Пособие_ВМ_для_менеджеров
.pdf
2 |
3 |
h |
|
2 3 |
( |
? |
i |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
@< |
|
( |
< |
|
|
|
||||||||||||
<? |
|
|
|
|
|
|
|
|
< 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
<?@< |
<? |
2 3 |
u |
. |
|
|
|
|
|||||||
2 |
3 < 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Отримали інтеграл |
|
від неправильного раціонального дробу |
|||||||||||||||||||
Необхідно виділити uцілу частину. Виконаємо операцію ділення. |
|||||||||||||||||||||
многочленів: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
< 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
G |
|
|
|
|
ƒ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
« ?<FW |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
44 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставимо в інтеграл: u |
¬ ;4 |
<W 4 |
® |
|
|||||||||||||
;4 ;: <@<4 |
|
<;? ;4 7: 2 3 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5.7. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ КЛАСІВ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5.7.1. Інтеграли типу |
¯ °±²], a³°] \] |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Розглянемо |
|
інтеграл |
|
|
|
|
|
|
. |
|
Спробуємо |
||||||
довести що універсальна тригонометрична підстановка |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
"# < , |
|
x |
! , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ f f ´, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
242 |
|
|
|
|
|
|
|
|
зводить його до інтегралу від раціональної дробі. Виконаємо необхідні перетворення:
|
|
< |
|
< |
|
=> µ?DE=µ? |
DE=?µ? |
|
K¶µ? |
|
|
|
|
|
|||
! |
2 ! |
|
|
DE=?µ? => ?µ? |
: DE=?µ? |
K¶?µ? |
? |
; |
|||||||||
|
|
< |
|
< |
DE=?µ?F=> ?µ? |
DE=?µ? |
|
|
FK¶?µ? |
F ?; |
|||||||
|
! |
DE=?µ => ?µ |
: DE=?µ |
|
|
K¶?µ |
? |
||||||||||
2$"# ; |
|
|
|
? |
? |
|
? |
|
|
|
? |
|
|
|
|||
|
|
@ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.17) |
||||
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Звідси |
|
x ! , |
2 x - |
? |
, |
F ?? |
. |
@ ? |
|
|
|||||||
|
|
. |
|
||||||||||||||
Тобто ми отримали інтеграл від дробово-раціональної функції (см. Розділ 5.5). Проілюструємо це на прикладі.
Приклад 5.23. Знайти невизначений інтеграл |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
@< |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
0F;=> < 4DE=< |
|
|
|
|
|||
Розв’язання: Використовуємо формули (5.17). |
|||||||||||
@< |
|
|
|
?·¸ |
|
|
@ |
|
|||
|
|
|
ƒ¹¸? |
|
|
|
|||||
0F;=> < 4DE=< |
|
0F |
|
º¸? |
4ƒZ¸?? |
2 0 0 ?F7 4F4 ? |
|||||
|
|
|
ƒ¹¸ |
ƒ¹¸ |
|
|
|
|
|
||
@ |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
?F; ; |
F ? |
F K¶µ?F |
|
||||||||
Зауваження. За допомогою універсальної тригонометричної підстановки можна обчислити будь-який інтеграл розглянутого типу. Але з практичної точки зору в деяких випадках, щоб запобігти зайвих обчислень, можна скористатися
іншими підстановками, а саме:
- в інтегралі типу x !
243
Приклад 5.24. Знайти невизначений інтеграл
=> <@<FDE=< ?.
|
Розв’язання: Скористаємося підстановкою (5.19): |
|||||||||||||||||
=> <@< |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|||||
|
FDE=< ? |
j |
|
!k |
|
|
F ? |
|
F |
|||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
FDE=< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Приклад 5.25. Знайти невизначений інтеграл |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@< |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;F4DE=?< 0=> ?< |
|
|
|
|
|||||
|
Розв’язання: Скористаємося підстановкою (5.20) і |
|||||||||||||||||
формулами (5.21): |
|
|
"# ? |
U |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
·¸? |
|
|||||
|
|
@< |
|
|
|
|
|
! |
? |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ƒ¹¸ |
|
|||
;F4DE= |
? |
|
? |
< |
|
|
|
|
|
|
;Fƒ¹¸C |
|
? |
|||||
|
< 0=> |
|
|
|
? |
|
? ƒ¢¸¹¸? |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ; ?F4 0 ? |
|
: ? |
4 $"#3 |
|
|
||||||||||||
4 $"# 3"# . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
5.7.2. Інтегралі типу °±²»] a³°²]\] |
||||||||||||||
|
Нехай € |
і |
- цілі числа. Можливі наступні випадки: |
|||||||||||||||
|
а) €. |
або |
|
- непарне |
число. Нехай для визначеності |
|||||||||||||
€ 2ˆ 1 |
Звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
245 |
|
|
|
|
|
|
|
|
!02 |
|
!;2 · ! 2 |
¤ |
|
|
2 |
2 |
¥ |
|
|
|
1 |
! |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 ! 2 |
|
|
|
1 1 2 ; |
|
|
|
|||||
|
- |
4 4 0¢. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 42 t 02 . |
|
|
|
|||||
Приклад 5.27. Знайти невизначений інтеграл
;3 · ! 3.
