Пособие_ВМ_для_менеджеров

2.1.4. Координати середини відрізка

Нехай

дано

точки

y

знайти

і

. Необхідно

M2

точку

,

що поділяє

,

,

,

відрізок

навпіл

тобто

M

.

Q

трикутники

M1

P

рівні

Побудуємо

x

і

(рис.2.6).

Вони

O

x1

x

x2

(

(

кутами). А тому (.

;

Звідси

;

2

Аналогічно маємо

+#-+$.

(2.6)

/#-/$.

(2.7)

Можна

скористатися

y

формулами

(2.4)-(2.7)

для

розв’язання

питання

про

M2

координати

центра

мас

однорідного

трикутника.

Отже,

O

K

нехай дано трикутник

5

з

N

M3

x

координатами вершин

M1

(рис. 2.7).

Центр

мас

,

,

Рис. 2.7.

5трикутника5 5

,

,

,

перетину медіан За відомою властивістю

,

розташований в точці

,

.

точка перетину медіан поділяє кожну медіану у відношенні

,

починаючи з вершини. Розглянемо медіану

.

Знайдемо

@

2: 1

координати точки

@

як середини

5:

51

B +$-+9 ; B /$-/9.

Точка

поділяє

відрізок @ у

відношенні

2: 1.

Знайдемо

координати точки

за формулами

(2.4), (2.5):

+#- ·I$JI$ 9

+#-+$-+9;

/#- ·K$JK$ 9

/#-/$-/9.

ОстаточноH

маємо

формули для обчисленняH

координат

центра

-

5

-

5

мас однорідного трикутника:

+#-+$-+9.

(2.8)

5

/#-/$-/9.

(2.9)

5

Приклад

2.4. Дано

трикутник

. Знайти довжину медіани

і

центр мас трикутника

L

:

4,6 ,

2,2 ,.

5, 5

y

Розв’язання: За визначенням медіани

A

точка

-

середина

сторони

.

За

6

формулами

знайдемо координати

L

L

L

(2.6), (2.7)

точки

(рис. 2.8):

2

B

O

1

M ;- 3; M E- 4. Отже L 3,4.

O

2

5 x

Довжину медіани

L

обчислимо за формулою

(2.1):

-5

C

L 3 5 4 5 √85 (од.)

Рис. 2.8.

Центр мас трикутника знайдемо за формулами (2.8), (2.9):

N#

;- -F

; N#

E- ,F

1

.

5

5

5

Приклад

2.5.

Обчислити

5

3,0 , 2, 4

:

1,5 ,

площу трикутника.

y

A

бачимо,

Розв’язання:

Побудуємо

трикутник

(рис. 2.10). Як

вершини

розташовані за

додатним напрямком. Скориста-

-3

ємося мнемонічним правилом:

O

x

B

1

2

1

5

O W 3 0 W

0 12 10

-4

C

2

4

15 0 4

20,5

1

5

(кв. од.).

Рис. 2.10.

Відповідь: O 20,5

(кв. од.).

Зауваження 3. Площа многокутника дорівнює сумі

площин трикутників на які його розбити.

12:

2, 1 , 2, 2 ,

4,3 , 1 1,4 , 2 1,2

Приклад

.6.

Знайти площу

п’ятикутника

2

1

4

D

OCA7

W 2

2W

y

E

C

1

2

2

1

5

-2

(кв.4од.);

4 1 2 2 4

O

x

3 4

1

2

B

A

2

2

-2

O7A6

W 1

4 W

Рис. 2.11.

1

2

2 8 2 4 2 4 7 (кв. од.);

O6A8

1

4

2 6 16 8 8 3 > (кв. од.);

W2

2W

4

3

1

4

7 > 22 (кв. од.).

Отже, остаточно маємо OCA867 5

три точки належать до одної прямої:

5 0.

5 5 5

(2.11)

Прикладдо одної прямої.

