Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

;

! 4 ! 4

¤

 

(

;

 

 

 

(

! 4 - ; 4 ; 4 .

;

! 4 7 4 4

! 4 .

 

! 4 ¥; 4

 

 

Приклад 5.21. Знайти невизначений інтеграл

 

 

 

 

 

 

 

$"#

1.

 

 

 

 

 

Розв’язання: За формулою (5.16) маємо

(

 

 

$"# 1

h

 

 

 

$"#

1

i

 

 

@<

 

 

@<

(

 

 

 

 

 

 

 

<F ?

 

<?F <

 

 

$"# 1 <?F <<@<

$"# 1 u.

 

 

Отримали інтеграл

 

того

типу,

який докладно розглянули у

п.5.4.2. Виконаємо потрібні перетворення:

 

@<

u

 

<F @<

 

 

<F @<

 

<F @<

 

 

<?F <

 

 

<?F <

 

 

<?F <

<F ?

 

2 2

$"# 1

.

 

 

 

Остаточно маємо:

$"# 1 $"# 1 2 2$"# 1 .

Приклад 5.22. Знайти невизначений інтеграл

2 3.

Розв’язання: За формулою (5.16) маємо

241

2

3

h

 

2 3

(

?

i

 

 

 

 

 

 

@<

 

(

<

 

 

 

<?

 

 

 

 

 

 

 

 

< 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<?@<

<?

2 3

u

.

 

 

 

 

2

3 < 4

 

 

 

 

 

 

Отримали інтеграл

 

від неправильного раціонального дробу

Необхідно виділити uцілу частину. Виконаємо операцію ділення.

многочленів:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

< 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

ƒ C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« ?<FW

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

Підставимо в інтеграл: u

¬ ;4

<W 4

®

 

;4 ;: <@<4

 

<;? ;4 7: 2 3 .

 

 

 

 

 

 

5.7. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ КЛАСІВ

 

 

 

 

 

 

ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

 

 

 

 

 

 

 

5.7.1. Інтеграли типу

¯ °±²], a³°] \]

 

 

 

 

 

Розглянемо

 

інтеграл

 

 

 

 

 

 

.

 

Спробуємо

довести що універсальна тригонометрична підстановка

 

 

 

 

,

 

 

 

"# < ,

 

x

! ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´ f f ´,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

242

 

 

 

 

 

 

 

 

зводить його до інтегралу від раціональної дробі. Виконаємо необхідні перетворення:

 

 

<

 

<

 

=> µ?DE=µ?

DE=?µ?

 

µ?

 

 

 

 

 

!

2 !

 

 

DE=?µ? => ?µ?

: DE=?µ?

?µ?

?

;

 

 

<

 

<

DE=?µ?F=> ?µ?

DE=?µ?

 

 

FK¶?µ?

F ?;

 

!

DE=?µ => ?µ

: DE=?µ

 

 

?µ

?

2$"# ;

 

 

 

?

?

 

?

 

 

 

?

 

 

 

 

 

@ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.17)

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси

 

x ! ,

2 x -

?

,

F ??

.

@ ?

 

 

 

 

.

 

Тобто ми отримали інтеграл від дробово-раціональної функції (см. Розділ 5.5). Проілюструємо це на прикладі.

Приклад 5.23. Знайти невизначений інтеграл

 

 

 

 

 

 

@<

 

.

 

 

 

 

 

 

 

0F;=> < 4DE=<

 

 

 

 

Розв’язання: Використовуємо формули (5.17).

@<

 

 

 

?·¸

 

 

@

 

 

 

 

ƒ¹¸?

 

 

 

0F;=> < 4DE=<

 

0F

 

º¸?

4ƒZ¸??

2 0 0 ?F7 4F4 ?

 

 

 

ƒ¹¸

ƒ¹¸

 

 

 

 

 

@

@

 

 

 

 

 

 

 

.

?F; ;

F ?