Розв’язання: В підінтегральному виразі і синус, і косинус - в парних степенях, тому скористаємося формулами
(5.24):
;3 · ! 3 ¼ 1 6 ½ · 1 6
1 2 6 6 1 6
7
1 2 6 6 6 2 6 46
7
7 1 6 6 46 u
Розіб’ємо отриманий інтеграл на чотири. Перші два – табличні, в третьому – підінтегральна функція містить парний степінь косинусу, тому скористаємося формулами (5.24); в четвертому – непарний степінь косинусу, тому необхідно скористатися формулами (5.23). Якщо обчислити всі інтеграли одночасно
читачеві важко, радимо розглянути кожен з них окремо. Отже
маємо
u 7 7 6 5 1 12
247
;7 1 |
! 6 ! 6 |
7 |
;7 ! 6 5 |
: ! 12 ;7 ! 6 ;; |
!46 |
||
5 : |
! 12 ;; !46 . |
|
|
°±²¾] a³°¿] \], 5.7°±²¾].3. Інтеграли°±²¿] типу\], a³°¾] a³°¿] \]
Ці інтегралі бепосередньо обчислюються, якщо підінтегральні функції переписати за формулами перетворення
добутку у суму: |
) ! Œ ’ ! Œ ’*; |
|
|||||
! Œ ’ |
|
||||||
! Œ ! ’ |
) |
Π|
’ |
|
Œ ’*; |
(5.25) |
|
Œ ’ |
) |
Π|
’ |
|
Œ ’*. |
|
|
Приклад 5.28. Знайти невизначений інтеграл |
|
||||||
|
|
! 3 5 . |
|
|
|||
Розв’язання: Скористаємося першою з формул (5.25): |
|||||||
! 3 5 |
A |
! 3 |
5 |
! 3 5 B |
|
||
! 8 ! 2 |
5 8 ; 2 . |
|
|||||
248
5.8. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ
|
|
|
|
|
¯A], √^] `, |
√^] `, … , √^] `B\] |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.8.1. Інтеграли типу |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
² |
|
|
À |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Щоб позбутися ірраціональностей в підінтегральному |
||||||||||||||||||||
виразі, зробимо підстановку |
|
˜, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(5.26) |
||||
де - найменше спільне кратне чисел |
|
|
. За допомогою |
||||||||||||||||||||
цієїˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функція |
перетвориться |
в |
||||||
підстановки |
|
підінтегральна |
|
€, , … c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
раціональну функцію від |
,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Приклад 5.29. Знайти невизначений інтеграл √<<C@<. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Розв’язання: Підінтегральний вираз містить лише корінь |
||||||||||||||||||||
квадратний |
від |
|
|
|
|
, |
|
|
тому |
підстановка |
|
|
|
|
|
(за |
|||||||
формулою (5.26)) |
позбуває ірраціональності даний інтеграл |
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
A ?F BC @ |
|
2 |
: |
|
||||||||||||||||
<C@< |
h |
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
√ |
< |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9 9 0 0 4; 4 16 |
||||||||||||
2 5 6; |
12 8 |
||||||||||||||||||||||
9 & 2 9 0 & 2 0 8& 2 4 16√ 2 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C√ < |
||
|
|
|
Приклад 5.30. Знайти невизначений інтеграл |
|
√ < @< . |
||||||||||||||||||
Розв’язання:Підінтегральний вираз містить квадратний та кубічний корені. Щоб зробити НСКпідстановку2,3 ,6 знайдемо найменше спільне кратне чисел 2 і 3: . Отже, за формулою (5.26) маємо
249
√ < @< |
|
2 1 5 |
|
|
C·4 ¢@ |
|
º@ |
|||
√ < |
|
2 |
6 |
0 |
|
|
|
|
||
C |
h |
|
30 |
i |
|
? |
3 ? u |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ми отримали неправильний раціональний дріб. Перед інтегруванням потрібно виділити цілу частину. Цю процедуру
ми вже розглядали, тому приведемо результат. u 3 - 5 ; 1 ? .
49 9 40 0 4 3 3$"# 49 Ä& 2 1 9 40 Ä& 2 1 0 √2 1 3Ä√2 1
3$"#Ä√2 1 .
5.8.2.Інтеграли типу
¯A], √^_ ]_B \], ¯A], √]_ ^_B \], ¯ -], &]_ ^_. \]
Позбутися таких квадратичних ірраціональностей ми зможемо за допомогою тригонометричних підстановок, з урахуванням основних тригонометричних формул. Розглянемо
кожен з цих інтегралів окремо: |
|
|
||
|
а) xA , √ B . Скористаємося підстановкою |
|||
звідси |
|
! ". |
(5.27,a) |
|
√ |
√ |
! " "; |
|
|
|
(5.27,б) |
|||
|
" ". |
|
|
|
|
|
250 |
|
|