Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_ВМ_для_менеджеров

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.16 Mб
Скачать

угнута, якщо

 

 

-

 

 

. · 0

 

похідної визначаємо характер поведінки функції в

 

(( ¸ 0

 

 

((

 

, то функція

кожному з інтервалі:

якщо

 

 

опукла

5.Простежимо за зміною знака другої похідної при переході через границі інтервалів опуклості і угнутості функції і з’ясуємо, які з критичних точок є точками перегину функції. Може так статися, що деяка критична точка не є точкою перегину функції. Це може статися, якщо в двох суміжних інтервалах,

які поділяються вказаною критичною точкою, друга похідна має однаковий знак.

6.Підставимо у функцію значення незалежної

змінної, в яких ми встановили існування точок перегину і обчислимо їх ординати.

.

 

 

 

 

12

 

 

Приклад 4.43.

Дослідити

функцію

на

опуклість,

48B 50

 

 

 

A

 

=

 

угнутість і знайти точки перегину

функції

 

 

 

(

((

Розв’язання:

 

 

 

ОВФ: • ®.

 

 

 

Знайдемо першу і другу похідні функції:

4= 36B 96;

((

12B

72 96.

ЗнайдемоBкритичні точки:

.

 

Œ

 

 

 

 

 

0; 12 72 96 0| Ü 12

 

 

B

6 8 0;

 

1 2.

 

 

 

0 B 4Œ

Винесемо результати досліджень або в таблицю

201

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

т.п.

0

 

 

угнута

т.п.

опукла

 

угнута

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або на числову вісь (рис. 4.11):

 

 

 

+

_

 

 

+

y//

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

Рис. 4.11.

 

2 4

 

має

∞; 2 Ð 4; ∞

 

 

 

 

Отже

,

функція опукла на інтервалі

• 2;і

4,

угнута на

інтервалі

 

 

 

 

. В точках

 

функція

перегин

4.4.7. Асимптоти функції

Визначення ß 4.16. Пряма лінія Å ßназивається Åасимптотою лінії , якщо відстань від точки лінії до прямої прямує до нуля при нескінченному віддаленні цієї точки від

початку координат.

Можливі випадки існування вертикальної та похилої

асимптот. Розглянемо кожен з них.

 

 

Нехай лінія

 

 

 

має вертикальну асимптоту. Її

обов’язково

 

 

звідси

 

 

 

.

рівняння буде

 

 

,

,

 

 

 

 

 

виконується умова

 

при

 

Отже, якщо

 

àáâ“ “’ “ ∞

 

 

 

 

 

(4.48)

то лінія має вертикальну асимптоту

 

 

 

 

 

 

 

 

“ “.

 

(4.49)

 

 

 

 

 

 

202

 

 

 

 

Взаємне розташування нескінченної вітки функції та її

вертикальної асимптоти

можна з’ясувати дослідженням знака

нескінченності,

до

якої

прямує

 

 

 

,

коли

 

 

 

прямує

до

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

праворуч.

Можливі

 

варіанти

 

 

розташування

ліворуч

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вертикальної

 

асимптоти

і

 

 

графіку

 

функції

 

 

зображені

 

на

рис. 4.12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

L

 

 

A

 

 

L

 

 

L

 

 

A

 

L

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

A

 

 

 

 

L

 

 

 

L

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

x0

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

x0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай лінія

 

 

 

 

 

 

 

має похилу асимптоту. Рівнянням

 

 

 

 

 

 

 

 

 

буде

 

 

 

 

 

 

 

.

За

 

визначенням асимптоти

такої

асимптоти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см рис

. 4.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на лінії від асимптоти

 

 

відстань

 

 

 

 

точки

 

 

 

¦ Ž

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( .

 

 

 

 

до нуля при

 

 

 

 

.

 

Розглянемо замість відстані

 

 

 

прямує

 

¥ã1

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

ß

 

 

 

 

 

 

 

 

Å

 

 

 

і

 

 

 

які

 

 

 

 

 

 

, тобто

різницю між ординатами точок

 

 

 

 

відстань

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥,

ã1

 

 

 

 

ж саму абсцису

Зрозуміло

що ці відстані одночасно

мають ту¥ã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

ã

 

 

прямують до нуля при .

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ордината

 

точки

ã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

дорівнює

 

значенню

 

 

функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

а

 

ордината

 

точки

 

 

 

-

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

N1

 

 

 

 

 

x

¦ Ž. Звідси

 

 

 

 

 

функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

значенню

 

 

лінійної

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

¥ã À ¦ Ž Á.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

Рис. 4.13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З цього прямую, що якщо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ž Á 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limÈÀ ¦

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

203

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то лінія

 

 

має асимптоту

 

 

 

. Тобто знаходження

 

 

асимптоти зводиться до знаходження таких чисел

і

,

похилої

 

 

 

 

 

 

¦ Ž

 

 

 

 

¦ Ž

що

 

 

 

limÈÀ ¦ ŽÁ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.50)

звідси справедливо, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¦ Ž §.