F µ?F

 

Зауваження. За допомогою універсальної тригонометричної підстановки можна обчислити будь-який інтеграл розглянутого типу. Але з практичної точки зору в деяких випадках, щоб запобігти зайвих обчислень, можна скористатися

іншими підстановками, а саме:

- в інтегралі типу x !

243

підстановка

 

 

!

 

 

 

(5.18)

 

 

 

 

зводить його до інтегралу типу x;

- в інтеграла типу x

!

підстановка

 

 

 

 

 

 

(5.19)

 

 

!

 

зводить його до інтегралу типу x;

-якщо"# підінтегральнаx "#функція є лише функцією від

,тобто ,

то підстановка

 

 

"#

(5.20)

 

 

 

 

$"#

 

 

 

?

 

 

 

 

@

 

зводить його до інтегралу від раціональної функції x @?;

 

!

 

 

 

 

, але

- якщо підінтегральна функція типу

степенях

і

 

і

 

знаходяться у парних

x ! , ,

 

то заміна (5.20) приводить до

!

K¶?<

?

 

K¶?<

? ,

(5.21)

 

 

 

?<

? .

 

Цей прийом запобігає обчисленню інтегралів від раціональних функцій, які мають кратні комплексні корені (ця тема не входить у курс, який вивчається).

244

Приклад 5.24. Знайти невизначений інтеграл

=> <@<FDE=< ?.

 

Розв’язання: Скористаємося підстановкою (5.19):

=> <@<

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

FDE=< ?

j

 

!k

 

 

F ?

 

F

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FDE=<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 5.25. Знайти невизначений інтеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@<

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;F4DE=?< 0=> ?<

 

 

 

 

 

Розв’язання: Скористаємося підстановкою (5.20) і

формулами (5.21):

 

 

"# ?

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

·¸?

 

 

 

@<

 

 

 

 

 

!

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ƒ¹¸

 

;F4DE=

?

 

?

<

 

 

 

 

 

 

;Fƒ¹¸C

 

?

 

< 0=>

 

 

 

?

 

? ƒ¢¸¹¸?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; ; ?F4 0 ?

 

: ?

4 $"#3

 

 

4 $"# 3"# .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.7.2. Інтегралі типу °±²»] a³°²]\]

 

Нехай

і

- цілі числа. Можливі наступні випадки:

 

а) .

або

 

- непарне

число. Нехай для визначеності

€ 2ˆ 1

Звідси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

245

 

 

 

 

 

 

!~ ·

 

!˜ ·

 

 

 

!˜ ·

· !.

Зробимо заміну

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

!

маємо

 

 

 

 

 

!

 

!~ ·

 

 

1 ˜ · .

 

Аналогічно, якщо

 

2ˆ 1. Заміна

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.22)

(5.23)

зводить інтеграл до

 

 

~ · 1 ˜ ;

 

 

 

!~ ·

 

 

б)

 

і

 

- парні числа.

Скористаємося

формулами

 

степені тригонометричних функцій

 

зниження

 

 

!

 

1

 

2 ; :

(5.24)

 

 

 

 

 

 

1

 

2 .

 

Ці формули приводять інтеграл до інтегралу того ж типу, але з меншими степенями.

Приклад 5.26. Знайти невизначений інтеграл !02.

Розв’язання: В підінтегральному виразі – непарний степінь синуса, тому скористаємося формулами (5.22):

246

 

!02

 

!;2 · ! 2

¤

 

 

2

2

¥

 

 

 

1

!

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ! 2

 

 

1 1 2 ;

 

 

 

 

-

4 4 0¢.

 

 

 

 

 

 

 

2 4 42 t 02 .

 

 

 

Приклад 5.27. Знайти невизначений інтеграл

;3 · ! 3.

