Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

∆ de" ∆ de" 2"c9 B "c9

B B

.

 

 

Складемо відношення fg*∆2∆2S

· "c9 , B -.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Скористаємося першою чудовою границею lim fg*∆2∆2S

Остаточно маємо ( lim h fg*∆2∆2S

 

 

 

 

S

 

 

· "c9 , B -i "c9.

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

de"( "c9

 

.

 

 

(4.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

Похідна тангенса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай

j .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скористаємося формулою похідна частки:

 

 

fg*

 

(

 

fg* (·klf fg* · klf (

 

klf ·klf fg* ·fg*

 

( ,klf -

 

klf S

 

 

 

 

klf S

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

klf S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j( klf S

 

 

4. Похідна котангенса

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(4.15)

. d j .

 

 

 

Скористаємося формулою похідної частки

 

 

klf

 

(

 

 

klf V·fg* klf · fg* (

 

fg* ·fg* klf ·klf

 

( ,fg* -

fg* S

 

 

 

 

fg* S

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fg* S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

141

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d j ( fg* S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

7 .

 

(4.16)

 

Похідна показникової функції.

 

 

∆ 77 · 7. Приріст функції дорівнює

 

 

 

 

∆ 7 · 7

7

7 D71H.

 

 

 

 

 

 

 

7 ·

m

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Складемо відношення

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆2 .

 

 

 

 

lim5 m

T

 

,

∆ 0

і згадаємо «важливу границю»

51 n97

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Спрямуємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отримаємо

 

 

 

1 7 · n97

 

 

 

 

 

( 7 · limm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆2

 

 

.

 

 

Якщо 7 o, n9o

 

7 ( 7 · n97

 

.

 

 

 

(4.17)

 

 

 

 

 

 

 

1, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o (

o

 

.

 

 

 

(4.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Похідна логарифмічної функції.

 

 

 

 

 

1) n9 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆ n9 ∆ . Приріст функції дорівнює

 

-.

 

 

∆ n9

∆ n9 n9

n9 ,1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Складемо відношення

 

 

 

 

 

p*,1∆2-.

 

 

 

 

limq

 

q

1

 

 

 

 

 

 

 

 

142

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p*1 q

, 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«важливу

границю»

Спрямуємо

 

 

 

 

 

 

і

 

згадаємо

отримаємо

 

( lim

p*,1 ∆2-

limh1 ·

p*,1 ∆2-

i

1

.

 

 

 

2

 

∆2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n9 ( 1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2) logm .

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.19)

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

.

 

 

 

 

Тоді

за визначенням

логарифму

Логарифмуємо цю

тотожність за основою

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n97 n9 ;

o · n97 n9 ;

p*m1 · n9 .

 

 

Отже, ( p*m1 · n9 ( ·p*m1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточно маємо

 

 

 

 

logm ( ·p*m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

(4.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Похідні обернених тригонометричних функцій:

1.

Похідна арксинуса. 7td"c9 .

 

 

 

 

 

 

de" .

Функція обернена до арксинуса "c9 , її похідна (

 

За формулою (4.12) маємо (

1]V klf1 .

 

 

 

Відомо, що de" [1 "c9B 1 B.

 

 

 

 

 

7td"c9

 

.

 

 

 

 

 

 

, B

; B

-

 

 

 

 

 

Корінь беремо

арифметичний,тому

що значення функції

 

 

лежить в

інтервалі

 

u

u

 

 

,

а косинус

 

в цьому

інтервалі додатний Остаточно маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7td"c9 ( √1 S

 

.

 

 

 

 

(4.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2.

Похідна арккосинуса.

7tdde"

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

143

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогічно отримуємо

 

 

 

 

 

 

 

 

7tdde"(

√11

S

 

 

 

 

 

 

.

 

3. Похідна арктангенса. 7td j.

 

 

( klf1S

 

 

до арктангенса j,

Функція.

обернена

За формулою (4.12) маємо

1 S

 

( ]V de"B 1 vwS

 

 

1

1

1

,

звідси

7td j( 1 1 S .

4. Похідна арккотангенса. 7tdd j.

