Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

вказана границя називається невласним інтегралом і

позначається

+Ô , тобто

.

 

 

+Ô

limíÏÔ +í

(5.49)

Якщо

вказана границя існує

(і приймає

скінчене

значення), то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (або прямує до нескінченності), то розбіжним.

інтеграла

 

 

 

-

 

 

Якщо відома первісна функція

 

для підінтегральної

 

, то розв’язати питання

про збіжність невласного

функції

 

 

 

 

можна за формулою Ньютона Лейбниця

 

 

+Ô

limíÏÔ ì

.

(5.50)

Аналогічно визначаються невласні інтеграли

 

b

limíÏFÔ íb , limíÏFÔ ì ; 5.51)

Ô

D DÔ

∞ f f ∞ .

(5.52)

З (5.52) зрозуміло, що якщо кожен з невласних інтегралів праворуч збігається, то збігається й невласний інтеграл праворуч.

 

Приклад 5.43. Обчислити невласний інтеграл (або

встановити його розбіжність) Ô

@<<.

√<

Розв’язання: За формулою (5.50) маємо

limíÏÔ 2√ %

ì

G

2 lim &ì 2√1 ∞ 2 ∞

Ô @<

 

 

íÏÔ

,

 

 

1

 

 

отже, даний невласний інтеграл розбігається.

Приклад 5.44. ОбчислитиÔ · F<невласний? інтеграл (або встановити його розбіжність) t .

271

 

 

Розв’язання: Зробимо заміну змінної та скористаємося

формулою (5.51):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ô

 

F<?

 

 

X

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

t

 

 

t ·

 

 

 

 

н

 

0

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

G

 

в

 

 

 

í

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

lim

 

t

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

íÏFÔ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

íÏFÔ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тобто даний невласний інтеграл збігається і дорівнює .

 

 

5.14.2. Невласні інтеграли від розривних функцій

 

 

Визначення 5.6. Нехай функція

 

 

 

визначена і

неперервна на інтервалі

 

 

 

а в точці

 

 

 

 

функція або не

визначена

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або має розрив другого роду

 

 

В цьому випадку не

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G G

 

 

.

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

), ,

 

 

 

 

 

 

 

 

можна говорити про визначний інтеграл (за визначенням він є

границею інтегральних сум), бо функція

 

,

 

 

не є неперервною

 

 

 

, тому границя може

не існувати

.

Позначимо

на інтервалі

 

 

 

 

 

 

 

 

функції

яка має розрив в точці

 

 

,

так

 

 

 

 

інтеграл від

 

), ,* ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+b

limîÏt +bFî .

 

 

 

(5.53)

 

 

 

 

 

 

), ,

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо

існує

 

ця границя

(5.53), то функція

 

 

 

називається

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

вказана границя

інтегровною невласно на проміжку

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

називається невласним інтегралом .

 

 

G G

 

 

 

 

 

 

 

Аналогічно визначається невласний інтеграл, якщо

функція має розрив на нижній границі :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+b

limîÏt +b î .

 

 

(5.54)

 

 

 

 

272

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

), ,*

 

 

В тому випадку, якщо функція

 

 

 

 

має розрив в деякій

 

 

,

 

 

 

 

 

інтегрування

,

то

точці

 

яка належить інтервалу

 

 

 

 

 

 

 

інтеграл розбивають на два, в одному з них функція має розрив на верхній границі (5.53), а в другому – на нижній (5.54):

 

+b

+D Db .

 

(5.55)

Приклад 5.45.

Обчислити

невласний інтеграл

(або

встановити його розбіжність)

t

W√ 5F<

 

 

5

@< .

 

 

Розв’язання: Функція має розрив на верхній границі, в

точці

, при знаходженні первісної, виконаємо заміну

змінної.

Перепишемо інтеграл

за

властивістю

(5.38),

точка

16

 

 

 

 

 

розриву опинилася на нижній границі, тому скористаємося

формулою (5.54):

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ƒ

 

 

5 W @<

 

 

X н

 

 

 

16Y

 

 

t

W@

 

 

5

 

FW

 

 

t

√ 5F<

 

 

16 0

 

5

 

t

 

 

 

 

 

C

 

в

 

16 16

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

16

 

;

W

 

 

 

;

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4 ,

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

W

« 0 ï

 

4

√16

4 lim

 

& 0

 

 

4

0

4

 

 

îÏt GC

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

îÏt

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

отже невласний інтеграл збігається і дорівнює 44 .