 

 

 

 

 

 

де

 

 

- нескінченно мала

при

 

 

. Поділимо обидві

частини рівності на

 

 

і перейдемо до границі при

 

:

 

 

 

§

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limÈ limÈ ä å -.

 

 

 

З ä 0 і å 0 прямує, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limÈ ¦.

 

 

 

 

 

(4.51)

 

Отже, якщо існує така кінцева границя (4.51), то існує і

похила асимптота.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо

Ž з (4.50):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limÈÀ ¦ Á Ž.

 

 

 

 

(4.52)

 

Якщо існують

кінцеві

границі

(4.51),

(4.52), то

лінія

має похилу асимптоту

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¦ Ž.

 

 

 

 

 

(4.53)

 

Зауваження.

 

Якщо

 

,

 

то похила асимптота

перетворюється в горизонтальну

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ž,

 

¦

: 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

Ž limÈ .

 

 

 

(4.54)

 

Приклад 4.44. Знайти асимптоти функції B =z2—G .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

204

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання: ОВФ: 2 3 • 0; • B= ;

 

 

 

 

• , ∞; B=- Ð , B= ; ∞-.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо вертикальну асимптоту. Візьмемо точку

розриву функції

B=

і перевіримо виконання умови (4.48):

 

 

 

 

 

 

lim SM

lim SM B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

z2—G

.

 

 

 

 

 

 

Отже, пряма

 

 

 

 

 

 

є

вертикальною

асимптотою

функції.

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо похилу асимптоту. Для цього обчислимо

границі (4.51), (4.52) при

£∞:

 

 

 

 

 

 

 

¦ limÈ

 

 

limÈ

Í2—G

limÈ BS=

ÌÈÌ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2ƒM

 

z2—G

È

 

 

 

limÈ A = limÈ

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2—G

 

 

 

 

 

 

z2—G

 

;

 

 

 

 

 

 

 

¦

 

lim

 

 

limÈ

Í2—G

limÈ BS=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

È

 

 

 

 

 

 

 

S2ƒM

 

 

 

 

z2—G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

BS= z— 2—G

È

 

 

 

 

 

 

 

 

 

È

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауважимо,

що

 

обчислюючи границю

при

 

 

ми

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лопіталя,

 

 

уникнути

двічі

скористалися

 

правилом

щоб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

,

невизначеності. При цьому кінцевої границі не отримали, тому

при

 

 

 

 

 

похилої

 

 

асимптоти не існує. При

È

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

невизначеності

не

виникло

 

 

замість

обчислення

 

 

ми

перемістили

 

експоненту

в

 

 

знаменник

і отрималиo

кінцеву

 

 

 

 

 

 

 

. А

 

Ž

 

 

 

 

 

 

 

 

 

границю

 

 

 

 

цей

випадок

відповідає

горизонтальній

 

 

 

Обчислимо

 

 

при

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

асимптоті.¦ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

205

 

 

 

 

 

 

 

Ž limÈ limÈ B = limÈ B = z2—G

z2—G

1

1 0

È .

Отже, при існує горизонтальна асимптота 0.

4.4.8. Загальна схема дослідження функції

Спробуємо об’єднати попередньо отримані знання для дослідження функції та побудови її графіка. Пропонуємо наступну схему:

1.Область визначення функції (ОВФ).

2.Точки перетину´ з осями координат. Нагадаємо0 , що

´з віссю лінія0 перетинається, якщо ; а з віссю

,якщо .

3. Інтервали знакопостійності. На числовій осі

 

необхідно відзначити точки перетину з віссю

 

і

 

точки, в яких функція не існує (ОВФ).

Обчислимо

 

 

 

 

´

 

 

 

· 0

 

 

,

 

-

 

 

 

.

 

 

 

 

 

Там,

 

знак функції в кожному з отриманих інтервалів.

 

де

 

 

графік функції розташовано в

верхній

 

полуплощині де

 

 

 

в нижній

 

Нагадаємо

що

4.

Парність

(

непарність

 

 

функції

.

 

¸ 0

 

)

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

парна,

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

функція

якщо

виконується

умова

Якщо не

 

 

; непарна –

якщо

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

виконується ні одна з цих умов функція загального

 

положення. Ця інформація дуже корисна при

 

побудові графіка функції: графік парної функції

 

симетричний відносно осі ординат, а графік непарної

 

функції –

 

відносно початку координат.

 

 

 

 

 

5.

¯

 

, де ¯ • 0

- період функції.

 

 

 

 

Періодичність.

Якщо

 

 

 

функція

 

періодична,

то

6. Дослідження функції на монотонність та екстремуми (дослідження за допомогою першої

206

похідної). Схема цього дослідження приведена в п. 4.4.3.

7.Дослідження функції на опуклість, угнутість та точки перегину (дослідження за допомогою другої похідної). Схема цього дослідження приведена в п. 4.4.6.

8.Асимптоти функції. См. п. 4.4.7.

