Пособие_ВМ_для_менеджеров

3.1.3.Способи задання функції

Зприведених в п. 3.1.2. визначень прямує, що задати функцію означає з’ясувати її область визначення та правило, за яким кожному значенню незалежної змінної ставиться у відповідність певне значення функції. Розглянемо наступні способи задання функції: табличний, графічний, аналітичний.

1.Табличний спосіб. До табличного способу задання часто звертаються у науці та техніці. Данні спостережень у певному порядку заносять до таблиці. При такому способі задання виписуються послідовно значення незалежної змінної та відповідні їм значення функції. Нам добре відомі таблиці значень тригонометричних функцій, таблиці теплоємності речовин і т.п.

Наприклад, в таблиці 3.1 наведено функціональну залежність пасажиропотоку від *часу+ доби на ділянці автобусного маршруту між пунктами і .

91

Таблиця 3.1.

Перевагою табличного способу задання функції є те, що для кожного наведеного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції без обчислень і вимірювань. Недоліками цього способу є те, що неможливо задати функцію повністю, тобто для будь-яких значень аргументів, а також відсутність наочності при великих розмірах таблиці; при табличному заданні важко з’ясувати характер залежності функції від аргументу. До табличного способу задання неможна застосувати апарат математичного аналізу.

2.Графічний спосіб. Якщо взяти за абсцису певне значення незалежного аргументу, тоді ордината буде відповідати значенню функції при даному значенні аргументу. Цю точку можна зобразити на координатній площині. Множина точок, абсциси яких є значеннями незалежних аргументів, а ординати – відповідними значеннями функції, утворюють графік функції (рис. 3.1). В деяких випадках графічний спосіб є єдиним способом задання функції, наприклад, при використанні самописців (приборів, які автоматично записують зміну однієї величини від зміни іншої).

Рис. 3.1.

92

Перевагою графічного способу є наочність. А недолік – як і у табличному способі, до графіку не можна застосувати апарат математичного аналізу.

3.Аналітичний спосіб. Функція задається формулою, за допомогою якої для будь-якого значення аргументу можна обчислити відповідне значення функції. Аналітичний спосіб є основним способом задання функції в математичному аналізі.

Перевагами аналітичного способу задання функції є компактність, можливість обчислити значення даної функції для будь-якого аргументу, можливість застосування апарату математичного аналізу. Недоліками аналітичного задання є недостатня наочність та необхідність обчислень.

Аналітичний спосіб задання можемо поділити на три

типа:

а) явна форма задання. Функцію задають у вигляді формули , що визначає операції і їх послідовність, які необхідно виконати над значенням аргументу для того, щоб

обчислити значення функції. Наприклад,

2- √./03 " 5;

456 6 " 58 13 0;

в) параметрична форма задання. Якщо функцію

непарною, якщо при заміні знаку у будь-якого аргументу функції, значення самої функції теж змінює знак на протилежний, не змінюючи при цьому свого абсолютного значення:

Зауважимо, що графік парної функції симетричний відносно осі (рис. 3.3, а), а графік непарної функції симетричний відносно початку координат (рис. 3.3, б).

Визначення 3.15. Інтервал незалежної змінної, в якому функція зростає, називається інтервалом зростання функції; інтервал незалежної змінної, в якому функція спадає, називається інтервалом спадання функції. Інтервали зростання і спадання функції називаються інтервалами монотонності.

95

Визначення 3.16. Значення функції, більше (або менше) всіх інших значень функції в деякому інтервалі, називається найбільшим (або найменшим) значенням функції в інтервалі.

Наприклад, на рис. 3.5 на інтервалі , 8 функція, набуває найменшого значення в точці ), а на інтервалі ) - найбільшого значення в точці 8.

Приклад 3.1. Змінна величина послідовно набуває

значення:

) 1 " )8, 8 1 " ), 1 " )H, …, A 1 " 8)J.

Доведемо, що змінна величина має границю, яка дорівнює

одиниці.

Розв’язання: Обчислимо | A 1| KL1 " 8)JM 1K 8)J.

Бачимо, що для будь-якого наперед заданого малого додатного

96

тому що ці проміжки не перетинаються, звідси прямує, що змінна може мати лише одну границю.

Зауваження: не треба думати, що1кожнаA змінна обов’язково має границю. Наприклад, змінна границі не має.

Тобто, якщо дві змінні прямують до однієї й тієї ж границі, а третя границя замкнена між ними, то вона теж прямує до тієї ж границі (рис. 3.7).

97

необхідно, щоб виконувалася нерівність

| 2| R.

Тобто, для будь-яких , які відрізняються від 2 менше, ніж на R,

наша функція буде відрізнятися від 13 менше, ніж на C, де C - довільне додатне число.

Зауваження 1. Визначення границі не дає способів його знаходження! Надалі ми визначимо деякі правила, за якими будемо знаходити границі функцій.

Зауваження 2. Не треба думати, що кожна функція при будь-якому значенні аргументу обов’язково має границю.

Аналогічно визначається права границя функції: lim-D-NS' *.

Визначення 3.19. Ліва та права границі функції

Зауваження 3. В загальному випадку ліва і права границя можуть існувати, але не дорівнювати одне одному. Такі випадки ми детально розглянемо у наступних розділах.

3.2.3. Нескінченно малі і нескінченно великі величини та їх властивості

нескінченно великою величиною при

100