 

 

 

(або

 

 

Приклад 5.46.

 

Обчислити

невласний

інтеграл

встановити його розбіжність)

t <?F;< 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@< .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання: Функція має точку розриву в середині

інтервалу інтегрування, а саме в точці

 

 

 

 

 

. Розіб’ємо інтеграл

на два (5.55). Дослідимо

 

 

 

 

отриманих

інтегралів на

кожен

з

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

збіжність за формулами (5.53), (5.54):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@<

 

 

 

@<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

<?F;< 4

 

t

<F ?F

 

 

G

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

lim

îÏt

j

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

%<F %„

 

 

 

%<F %„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<F F

1 ï

 

<F F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

273

 

 

 

 

 

1 ï

 

 

 

 

 

 

∞ 3.

1 ∞

отже, невласний інтеграл

 

 

,

розбігається

 

 

 

5.15. ДЕЯКІ ГЕОМЕТРИЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

5.15.1. Обчислення площі плоскої фігури

За

Õ

геометричним

тлумаченням

визначного інтегралу

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

Ö

 

(5.31), площа криволінійної трапеції (рис. 5.7,а),

яка обмежена

кривою

 

, лініями

 

 

і

 

 

,

і віссю

 

,

обчислюється за формулою

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ë

 

.

 

 

 

(5.56)

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

Якщо плоска фігура обмежена лініями Õ і

(рис. 5.7,б), то для обчислення площі, , необхідно знайти точки перетину кривих і . Ці точки є

границями інтегрування.

 

y

 

 

y=f(x)

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y=f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

x

 

 

 

 

 

a

 

 

 

x

O

b

 

O

(б)

b

 

(а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

Шукана площа плоскої фігури може бути знайдена як

, ,,

Õ , Õ

0,

 

, ,

 

 

Õ

, Õ 0,

різниця між площами криволінійних трапецій,

обмежених

лініями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

274

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

*

 

.

Ë

 

 

+

 

 

+

 

+ )

 

 

 

Ë Ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.57)

 

 

Приклад 5.47. Обчислити площу фігури, обмеженої

лініями

Õ

 

 

і

Õ

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання: Побудуємо

фігуру

 

 

y

 

 

 

(рис. 5.8). Знайдемо точки перетину

 

 

 

 

 

 

кривих, для цього розв’яжемо систему

 

 

 

 

 

 

рівнянь

 

 

 

 

 

 

 

2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Õ

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ð

 

 

G

 

 

 

 

 

2

 

 

0;

 

 

 

 

 

O

2

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

Õ

 

 

 

 

 

 

1;

 

2.

 

 

 

Рис. 5.8.

 

 

Отже, точки перетину

1 і

 

 

 

 

 

 

 

 

Ë

 

 

Обчислимо площу за формулою (5.57):

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

G

+ )

4

 

 

*

 

F

2 4

 

4

од

 

 

-

2

.% 1

2 4 4

 

 

 

<?

 

 

<C

2

 

 

 

 

7

 

 

 

 

.

 

 

 

 

5.15.2. Обчислення довжини дуги плоскої кривої

 

ó цієї кривої, яка

Õ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

p”

 

Нехай

в

 

декартовій

системі

 

координат

задано

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

неперервну криву

 

 

 

 

(рис. 5.9). Знайдемо довжину дуги

 

 

 

 

 

 

розташована в інтервалі між

 

і

 

 

275

y

 

 

 

 

Mi-1

Mi

B y=f(x)

 

 

 

 

 

 

yi

 

 

 

 

 

M2

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

a=x0

 

x1

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

xi-1 xi

b=xn

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p”

 

 

 

Рис. 5.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

É , É , … , É , …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ó

 

точками

 

 

 

 

>

з абсцисами

 

Поділимо дугу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pÉ , É É , … ,.É F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

∆ , ∆ , …в, ∆

 

 

 

 

 

.