,

2,2 ,

8,6 , 5,4

2.7. Перевірити

чи належать точки

Доведення:

Розглянемо

всі

можливі

випадки

розташування прямої на площині (рис. 2.12):

1)

нехай

пряма

паралельна

вісі

(рис. 2.12,а). Всі

однакову

абсцису

тому її

точки

прямої мають

,

рівняння має вигляд:

паралельна

.

рис

б

(2.12)

2)

нехай

пряма

S

(

. 2.12,

).

однакову

ординату

тому її

точки

прямої мають

,

рівняння має вигляд: T.

(2.13)

y

y

y

M

b

b

N

K

α

O

a

x

O

x

O

x

(а)

(б)

(в)

Рис. 2.12.

3) розглянемо загальний випадок розташування прямої

на площині

(

рис

.

2.12,в). Нехай

X

- найменший кут,

56

на якій потрібно повернути (проти руху

годинникової стрілки

додатній напрямок вісі

до

сполучення з прямою) .

Позначимо через

-

кутовий коефіцієнт прямої.

через

Позначимо Y Z[X -

ординату

точки перетину

прямої з

віссю

T .

будь-яку

належить

Візьмемо

точку

і,

що

прямій.

Проведемо

паралельно

координатним осям.

Отриманий трикутник

-

@

@

прямокутний (за побудовою). З

прямокутного

@

@

трикутника маємо:

T

T

Z[X, @ ,

@ T,

Z[X,

Y,

@

Y T.

(2.14)

Зауваження:

2)

якщо Y 0

,

,

.

1)

якщо

Y

пряма паралельна вісі

,

3)

додатне

пряма утворює гострий кут з віссю

,

якщо

від

ємне

-

тупий кут

.

Y

’

якщо

пряма

перпендикулярна

вісі

кутовий

коефіцієнт відсутній.

Як бачимо,

рівняння (2.12)-(2.14)

– рівняння першого

0,

0.

C8

(2.15)

Нехай

тоді 0,

(рівняння

вигляду 2.12).

0,

8

Нехай

,

тоді

(рівняння

вигляду 2.13).

0

A

2.2.3. Рівняння прямої у відрізках

Нехай дано пряму

,

b

одній з координатних

що не паралельна ні

0

(рис. 2.13).

\ 0, \ 0, \ 0

осей та не проходить через початок

координат, тобто

O

a

x

Рис. 2.13

Перетворимо це рівняння наступним чином:

58

| ^ ;_

,8C+ ,8A/ 1;

,+a` ,/b` 1.

Нехай S C8 , T A8. Тоді рівняння набуває вигляду

P+ /Q 1.

(2.16)

Рівняння (2.16) називається рівнянням прямої у відрізках. Тут

- відрізок, що відсікає пряма на осі абсцис,

-

відрізок,

що

T

S

відсікає пряма на осі ординат (рис. 2.13).

Приклад 2.8. Дано ромб, діагоналі

y

якого співпадають з осями координат, і

5

B

дорівнюють, відповідно, 6 і 10 одиницям

довжини. Скласти рівняння сторін ромбу.

Розв’язання: Згідно властивостей

A

C

ромбу, його діагоналі перетинаються під

-3

O

3

x

прямим кутом і точкою перетину

поділяються навпіл. Тому що точкою

перетину

вони

поділяються

навпіл, ми

-5

D

відкладемо ліворуч і праворуч від початку

координат

по

3 одиниці

довжини, а

Рис. 2.14

,5+

3

,

–

-

догори та

донизу

по

5

одиниць

(рис. 2.14). Як бачимо,

пряма

відсікає на осі

відрізок у

одиниці

а на осі

у 5 одиниць, тоді її рівняння

/F 1; пряма

відсікає на осі

відрізок у 3 одиниці, а на осі

- у 5 одиниць, тоді її рівняння

+

/

1; аналогічно пряма

відсікає

відрізки на осях відповідно5 F

у 3

і

одиниць,

її

рівняння

+5

,F/ 1

,

1

відрізки на осях

1

і 5

а пряма

відсікає

5

відповідно у 3

одиниць, її рівняння - ,5+ ,F/ 1.

59

,

,