Пособие_ВМ_для_менеджеров

7 9 22;

A

7

>c > .

y

Перевіримо

результат

за

рисунком 2.16. Дійсно, шукана пряма

утворює тупий кут з додатнім

x

-3

O

напрямком осі абсцис (кутовий

4

коефіцієнт від’ємний) і відсікає

-2

B

відрізок більший за три на додатному

Рис

. 2.16.

напрямку осі ординат (T 3 >).

:

2,2 ,

3,8, .

.

B

1, 2

Приклад

2.10.

Дано трикутник

y

рівняння медіани

@

Знайти

8

Розв’язання: За визначенням медіана

поділяє сторону навпіл. За формулами (2.6),

(2.7) знайдемо

@

координати точки

як

K

середини відрізку

(рис. 2.17):

A

d ,5, 2;

d =, 3;

@ 2,3.

-3

O

-2

2 x

C

За формулою (2.17) шукане рівняння

медіани має вигляд:

/,

+,,; ;

Рис. 2.17.

/,5, ,+,, ;

4 2 2;

; F.

Будемо шукати рівняння у вигляді (2.14). Кутовий

коефіцієнт за умовою відомий, а невідоме T

знайдемо з умови

61

у рівняння (2.14):

Y

,T Y

T

Y

або

. Підставимо

проходження прямої через точку

:

3,5

Y .

(2.20)

осі .

X 45

Приклад 2.10.

Скласти рівняння прямої, що проходить

через точку

і утворює кут

D з додатним напрямком

Розв’язання:

За

означення

D

.

2

Скористаємось формулою (2.20),

отримаємо

Y Z[X Z[45 1.

Шукане рівняння має вигляд

.

5 1 · 3

2.2.6. Кут між прямими. Умови паралельності і

перпендикулярності прямих

можливі випадки

Y

Z[X

Y Z[X

. Їх

Нехай дано прямі

I і II:

і

Розглянемо

всі

кутові

коефіцієнти

Y T ,.

Y T

взаємного

розташування

двох прямих

на

2) нехай прямі I

і II перпендикулярні (рис. 2.18, б). З

X X

90D. Отже

теореми

про

зовнішній кут трикутника

прямує

Y

Z[X Z[ X 90D iZ[X

(2.22)

jkl#

d#

Y

d#.

m

; остаточно маємо

m

3) нехай прямі I

і

II перетинаються під довільним кутом

(рис. 2.18, в). Під

ми розуміємо найменший кут,

на

який

потрібно

повернути проти

ходу

62

годинникової стрілки пряму I до прямої II щоб вони

збіглися. Таким чином прямі I і II не рівноправні!

Скористаємось

теоремою

про зовнішній

кут

X m X ; m X X ;

трикутника:

jkl#,jkl$

;

або

Z[m Z[ X

X

-jkl#·jkl$

d$,d# .

(2.23)

Z[m -d#·d$

I

II

II

I

II

I

α

1

α

α900

α2

α

Θ

α2

2

x

1

x

1

x

(а)

(б)

(в)

Рис. 2.18.

Приклад 2.12. Дано дві прямі:

1)

7 13;

7 5;

2)

5 2; 3 8;

3)

2 6;

5 1.

1)

Y Y

7

кутові коефіцієнти прямих

. Прямі

задовольняють

умові паралельності прямих (2.21)

паралельні;

2)

Y

прямих; Y 3

кутові

коефіцієнти

прямих

задовольняють умові перпендикулярності

5

(2.22).

Прямі перпендикулярні;

Y 2,

Y

5

3)

кутові

коефіцієнти прямих

. Знайдемо

кут між прямими за формулою (2.23):

63

Z[m

F,

5 ;

m SniZ[ 5 .

- ·F

2,5 ,

. Знайти:

: 4,3 ,

5,9

y

Приклад 2.13.

Дано трикутник

1)

кути трикутника;

C

9

2)

рівняння висоти

;

що

прямої

3)

рівняння

,

A N

3

проходить через вершинуo

5

B

паралельно стороні

.

