Джерела нагрівання та

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Миттєве плоске джерело тепла в необмеженому тілі

Нехай в необмеженому тілі вздовж деякої площини S (див. рис.) миттєво виділяється деяка кількість теплоти. Площина ця нескінчена, як і тіло, і кількість теплоти, яка виділяється виходить теж нескінченно велика, але про неї відомо, що на кожній одиниці площі цієї площини виділяється деяка кінцева (і відома) теплота.

Назвемо цю величину інтенсивність тепловиділення і позначимо Q2 [Дж/м2]. Відповідно, для умов

щині S ;

S − площа плоского джерела тепла.

Необхідно знайти приріст температури, який викличе ця виділена теплота в деякій точці A (див. рис.) з відомою відносно джерела тепла координатою ( x ) через деякий час t після того, як виділилось тепло на площині S .

Для простоти розташуємо координатні осі таким чином, щоб координатна площина YOZ співпадала з площиною виділення тепла S , а точка A , для якої знаходиться температура розташовувалась на осі OX .

При такому розташуванні системи координат температури всіх точок, розташованих в одній площині з точкою A будуть мати однакові температури. Це дасть змогу використати частинний випадок диференційного рівняння теплопровідності, а саме – лінійне температурне поле, при якому:

201

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

В цьому випадку диференційне рівняння теплопровідності має досить

всі складові цього рівняння були докладно описані вище. Приймемо також наступні передумови:

-джерело тепла (плоске) нерухоме, час його дії нескінченно малий;

-тіло нескінченне і анізотропне (всі властивості в усі сторони однакові);

-теплообміну на границях тіла немає, тобто він не впливає на теплопередачу в тілі;

-початкова температура всіх точок тіла однакова і відома T0 ;

-теплофізичні коефіцієнти ( λ, c, ρ) не залежать від температури.

Вирішити диференційне рівняння це означає знайти таку функцію (для даного випадку – залежність температури від змінних параметрів

T= f (x, y, z, t )), частинна похідна якої другого порядку по осі координат x

іпершого порядку по часу t після підстановки у диференційне рівняння забезпечать рівність його лівої і правої частин.

При виконанні всіх наведених вище передумов і при умові розташування системи координат так, як це було описано вище, рішенням диференційного рівняння теплопровідності буде залежність:

a − температуропровідність: a = λ(cρ);

λ − теплопровідність;

202

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

t − час, який обчислюється з моменту виділення тепла;

R − радіус-вектор точки, для якої знаходиться температура, відно-

сно площини виділення тепла: R2 = x2 .

Доводиться справедливість залежності (М3) для описаного випадку методом від противного: береться похідна другого порядку по осі координат x і похідна першого порядку по часу t , після чого отримані залежності підставляються в диференційне рівняння теплопровідності для лінійного температурного поля і виявляється, що його ліва частина не суперечить правій − вони рівні. Для даного випадку це нескладна процедура і всякий, хто її виконає, може пересвідчитись в правильності.

Таким чином, залежність (М3) описує температурне поле в необмеженому тілі при дії в ньому миттєвого плоского джерела тепла. Дослідимо її:

Права частина рівняння є добуток двох співмножників:

перший співмножник характеризує температуру в площині внесення те-

− R 2

другий співмножник e 4at (показова функція) характеризує в більшій мірі залежність температури від відстані до площини, вздовж якої вно-

ситься тепло (показник відстані в квадраті ( R2 )).

Ізотерми такого температурного поля являють собою плоскі поверхні, паралельні площині внесення тепла S .

Ізохрони T = f (x) при t = const являють собою експоненціальні (зату-

хаючі) криві (наведені на рисунку нижче (а)). Вздовж осей OY і OZ ізохрони являють собою прямі лінії, паралельні відповідним осям.

Термічні цикли T = f (t ) при x = const наведені на рисунку нижче (б).

203

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Максимальну температуру термічного циклу та час її настання знаходять аналогічно до попереднього з умови екстремуму:

Саме таке значення часу настання максимальної температури отримаємо, виконавши з рівнянням (М3) дії, аналогічні попереднім двом випадкам.

