒ

 

 

 

 

nƒ?

 

 

 

nƒ•ƒ

 

 

 

 

 

 

 

{ <

 

 

 

<F+ƒ •ƒ

<F+ƒ •ƒZƒ

<F+ƒ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nƒ

 

 

 

 

 

 

 

n?

 

 

 

 

 

 

n•‡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<F+‡ •ƒ

 

 

<F+‡ •‡Zƒ

<F+ƒ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oƒƒ < —ƒƒ

 

 

 

? < —ƒ?

 

 

 

oƒšƒ < —ƒšƒ

 

<? ˜ƒ< ™ƒ šƒ

<? ˜ƒ< ™ƒ šƒZƒ

<? ˜ƒ< ™ƒ

 

 

 

 

 

 

oƒ < —ƒ

 

 

o?

< —?

 

 

 

 

 

 

 

oš< š.

 

 

(5.9)

 

<? ˜< ™

š‹

<? ˜< ™‹ š‹Zƒ

– <? ˜‹< ™‹

 

 

 

Тобто будь-який правильний раціональний дріб може бути розкладений на суму елементарних дробів.

230

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.