Розв’язання:

Побудуємо

l

трикутник (рис. 2.19). Знайдемо за

-5 -4

O

2

x

формулою

(2.17)

кутові

Рис. 2.19

коефіцієнти

сторін

трикутника:

YCA F,5-; 5

; YA8

,F,c,F

>;

;

YC8 ,Fc,5-; 6.

1) знайдемо кути трикутника за формулою (2.23):

da`,dab

,E,9#

c

c

Z[ p

- ,E ·9# 5

; p SniZ[

5

;

-da`dab

dab,db`

9#-sr

c

c

Z[ p -dabdbq

-#· ,r%

> ;

p SniZ[

> ;

9

s

db`,da`

,sr-E

5=

5=

Z[ p

- ,E · ,sr%

5

;

p SniZ[ 5 .

-da`dbq

Y8H

3. Скористаємося

формулою

(2.20):

3)

dab

.

3 6

:

9 3 .

5. Рівняння шуканої висоти має вигляд:

за умовою паралельності прямих

5 6

. 2 , рівняння шуканої прямої має вигляд:

За формулою

(2. 0):

Yt YC8

6

6 17

2.2.7. Нормальне рівняння прямої

Нехай пряма задана загальним рівнянням (2.15).

Помножимо це рівняння на деякий множник \ 0:

0.

випадку (2.15) iuvX; vwxX;

:

y

.

Позначимо

В

такому

рівняння набуде вигляду

· iuvX · vwxX y 0.

(2.24)

Рівняння (2.24) має назву нормального рівняння прямої.

;

Коефіцієнт

називається нормуючим

множником

його,

;

iuv X

,

Знайдемо

якщо

скористаємось

основною.

vwx X

iuv X vwx X 1

;

1

тригонометричною

тотожністю:

або

z

√C -A

$.

$

(2.25)

Знак нормуючого множника обирається протилежним до

знаку .

X:

iuvX; vwxX

Спробуємо

з’ясувати.

геометричний зміст

кута

65

iuvX z

$C

$ ;

vwxX z

$A

$.

√C -A

√C -A

Поділимо ці вирази: 4~{l{|}l AC, тобто Y Z[X AC.

В рівнянні (2.15) кутовий коефіцієнт прямої дорівнює

A.

Бачимо, що ці кутові

y

коефіцієнтиY

задовольняють

умові

C

перпендикулярності (2.22). А тому

зрозуміло,

що кут

описує пряму,

p

перпендикулярна

до

шуканій

α

що

X

.

x

Довжина

відрізка

від

початку

O

координат

до точки

перетину цих

Рис. 2.20.

прямих дорівнює y (рис. 2.20).

Приклад 2.14. Прямі задані рівняннями:

1)

3 2 7 0;

2) ;5

5

12 0;

3) F5

F;

2 0.

З’ясувати, чи задані ці прямі нормальними рівняннями?

Якщо ні, привести рівняння до нормального вигляду.

vwx X 1

iuvX,

- vwxX:

Розв’язання:

Перевіримо

виконання

умови

.

рівнянням то

Якщо

пряма задана

нормальним

iuv

, X

коефіцієнт при

є

а при

. 2

9 4 13 \ 1

.

iuv

X vwx

X 3

1)

.

Умова не виконується

Рівняння не є нормальним

Приведемо його до нормального вигляду:

z

5$- , $ z √ 5

. Обираємо знак

обернений до , а саме « ».

3 2 7 0 •

·

;

√ 5%_

√55

√ 5

√>5

0.

66

2)

iuv X vwx X

5%

% c

c>

\ 1

Умова не виконується;

. Рівняння5 E

неc є нормальним;;

.

Приведемо його до нормального вигляду:

€ r% -

9%

#$

√c>

z

z

ås

z .

Обираємо

знак

9 $

# $

;

5

12 0 •

· √c>_

протилежний

,

а саме

« ».

5

c

;

;

0.

√c>

√c>

√c>

c E 1.

3)

iuv X vwx X

5%

;%

Умова

виконується, тому Fце рівнянняF

–

нормальнеF F

.

:

2) розв’яжемо отримане у п. 1

загальне рівняння

відносно

і отримаємо рівняння прямої з кутовим

коефіцієнтом

;> E>;