 

Поєднаємо

 

 

 

 

точки

 

 

відрізками

, , … , >, …

 

p”

 

,

 

довжини

яких

позначимо

 

відповідно

 

 

>

 

 

 

Ми отримали

ламану

 

 

 

 

 

яка

 

 

 

 

 

ó

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вписана

дугу

 

 

 

 

Довжина

ламаної

складається з довжин

відрізків

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑>I

∆ >.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Довжиною

дуги

p”

називають границю, до якої прямує

 

 

 

 

 

 

 

довжина ламаної,

 

 

 

 

 

 

 

прямуванні її найбільшого відрізка до

 

при

 

 

ó

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нуля, а числа відрізків

Ï ∞:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim~+<∆[ÓÏt, ÏÔ ∑>I ∆ >.

 

 

 

(5.58)

як ∆Õ>

Визначимо спосіб обчислення довжини дуги.

 

 

 

 

>

 

>F . За теоремою Піфагора

 

 

 

 

 

Позначимо різниці ординат двох сусідніх точок ділення

 

 

∆ &

 

∆Õ

 

 

 

1 -∆<

.

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

>

 

 

Å

 

∆ôÓ

 

>

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ó

 

 

 

 

За теоремою Лагранжа маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆ôÓ

 

 

Ú <Ó

FÚ <ÓZƒ

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆<Ó

 

 

 

 

 

<ÓF<ÓZƒ

 

 

Í>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

276

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де >F f Í> f >.

Звідси довжина часткового відрізку ламаної дорівнює

Å

1 A

Í

B

>

 

>

 

>

 

 

Знайдемо границю інтегральної суми, яка дорівнює визначеному інтегралу

lim ÏÔ

 

 

1 A

Í B

 

+

Å

1 A

B

 

 

~+<∆[ÓÏt

 

 

 

 

 

 

>

>

 

b

 

 

 

 

.

 

>I Å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточно формула для обчислення довжини дуги має

вигляд:

 

 

 

 

+b Å1 A B .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.59)

розташована між

0

і

 

.

 

 

 

 

Õ

 

1

 

Приклад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, яка

5.48.

Знайти довжину лінії

 

 

 

 

 

Розв’язання:

 

Для

 

обчислення

 

 

довжини

 

дуги,

скористаємося формулою (5.59). До підстановки у формулу виконаємо попередні обчислення, а саме

Õ

 

F<< ?

;

 

;<?

 

F <? <W ;<?

<? <W

A <?B?;

1 Õ

 

 

 

1

 

 

 

 

F<? ?

F<? ?

 

ƒ

F<? ?

F<? ?

 

b

&1 Õ

ƒ

<?

 

 

FA F<?B

 

 

+

t?

F<?

t?

F<?

 

 

 

ƒ

@<

 

 

 

ƒ

 

G

<F

1⁄2

 

1⁄2

G

 

 

 

?

?

 

 

?

 

 

 

 

2 t

F<

t

 

 

0

 

% 0

4

 

 

%< %„

 

 

 

3

од.

 

 

277

 

 

 

 

 

 

5.15.3. Обчислення об’єму тіла

Нехай дано тіло, яке обмежено замкненою поверхнею, і нехай відома площаÖ будь-якого його перетину площиною, паралельною осі (рис. 5.10).

БудемоËвважати, що площа такого перетину є відомою нам функцією .

S(xi )

a xi-1 xi b x

Рис. 5.10.

Нехай все тіло обмежене двома площинами,

перпендикулярними

 

до

осі

 

 

і

 

відомо,

 

що ці

площини

 

 

 

 

 

точках

 

 

 

 

 

.

Для визначення

перетинають вісь

 

 

в

на

 

Ö

за

 

 

 

 

 

об’єму разіб’ємо

тіло

шари

допомогою площин які

Ö

 

 

 

 

 

 

 

,

,

 

 

 

,

, , … , >, …

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

перпендикулярні

осі

 

 

і перетинають

 

вісь

в точках

 

 

 

 

 

кожен шар прямим циліндром тієї ж

 

ЗамінимоÖ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

висоти і з основою

 

яка дорівнює

 

 

Об єм прямокутного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

основи на висоту Отже об єм

циліндру дорівнює добутку площі

 

Ë >

 

 

 

.

-ступінчатого тіла знаходиться як сума

 

 

 

 

 

 

 

 

 

õ

>IE

Ë> ∆>.

