Джерела нагрівання та

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

саме: ліва частина виявилась рівна правій. При цьому доводиться іноді досить далеко абстрагуватись від реальних умов нагрівання тіл, схематизувати конкретні тіла і джерела тепла таким чином, щоб можна було отримувати аналітичні рішення. Зате, в цьому випадку, отримане аналітичне рішення являється універсальним і може бути використане для всіх подібних умов.

При пошуках аналітичних рішень, для спрощення, теплофізичні властивості тіла теж, як правило, приймаються не залежними від температури,

тобто коефіцієнти теплофізичних властивостей − постійні: λ, cρ, a = const

Застосовують такі аналітичні методи рішення диференційного рівняння теплопровідності:

−метод рядів Фур’є,

−операторний метод,

−метод джерел тепла.

Взварювальній техніці джерела нагрівання, як показувалося вище, за-

звичай, малих розмірів − концентровані, а тіла, що нагріваються, як прави-

ло, масивні − великих розмірів, через це, як найбільш оптимальний, засто-

совується метод джерел тепла.

Залежність теплофізичних властивостей тіл від температури при цьому не враховується (вони приймаються постійними величинами). Це дає змогу привести диференційне рівняння теплопровідності до лінійної форми і використовувати лінійні граничні умови. Саме метод джерел тепла використовується для виводу всіх рівнянь, які описують розповсюдження теплоти при зварюванні, через це саме на цьому методі зупинимось докладніше.

МЕТОД ДЖЕРЕЛ ПРИ ОБЧИСЛЕННІ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ

Суть методу джерел тепла полягає в тому, що тіла, в яких розповсюджується тепло, схематизуються і можливі джерела тепла теж схематизу-

181

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

ються. Потім, залежно від конкретних умов нагрівання при різних спосо-

бах зварювання, підбираються пари: тіло ↔ джерело нагрівання, які найбільше відповідають умовам зварювального процесу.

Схематизація тіл, які нагріваються

Необмежене тіло − поверхні тіла настільки віддалені від джерела нагрівання, що жодна з поверхонь тіла не впливає на теплопередачу в ньому (в зварюванні не зустрічається, але широко використовується для початкового виводу аналітичних рівнянь).

Напівобмежене тіло – тіло, у якого тільки одна з поверхонь суттєво впливає на теплопередачу, тоді як інші − ні.

Плоский шар − тіло обмежене двома поверхнями, які суттєво впливають на теплопередачу.

Пластина − тіло обмежене двома поверхнями, які впливають на теплопередачу, причому на осі, перпендикулярній до цих поверхонь, темпера-

тура точок тіла незмінна − температурне поле плоске.

Стержень − тіло, розміри якого вздовж однієї з осей настільки значні,

що кінцеві поверхні (торці) не впливають на теплопередачу в ньому − температурне поле лінійне.

Схематизація джерел зварювального нагрівання

а) Схематизація по протяжності в просторі.

Точкове джерело тепла − розміри якого по всіх осях зосереджені, або розмірами якого по всіх осях порівняно з розмірами тіла, яке нагрівається, можна нехтувати (наприклад, електрична дуга).

Лінійне джерело тепла − джерело, тепло в якому виділяється рівномірно вздовж деякої лінії, тобто джерело зосереджене по двом осям (наприклад, зварювання з глибоким проплавленням, електронно-променеве зварювання).

182

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Плоске джерело тепла − джерело, тепло в якому виділяється рівномірно в деякій площині, тобто, джерело зосереджене по одній з осей (наприклад, контактне стикове зварювання).

Об’ємне джерело тепла − джерело, тепло в якому виділяється рівно-

мірно в деякому об’ємі − розмірами джерела тепла, порівняно з розмірами тіла, нехтувати не можна (наприклад, електрошлакове зварювання).

б) Схематизація по часові дії джерела тепла.

Миттєве джерело тепла (t → 0) − час дії джерела тепла дуже малий порівняно з часом вирівнювання температур в тілі (різниця хоча б на 1...2 порядки).

Тривалодіюче джерело тепла − діє в тілі необмежено довгий час. в) Схематизація по положенню в просторі.

Нерухомі (непорушні) джерела тепла (зрозуміло – вони не рухають-

ся).

Рухомі джерела тепла (зрозуміло – вони рухаються по поверхні, або всередині тіла).

Потужні швидкодіючі (швидкорухомі) джерела тепла (зрозуміло – вони рухаються, але на відміну від попереднього, швидкість руху такого джерела тепла більша від швидкості розповсюдження теплоти в тілі).

На перехід в класифікації від рухомого до швидкодіючого (швидкорухомого) джерела тепла впливає, крім швидкості власного руху джерела тепла, ще й теплопровідність тіла, яке нагрівається, бо саме вона визначає швидкість вирівнювання температур в тілі і, отже, й швидкість розповсюдження теплоти.