Підставляючи знайдене значення tm в рівняння (М3) отримаємо мак-

симальний приріст температури в заданій точці A(x):

Слід особливо відзначити, що розглянуті вище рішення являються частинними рішеннями диференційного рівняння теплопровідності для обмежених, перелічених в кожному випадку умов. Для точок, досить віддалених від місця внесення тепла, джерелом тепла є весь уже нагрітий об’єм тіла, який не може бути зведений до якоїсь точки, лінії, або площини. Крім того, реальні джерела зварювального нагрівання діють досить тривалий час і не можуть бути оголошені миттєвими. Це вимагає розглянути деякі додаткові положення, які давали б змогу застосовувати наведені вище обмежені частинні рішення до більш складних випадків, які більше відповідають реальним умовам розповсюдження тепла при зварюванні.

ПРИНЦИП НАКЛАДЕННЯ (СУПЕРПОЗИЦІЇ) В ТЕПЛОВИХ

РОЗРАХУНКАХ

Для того щоб можна було використовувати часткові рішення дифере-

204

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

нційного рівняння теплопровідності в умовах тривалої дії джерела тепла, або у випадках, коли джерело тепла не може бути представлено точковою, лінійною чи плоскою схемою, застосовують принцип суперпозиції, або його ще називають інакше: принцип накладення елементарних рішень.

Суть принципу накладення полягає в наступному:

температура точок тіла при спільній дії в ньому кількох джерел тепла приймається рівною простій арифметичній сумі температур від дії кожного окремого джерела тепла.

Застосування цього принципу засноване на такому уявленні про температурне поле, що воно являє собою скалярне поле і, отже, підпадає під дію закону адитивності. Значенню температури не притаманна властивість напрямку. Таким чином, приріст температури будь-якої точки тіла, яка піддається спільній дії кількох джерел тепла може бути представлений, як проста сума приростів температур від кожного окремого джерела тепла.

Наприклад, для схеми, наведеної нижче на рисунку, на точку A спільно діють три джерела тепла (Дж.1, Дж.2, Дж.3). Кожне з них розташоване на деякій відстані від цієї точки, яка характеризується, відповідно, сво-

їм радіусом-вектором. Кожне з цих джерел тепла створює в точці A деякий приріст температури, який може бути обчислений (кожен окремо) відповідно до диференційного рівняння теплопровідності, або до будьякого з його часткових випадків.

Отже, відповідно до принципу накладення, загальний приріст температури у вибраній точці A буде: ТА = Т Дж.1 + Т Дж.2 + Т Дж.3

Користуючись принципом накладення можна замінювати реальне об’ємне, як завгодно розташоване у просторі, джерело тепла на сукупність

205

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

елементарних джерел (точкового, лінійного, плоского); або можна джерело тепла, діюче як завгодно довгий час, замінювати на сукупність миттєвих джерел. Сумуючи у вибраній точці значення температур (рішення диференційних рівнянь) для кожного елементарного джерела тепла, можна знайти рішення при дії на цю точку джерела тепла будь-якої форми, діючого як завгодно тривалий час.

Для спрощення математичних викладок у цьому, як і в усіх попередніх випадках, теплофізичні властивості тіл, які нагріваються, приймаються постійними і незалежними від температури.

РОЗПОВСЮДЖЕННЯ ТЕПЛА В ОБМЕЖЕНИХ ТІЛАХ

Напівобмежене тіло з адіабатичною граничною поверхнею

Обмежимо абстрактне нескінченне тіло однією площиною ( S ). Присвоїмо їй властивість адіабатичності (вона не пропускає тепло). Нехай у цьому тілі недалеко від обмежуючої площини (точка P ) подіяло миттєве точкове джерело тепла, яке виділило теплоту Q . Необхідно знайти приріст температури в деякій точці ( A ), розташованій між джерелом тепла та граничною поверхнею, враховуючи, звичайно, вплив адіабатичної поверхні ( S ) на розподіл температур в тілі (див. рис. нижче).

При цьому користуємось принципом накладення і вважаємо початкову температуру всіх точок тіла відомою (T0 ).

Адіабатична границя означає, що через деяку поверхню ( S ) теплопередача відсутня: qs = 0 .

Для того, щоб скористатись уже відомими рішеннями диференційного рівняння теплопровідності (в даному випадку це миттєве точкове джерело тепла в необмеженому тілі) і щоб витримати умову адіабатичності поверхні виконаємо такі дії:

206

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

а) за межами тіла умовно добудовуємо його до нескінченного (позначено пунктиром);

б) в добудованому об’ємі розміщуємо фіктивне джерело тепла такої ж величини, як і реальне, симетрично до реального відносно поверхні S , яке створювало б умовний тепловий потік протилежного напрямку.