Розв’язання: В підінтегральному виразі і синус, і косинус - в парних степенях, тому скористаємося формулами

(5.24):

;3 · ! 3 ¼ 1 6 ½ · 1 6

1 2 6 6 1 6

7

1 2 6 6 6 2 6 46

7

7 1 6 6 46 u

Розіб’ємо отриманий інтеграл на чотири. Перші два – табличні, в третьому – підінтегральна функція містить парний степінь косинусу, тому скористаємося формулами (5.24); в четвертому – непарний степінь косинусу, тому необхідно скористатися формулами (5.23). Якщо обчислити всі інтеграли одночасно

читачеві важко, радимо розглянути кожен з них окремо. Отже

маємо

u 7 7 6 5 1 12

247

;7 1

! 6 ! 6

7

;7 ! 6 5

: ! 12 ;7 ! 6 ;;

!46

5 :

! 12 ;; !46 .

 

°±²¾] a³°¿] \], 5.7°±²¾].3. Інтеграли°±²¿] типу\], a³°¾] a³°¿] \]

Ці інтегралі бепосередньо обчислюються, якщо підінтегральні функції переписати за формулами перетворення

добутку у суму:

) ! Œ ’ ! Œ ’*;

 

! Œ ’

 

! Œ ! ’

)

Œ

 

Œ ’*;

(5.25)

Œ ’

)

Œ

 

Œ ’*.

 

Приклад 5.28. Знайти невизначений інтеграл

 

 

 

! 3 5 .

 

 

Розв’язання: Скористаємося першою з формул (5.25):

! 3 5

A

! 3

5

! 3 5 B

 

! 8 ! 2

5 8 ; 2 .

 

248

5.8. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

 

 

 

 

 

¯A], √^] `,

^] `, … , √^] `B\]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.8.1. Інтеграли типу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

²

 

 

À

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Щоб позбутися ірраціональностей в підінтегральному

виразі, зробимо підстановку

 

˜,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

(5.26)

де - найменше спільне кратне чисел

 

 

. За допомогою

цієїˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функція

перетвориться

в

підстановки

 

підінтегральна

 

€, , … c

 

 

 

 

 

раціональну функцію від

,.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 5.29. Знайти невизначений інтеграл <<C@<.

 

 

 

 

Розв’язання: Підінтегральний вираз містить лише корінь

квадратний

від

 

 

 

 

,

 

 

тому

підстановка

 

 

 

 

 

(за

формулою (5.26))

позбуває ірраціональності даний інтеграл

 

2

 

 

A ?F BC @

 

2

:

 

<C@<

h

2

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

9 9 0 0 4; 4 16

2 5 6;

12 8

9 & 2 9 0 & 2 0 8& 2 4 16√ 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C√ <

 

 

 

Приклад 5.30. Знайти невизначений інтеграл

 

< @< .

Розв’язання:Підінтегральний вираз містить квадратний та кубічний корені. Щоб зробити НСКпідстановку2,3 ,6 знайдемо найменше спільне кратне чисел 2 і 3: . Отже, за формулою (5.26) маємо

249

< @<

 

2 1 5

 

 

C·4 ¢@

 

º@

√ <

 

2

6

0

 

 

 

 

C

h

 

30

i

 

?

3 ? u

 

 

 

 

 

 

 

Ми отримали неправильний раціональний дріб. Перед інтегруванням потрібно виділити цілу частину. Цю процедуру

ми вже розглядали, тому приведемо результат. u 3 - 5 ; 1 ? .

49 9 40 0 4 3 3$"# 49 Ä& 2 1 9 40 Ä& 2 1 0 2 1 3Ä2 1

3$"#Ä2 1 .

5.8.2.Інтеграли типу

¯A], √^_ ]_B \], ¯A], √]_ ^_B \], ¯ -], &]_ ^_. \]

Позбутися таких квадратичних ірраціональностей ми зможемо за допомогою тригонометричних підстановок, з урахуванням основних тригонометричних формул. Розглянемо

кожен з цих інтегралів окремо:

 

 

 

а) xA , √ B . Скористаємося підстановкою

звідси

 

! ".

(5.27,a)

! " ";

 

 

(5.27,б)

 

" ".

 

 

 

 

250

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.