 

 

 

 

(5.60)

Об’ємом тіла називається границя інтегральної суми при

 

 

 

 

 

відрізку до нуля а числа

Ï ∞:

прямуванні найбільшого

 

 

278

 

 

,

 

 

 

 

 

õ

 

lim~+<∆<ÓÏt >IE

Ë> >

+b Ë.

(5.61)

 

 

 

 

 

ÏÔ

 

 

 

 

Õ

Якщо

тіло,

об’єм якого ми

шукаємо,

отримане

 

 

 

 

,

Ö

 

 

 

 

обертанням

криволінійної трапеції, яка обмежена лінією

 

 

 

навколо осі

 

, то перпендикулярним перетином з

 

Õ

 

 

 

 

 

 

абсцисою

 

є коло радіус якого дорівнює відповідній ординаті

лінії

 

 

 

. В такому разі

´ · Õ .

 

 

 

 

 

 

 

 

Ë

 

 

Звідси отримаємо формулу для обчислення об’єму тіла обертання:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

õ

 

´ +b Õ

´ +b .

(5.62)

 

 

 

Приклад 5.49. Знайти об’єм тіла обертання фігури,

обмеженої лініями

Õ

 

4

, Õ

 

4

навколо осі Ö, де • 0.

 

 

 

Розв’язання: Знайдемо точки перетину ліній, які

обмежують цю фігуру:

 

4 4

0

 

 

 

 

 

Õ

 

4

;

 

 

4

 

 

4 ;

 

 

 

 

 

ð

 

G

 

 

 

 

4

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

Õ

4

 

 

 

 

 

 

4

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;

 

 

2;

 

 

 

 

 

 

За формулою (5.62) маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

t )

 

 

 

 

 

*

 

 

 

t

 

 

 

õ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

´

 

Õ

 

Õ

 

 

 

 

´

 

 

 

 

5<C

2

 

 

7 7

0

 

4 .

 

 

 

G

4

 

9 .% 0

 

´ - 4

 

 

9 . ´ од

 

 

 

´ -

 

 

 

 

279

5.16. Застосування визначних інтегралів для розв’язанні задач економіки

Познайомимося з основними поняттями, необхідними

нам для розв’язання задач економіки.

 

 

 

 

Нехай функція

 

 

описує

продуктивність

деякого виробництва за певний час

Об

єм продукції

,

 

 

.

 

 

яка вироблена за проміжок часу

)" , " *,

обчислюється за

формулою

• " , "

KKƒ?

 

• " , "

 

" ".

 

(5.63)

На продуктивність виробництва продукції може впливати багато різних факторів. Можливість урахування цих

факторів, пов’язана з використанням функцій Кобба-Дугласа. В

такому випадку функція " є добутком трьох множників

 

 

 

 

p " , ÷ " , ø "

"

tp" ÷Š " øù " ,

 

 

 

(5.64)

 

-

 

t, Œ, ’, ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

 

 

 

 

 

 

величини затрат природних ресурсів, праці

і капіталу (відповідно),

 

 

 

 

 

 

- деякі коефіцієнти.

 

 

 

 

Õ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай

 

дано

 

 

функцію

 

y

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

,

 

 

яка

 

характеризує

1

 

 

 

 

 

 

 

нерівномірність розподілу доходів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

серед населення, де

 

 

-

частинка

 

 

y=x

 

 

 

 

 

 

 

сукупного

доходу,

 

яку

отримує

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

Õ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частинка

 

 

 

 

 

 

найбіднішого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

населення.

Графік

 

цієї функції

 

 

y=f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лоренца

 

 

C

 

 

 

називається

 

кривою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Î,

 

 

 

Ý )0; 1*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

,

x

(рис. 5.11).

Очевидно,

,

що

 

 

 

 

 

Рис. 5.11.

 

 

 

 

 

при

 

 

 

 

 

а з

цього

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 Î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямує що нерівномірність розподілу доходів тим більша

 

чим

більша площа

фігури

 

 

 

 

.

Тому для кількісного аналізу

 

c

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Öp”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

розподілу доходів використовують

коефіцієнт

нерівномірності

 

 

 

 

 

Öp”

 

280

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Öp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Джині , який дорівнює відношенню площі фігури

 

 

 

і площі

трикутника

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.