(4.22)

її похідна

(4.23)

Аналогічно отримуємо

7tdd j( 1

1 S . (4.24)

Зведемо отримані формули у таблицю 4.1. Організуємо нашу таблицю наступним чином: ліворуч розташуємо формули для обчислення похідних простих функцій, а праворуч – складних. Незважаючи та те, що ці формули начебто дублюють один одного, але, на наш погляд, таке подання формул полегшує знаходження похідних, і ми спробуємо в цьому переконати на прикладах, які розглянемо після запису таблиці.

Таблиця 4.1. Таблиця похідних.

144

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D√ H 2√

 

D√4H 2√4 · 4

x y B

 

x4y 4B · 4

 

 

 

 

 

 

logm ( · n97

 

logm 4 ( 4 · n97 · 4

n9 (

 

n94 ( 4 · 4

 

 

 

 

 

 

j ( de" B

 

j4 ( de"4 B · 4

d j ( "c9 B

 

d j4 ( "c94 B · 4

7td"c9 ( √1 B

 

7td"c94 ( √1 4B · 4

7tdde" ( √1 B

 

7tdde"4 ( √1 4B · 4

 

145

7td j ( 1

B

7td j4 ( 1

4B · 4

7tdd j (

1 B

7tdd j4 (

1 4B · 4

Приклад 4.8. Знайти похідну функції

7 < 15 log= 4 · 2 37td j 11.

Розв’язання: Функція представлена у вигляді алгебраїчної суми, тому кожний з доданків будемо диференціювати окремо, пам’ятаємо, що сталий множник можна виносити за знак похідної. Кожний з доданків – проста

функція, тому скориставшись таблицею похідних, маємо:

( 7 < ( 15 log= ( 4 · 2 ( 3 7td j ( 11 (7 · 5 A 15 · p*=1 4 · 2 · n92 3 · 1 1 S 0

35 A 1<p*= 4 · 2 n92 1 = S.

Приклад 4.9. Знайти похідну функції

77td"c9 15 · 2n9 3 B .

Розв’язання: Функція представлена у вигляді добутку.

Скористаємося формулою (4.6). Для цього розіб’ємо функцію на

4 77td"c9 15

і

: 2n9 3 B.

Знайдемо 4 і : :

4( √1 S

 

:(

6

 

 

Y

;

 

B

 

.

За формулою (4.6) маємо:

146

( √1 S · 2n9 3 B 77td"c9 15

· ,

6 -

Y

 

B

.

Приклад 4.10. Знайти похідну функції

<vw F

 

Bz2 klf .

Розв’язання: Функція представлена у вигляді частки.

Скористаємося формулою (4.9). Для цього розіб’ємо функцію на

4 2o de"

і

: 5 j 8.

 

Знайдемо 4 і : : 4( 2o "c9 ;

:( klf<S .

 

 

За формулою (4.9) маємо:

 

 

 

 

 

GS

 

 

(

Bz2 fg* · <vw F Bz2 klf ·

 

 

 

 

<vw F S

 

 

{|}

2

 

Bz

2

fg* · <vw F ·klf

< Bz

2

klf

.

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

<vw F S·klfS

 

 

 

 

 

Приклад 4.11. Знайти похідну функції

n9 7td jD1 √1 o= H.

Розв’язання: Функція, похідну якої нам запропонували знайти, складна. Тут є і степенева, і показникова, і логарифмічна, і обернена тригонометрична функції. З якої функції почати диференціювання? Ланцюжок складної функції, який ми можемо скласти, дуже великий. Тому радимо скористатися наступним прийомом: будемо промовляти кожного разу послідовність, в якої утворювалася надана функція; диференціювати ми завжди будемо в оберненому порядку. Тут можна провести аналогію процесу одягання – роздягання: ми завжди одягаємося в одному порядку, а роздягаємося в оберненому.

147

Промовимо

,

що ми зробимо

,

щоб знайти

 

за наданою

функцією:

 

 

 

 

-

Помножимо на 3;

 

 

 

 

-

 

 

возведемо до експоненти

 

 

аргумент 3

 

;

 

 

-з одиниці віднімемо отриману функцію;

-візьмемо корінь квадратний з цього виразу;

-додамо одиницю;

-обчислимо арктангенс;

-візьмемо логарифм отриманого виразу.

Отже, знаходження функції ми закінчили логарифмом,

тому й диференціювати почнемо з логарифму.