Крайові умови

Для того щоб приступати до вирішення диференційного рівняння теплопровідності, як і при рішенні будь-якого диференційного рівняння, по-

183

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

трібно задати крайові умови. При вирішенні задач розповсюдження теплоти такими умовами виступають:

1) Початковий розподіл температур в тілі.

Вирішуючи диференційне рівняння теплопровідності виходимо з того, що початкові температури (в момент часу (t = 0)) всіх точок тіла відомі. В

розрахунках температурних полів при зварюванні найчастіше вважаються початкові температури всіх точок тіла однаковими (іноді вони навіть приймаються рівними нулю).

2) Умови теплообміну, вони ще називаються граничними умовами. Це закономірності обміну теплом між тілом (через його поверхні) і

оточуючим середовищем.

Умови теплообміну поверхонь тіла з оточуючим середовищем можуть бути різними, але на практиці, особливо в зварювальних розрахунках застосовуються три їх різновиди:

Адіабатична умова − забороняє теплообмін на всіх поверхнях тіла, або вважає кількість теплоти, яка перетікає через границі тіла, зникаюче малою порівняно з кількістю теплоти, яку одержує тіло від джерела тепла.

Ізотермічна умова − дозволяє теплообмін на поверхнях тіла, але при цьому вважає температуру всіх поверхонь тіла постійною і незмінною за весь цикл розповсюдження теплоти в тілі.

Комбінована умова − дозволяє теплообмін на поверхнях тіла, але вважає тепловий потік через поверхні тіла відомим і пропорційним різниці температур між поверхнею і оточуючим середовищем (підкоряється правилу Ньютона).

Останнє потребує додаткових пояснень: наприклад, нехай деякий відомий тепловий потік ( qS ) проходить через деяку поверхню тіла ( S ), при-

чому він підкоряється правилу Ньютона: qS = α(TS −T0 )

де: α − коефіцієнт повної поверхневої тепловіддачі;

184

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

TS – температура поверхні;

T0 – температура оточуючого середовища.

У той же час, якщо всередині тіла існує деякий тепловий потік в сторону поверхні S , тоді з глибини тіла до цієї поверхні підходить тепловий потік, відповідно до закону теплопровідності пропорційний градієнту тем-

( λ − коефіцієнт теплопровідності)

Порівнюючи дві останні залежності, неважко бачити, що перші дві граничні умови є частковими випадками третьої, більш загальної:

−у випадку, якщо αλ → 0 − виконується адіабатична умова;

−у випадку, якщо αλ → ∞ − виконується ізотермічна умова.

Таким чином, співвідношення тепловіддачі з поверхні тіла і теплопровідності його матеріалу визначає вибір тієї чи іншої крайової умови. Найчастіше в розрахунках температур при зварюванні застосовують адіабатичну крайову умову, оскільки зварювати доводиться здебільшого метали, які мають високу теплопровідність, а граничні поверхні контактують з повітрям, яке має невисоку теплопровідність. Правда, у випадку коли форма, або розміри деталі сприяють конвекції, охолодження в повітрі може грати істотну роль і ним, буває, неможливо знехтувати.

Після зварювання тіла майже завжди охолоджуються в повітрі. При цьому багато з них мають такі розміри і форму, які приводять до досить інтенсивного охолодження. Це, перш за все, пластини, особливо невеликої товщини, і стержні. Процес охолодження в повітрі доводиться враховувати при обчисленні температурних полів у таких тілах.

185

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Вільне охолодження

Процес вільного охолодження в подальшому викладі розглядається тільки для випадку охолодження тіл в спокійному повітрі при нормальному зовнішньому тиску.

Вільне охолодження пластини

Встановимо такі передумови:

а) пластина прямокутна (паралелепіпед, див. рис.); б) початкова температура всіх точок пластини в початковий момент

часу відома, причому вона однакова по всьому об’єму пластини: в момент часу t =0 , T =Tпоч ;

в) температура середовища (повітря) відома, позначимо її TC ;

г) тепловіддачею з торців пластини нехтуємо; д) теплофізичні властивості матеріалу пластини ( λ, cρ, a ) відомі, причому, вони при-

ймаються незалежними від температури ( λ, cρ, a = const ).

Розглянемо процес охолодження докладніше:

Температура пластини зменшується, отже, вона віддає тепло. Втрата теплоти Q може бути обчислена за стандартною методикою:

Q = −cρV T

де: cρ − об’ємна теплоємність; V − об’єм пластини;

T − різниця температур (на скільки зменшилась температура пластини).

Рівняння, справедливе для кінцевих різниць ( ), справедливе і для нескінченно малих приростів, тоді аналогічно до наведеного запишемо те саме в диференційній формі: dQ = −cρV dT

Об’єм пластини знайдемо як об’єм паралелепіпеда відомих розмірів:

186

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

V = F s

де: F − площа поверхні пластини (основа паралелепіпеда); s − товщина пластини (висота паралелепіпеда).