9.Графік функції. Графік функції будується за результатами попередніх досліджень. При побудові нас цікавить поведінка функції на інтервалах і у критичних точках. Тому графік, який ми отримуємо носить якісний характер.

MПриклад 4.45. Провести повне дослідження функції

SA і побудувати її графік.

Розв’язання: Проведемо дослідження за запропонованою схемою

.

 

B .4 • 0;

• £2; • ∞; 2 Ð

1.

ОВФ:

2.

2; 2 Ð 2; ∞

:

 

Знайдемо точки перетину з осями координат

´ :

0; SA 0; 0

. Отже функція перетинає вісь

 

M

 

´ :

´ у початку координат ´ 0,0 .

0; A

0. Функція перетинає вісь ´ теж у

 

початку координат ´ 0,0 .

 

3. Нанесемо´ на числову вісь точки перетину графіка з віссю та точки, в яких функція не існує; обчислимо знак функції на кожному інтервалі:

 

+

 

+

-2

0

2

x

 

 

207

 

 

 

 

• ∞; 2 Ð 0; 2

 

Отже функція додатна на

інтервалі

. 2; 0 Ð 2; ∞

і

від’ємна,

на інтервалі

 

 

 

4. Перевіримо функцію на парність:

 

 

S A S A

 

 

 

 

M

M

.

 

З цього прямує, що функція непарна.

 

 

 

5.

Функція неперіодична.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Дослідимо функцію на монотонність на екстремуми.

 

 

 

 

Знайдемо першу похідну та критичні точки:

0;

 

 

(

 

= SD S AH M·B

b 1B S;

 

(

0:

 

 

;

 

 

 

S

A

S

 

S

A

S

 

ç 2√3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,B,=

 

2√3.

Œ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нанесемо критичні точки та точки в яких функція не існує на числову вісь, обчислимо знак першої похідної в кожному з отриманих інтервалів:

+

_

_

_

_

+

y /

 

 

 

 

x

-2 3 -2

0

2

2 3

 

 

y

Обчислимо значення функції в екстремальних точках:

Ñg* D2√3H

DB=SHM

 

3√3;

 

 

 

 

 

 

 

DB√=H

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D B=HM

 

.

 

 

Ñm D 2√3H D B√=HS A 3√3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• D ∞; 2√3H Ð D2√3; .∞H

Функція

зростає

 

 

D 2√3; 2H Ð 2; 2 Ð D2;, 2√3H

,

на інтервалах

 

 

 

¥

D 23; 3√3H

 

 

 

 

 

 

 

спадає на інтервалах

 

 

 

 

 

 

 

В

¥BD2√3;

3√3H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точці

1

 

 

 

 

 

функція набуває максимуму

а в точці

 

 

- мінімуму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

208

 

 

7. Дослідимо функцію на опуклість, угнутість та знайдемо точки перегину. Знайдемо другу похідну, критичні точки та винесемо ці точки разом з точками розриву функції на числову вісь:

((

DAMBAHD SAHS D b1BSHBD SAHB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SAb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AD SAH”D SWHD SAH D b1BSH•

 

ADBSBAH;

 

 

 

 

 

SAb

0

 

 

 

SAM

 

 

 

 

 

(( 0;

SAM

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ADBSBAH

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

 

+

 

_

 

 

 

+

 

y //

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо ординату точки перегину функції:

 

 

 

 

 

 

т.п. 0 A 0.

 

 

 

 

 

 

• ∞;;

2 Ð-0; 2

 

перегину функції.

 

 

2; 0 Ð 2; ∞

 

è 0; 0

 

 

і

 

Функція опукла на

інтервалах

 

 

 

 

 

 

 

угнута на

інтервалах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка

 

8.

Знайдемо асимптоти функції.

 

 

 

 

 

 

 

 

У

функції

 

є дві

точки

 

розриву

 

 

 

і

 

.

Перевіримо, чи будуть лінії

 

 

 

 

 

і

 

 

вертикальними

асимптотами функції:

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

limB limB SA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limB limB SA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так, лінії 2 і 2 є вертикальними асимптотами функції.

Знайдемо похилі асимптоти: 209

¦ lim £È

 

lim £È

2M

lim £È MA ÌÈÌ

 

 

 

 

2S—b

 

1

 

 

M

È

lim£È =SA ÌÈÌ lim £È W

 

 

 

 

=S

È

 

W

 

;

 

 

 

Ž lim £È ¦ lim £È , SAM 1 · -

 

lim £È SA ÌÈÌ lim £È B

È 0

 

 

 

A

È

 

 

A

 

B

.

 

Отже, похила асимптота задається рівнянням .

 

9.Всі отриманні знання про поведінку функції у графіку (рис. 4.14):

2 -

= x

y

=2 x

x = y

-2

 

3 -2

0

2 2 3

x

Рис. 4.14

4.4.9. Застосування похідної в задачах з економічним змістом

Поняття похідної може бути використано у розв’язанні прикладних задач економіки. Введемо основні поняття.

210

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.