· 4

 

 

 

4

приймемо: 4 7td jD1 √1 o= H. n94 ( 5

 

 

 

Скористаємося

формулою

1

.

Де

за

 

( m~kvwD1 √1 zM2H · ,7td jD1 √1 o= H-

 

 

 

1

 

 

 

 

 

.

 

 

Читаємо наш список в оберненому порядку. Тепер

будемо диференціювати арктангенс, а за 4 приймемо

 

 

 

 

4 1 √1 o= :

 

 

M2 S · D1 √1 o= H

 

 

( m~kvwD1 √1 zM2H ·

 

 

 

1

 

1

H

 

 

 

.

 

 

 

1 D1 √1 z

 

 

 

 

 

Продовжуємо диференціювання. Похідна від сталої дорівнює

D√4H(

B√15 · 4 , де 4 1 o

= .

 

 

 

 

 

 

нулю,

а корінь квадратний

продиференцюємо

за формулою

( m~kvwD1 √1 zM2H ·

 

 

 

 

M2

 

S · B√1 zM2 ·

1 o=

 

1

 

 

 

1

 

 

H

1

.

 

 

 

1 D1 √1 z

 

 

 

Тепер похідна від експоненти:

 

M2 S

· B√1 zM2 · o= · 3

( m~kvwD1 √1 zM2H ·

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

.

 

 

1 D1 √1148z H

 

 

 

Остаточно маємо:

(

B√1 z

M2

 

=zM2M2

H,1 D1 √1 z

M2

S .

 

 

 

m~kvwD1 √1 z

 

H -

Кожного разу при диференціюванні складних функцій

ми будемо діяти аналогічно.

 

 

 

 

 

"c9A5 ·

logY j3 18

4.12.

Знайти

похідну

функції

Приклад

.

Розв’язання: Функція представлена у вигляді добутку.

Скористаємося формулою (4.6):

 

 

 

 

 

 

4 "c9A5 ; : logY j3 18 .

 

 

 

 

4( 4"c9=5 · "c95 ( 4"c9=

5 · de"5 · 5 (

20"c9=5 de"5 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

:( vw= 1F p*Y

· j3 18 ( vw= 1F p*Y · klfS= · 3 (

1

 

 

 

 

 

 

1

1

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

klfS= vw= 1F p*Y

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточно маємо:

( 20"c9=5 de"5 · logY j3 18 klfS= vw= 1F p*Y

 

 

=fg*b<

.

Приклад 4.13. Знайти похідну функції

p*< S klfP

 

6•{{€•J2M .

 

Розв’язання: Функція представлена у вигляді частки.

Скористаємося формулою (4.9):

 

 

4 5m~kkvwF M;

: n9B de"9 .

 

 

4( 5m~kkvwF M

· n95 · 7tdd j8 = (

 

 

 

149

 

 

5m~kkvwF

M

· n95 · , 1 F M S- · 8 = (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

<6•{{€•J2M·p*<·BA S.

 

 

 

 

1 WA Z

 

 

 

 

 

·

de"9 (

:( 2n9 de"9 · Dn9 de"9 H( 2n9 de"9 · klfP1

2n9 de"9 · klfP1 · "c99 · 9 ( 18n9 de"9 · j9 .

Остаточно маємо:

 

 

 

 

 

 

 

(

G6•{{€•J2M·‚/G·Sb2S

·p*

S

klfPS <

6•{{€•J2M

· 1Fp* klfP ·vwP

 

RƒZb2Z

 

S

 

W·<6•{{€•J2M

 

 

 

Dp* klfP H

 

 

 

 

·p* klfP ,=vwP ·D1 WA ZH A Sp*<·p* klfP -

 

W·<6•{{€•J2M

 

 

 

p*b klfP

 

 

 

,=vwP ·D1 WA ZH A Sp*<·p* klfP -.

 

 

 

 

 

 

p*M klfP

 

 

 

 

4.1.8. Логарифмічне диференціювання

Розглянемо функцію вигляду

D H,

де і основа, і показник степені є функціями незалежної змінної.

Така функція має назву степенево-показникової функції.

Диференціювати її за формулами похідна степеневої, або похідна показникової функції не є можливим. Тому скористаємося наступним алгоритмом

-логарифмуємо цю функцію за основою o::

ln lnD H;

150

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.