Тоді в диференційній формі рівняння втрати теплоти пластиною, при зменшенні її температури на деяку нескінченно малу величину dT , буде:

векцією, але розподіл теплових потоків між цими напрямками невідомий, до того ж сам цей розподіл сильно залежить від температури, через це весь тепловий потік тепловіддачі представимо однотипно, за правилом Ньюто-

на: q = α(T −TC )

де: q − густина теплового потоку;

T − поточна температура пластини;

TC − температура оточуючого середовища;

α − коефіцієнт повної поверхневої тепловіддачі.

Раніше показувалося, що якщо відомий тепловий потік (густиною q ),

то загальна кількість теплоти, яка перетікає з ним, визначається як добуток густини потоку, площі, через яку перетікає тепло і часу, на протязі якого відбувається цей процес. У випадку пластини теплота покидає її через дві бічні поверхні ( 2F , тепловіддачею з торцевих поверхонь нехтуємо). Тоді кількість теплоти, яка покинула пластину за час dt через дві бічні поверхні можна визначити так: dQ = α(T −TC )2F dt (П2)

Складемо рівняння теплового балансу, виходячи з того факту, що теплота, втрачена тілом пластини, це є теплота, віддана поверхнями пластини в оточуюче середовище: ліві частини рівнянь (П1) і (П2) рівні, отже, рівні й праві їх частини: cρs F dT = α(T −TC )2F dt

187

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Звідси, після скорочень і перетворень, виведемо диференційне рів-

(позначається літерою b ), яку називають:

коефіцієнт температуровіддачі поверхні пластини b = 2α cr ×s

Тоді диференційне рівняння охолодження пластини в повітрі буде:

1dT = -b dt

Т- ТС

яке описує процес вільного охолодження прямокутної пластини в повітрі:

Т −ТС =( Тпоч −ТС )е−bt

Нагадаємо, що тут:

T- температура пластини в будь-який момент часу t після початку охолодження;

Tпоч - початкова температура пластини (в момент часу t =0 );

188

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

TC − температура оточуючого середовища;

b − коефіцієнт температуровіддачі поверхні пластини [с − 1], обчислю-

ється із залежності: b = 2αсρs ,

де: α − коефіцієнт повної поверхневої тепловіддачі; cρ − об’ємна теплоємність матеріалу пластини; s − товщина пластини.

Вільне охолодження стержня

Початкові умови подібні до попереднього випадку:

а) стержень має строго циліндричну форму, причому його довжина набагато більша за діаметр: L >> D (див. рис. нижче);

б) початкова температура всіх точок стержня в початковий момент часу відома, причому вона однакова по всьому об’єму стержня, тобто: в момент часу t =0 , T =Tпоч ;

в) температура середовища відома, позначимо її TC ;

г) тепловіддачею з торцевих (кругових) граней стержня нехтуємо;

д) теплофізичні властивості ( λ, cρ, a ) матеріалу стержня відомі, при-

чому вони приймаються незалежними від температури

( λ, cρ, a = const ).

Обчислення теплових потоків проводиться аналогічно до попереднього. Втрата теплоти тілом стержня (в нескінченно малих приростах):

dQ = −cρV d T

де: cρ − об’ємна теплоємність матеріалу стержня;

V – об’єм стержня.

189

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Тепловіддача з поверхні стержня в навколишнє середовище обчислюється за правилом Ньютона (теж в нескінченно малих приростах):

dQ = α (T −TC )F dt

де: T − поточна температура стержня;

TC − температура оточуючого середовища;

α − коефіцієнт повної поверхневої тепловіддачі;

F − площа бічної поверхні стержня.

Складемо рівняння теплового балансу, виходячи знову з тієї незаперечної умови, що все тепло, яке покидає тіло стержня надходить у навколишнє середовище тепловіддачею з його поверхні (неважливо, чи радіаційною тепловіддачею (випромінюванням), чи конвекційною):

− cρV d T = α (T − TC )F d t

Об’єм стержня визначимо, як об’єм циліндра (добуток площі основи

πD2 4 (площа круга торця) на висоту (це довжина стержня L )):

V = πD2 L

4

Площу бокової поверхні стержня F , яка віддає тепло, визначимо як площу циліндра (добуток довжини кола основи (торця) πD на довжину стержня L (площею самих торців стержня, як було домовлено вище, нехтуємо)): F = πD L

Після підстановки цих виразів отримаємо рівняння теплового балансу:

−сρ πD2 L d T = α( T −TC )πDL d t

4

З останнього виразу, після скорочень і перетворень, отримаємо диференційне рівняння вільного охолодження стержня в повітрі:

190