Схема дії миттєвого точкового джерела тепла в напівобмеженому тілі з адіабатичною границею:

а) схема добудови тіла і розташування джерел тепла: S − обмежуюча поверхня, A − точка, для якої необхідно знайти температуру, P − джерело тепла, P′ − фіктивне джерело тепла;

б) епюра температур (вісь OT належить обмежуючій поверхні).

За таких умов два однакові за величиною теплові потоки, реальний і фіктивний, складаються на поверхні S в протилежних напрямках, отже, через цю поверхню теплота не перетікає ( qS = 0 ) і умова адіабатичності витримана. Розглянемо ці припущення докладніше.

Нехай YOX це адіабатична площина (позначена S ); джерело тепла розташоване на осі OZ .

В точці P подіяло миттєве джерело тепла силою Q . Умовно добуду-

ємо тіло до необмеженого і обчислимо розподіл температур від миттєвого джерела Q в необмеженому тілі вздовж осі Z (див. рис. (б)). Позначимо

Tz температуру, яку дає джерело тепла P в площині S . Тоді, для того,

щоб тепловий потік через граничну поверхню був відсутній ( qs = 0 ), по-

207

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

трібно помістити в добудоване тіло таке джерело тепла, яке створювало б на площині S таку ж саму температуру Tz .

Очевидно, що це джерело тепла повинно бути такої ж величини Q і

повинно бути розташоване на такій самій відстані від площини S в добудованому тілі, як і джерело P в реальному тілі, тобто на відстані Z p .

Розподіл температур від фіктивного джерела тепла P′, обчислений за

тією ж розрахунковою формулою, дає на площині S таку ж температуру Tz , як і від реального джерела тепла P . Таким чином, на граничній повер-

хні S вздовж осі OZ градієнт температур відсутній і тепловий потік неможливий ( qS = 0 ).

Отже, умовно добудоване тіло і фіктивне джерело тепла P′ забезпе-

чили умову адіабатичності граничної поверхні S .

Тепер, ґрунтуючись на принципі накладення, температура будь-якої точки тіла визначиться як сума температур від двох джерел тепла: реального P і фіктивного P′. Наприклад, для точки A це буде: DT = TP + TP′

Тепер, вважаючи обмежене тіло з умовно добудованою частиною необмеженим, використаємо для визначення кожного доданка правої частини відповідну залежність приросту температури, як при дії миттєвого точкового джерела тепла в необмеженому тілі:

де: R − радіус-вектор точки A відносно реального джерела тепла P ;

R′ − радіус-вектор точки A відносно фіктивного джерела тепла P′. Всі інші складові цього рівняння були докладно описані раніше. Фізично процес взаємодії теплового потоку в тілі з адіабатичною по-

верхнею можна вважати таким: тепловий потік, доходячи до адіабатичної

208

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

поверхні, відбивається від неї і рухається в протилежному напрямку, підлягаючи тому ж закону, за яким він би рухався далі, якби тіло було необмежене і адіабатичної границі не було. Температура точок поблизу границі дорівнює сумі температур, які виникають у цих точках в результаті дії основного і відбитого теплових потоків. Виконуючи практичні розрахунки, за цією методикою, потрібно особливо ретельно визначати радіусивектори досліджуваних точок відносно реального і фіктивного джерел тепла в залежності від обраної системи координат.

Якщо реальне джерело тепла P буде розташовуватися в тілі все ближче й ближче до обмежуючої поверхні S (вздовж осі OZ ), тоді й фіктивне джерело P′ в уявно добудованому тілі буде наближатися до тієї ж поверхні (вони завжди повинні зберігати симетрію відносно поверхні S , бо інакше порушиться задана умова відсутності теплового потоку через поверхню S ). Очевидно, що в граничному наближенні, коли реальне джерело тепла рухається по самій обмежуючій поверхні S , вони зіллються разом на цій поверхні.

Таким чином, коли реальне джерело тепла розташовується на самій обмежуючій поверхні S , яка адіабатична (не передає тепло), на вибрану точку A будуть діяти два джерела тепла: реальне і фіктивне, які розташовані в одній точці і, значить, мають однаковий радіус-вектор до точки A . Доданки правої частини виведеного вище рівняння виявляються в цьому

Звідси важливий висновок: у випадку дії джерела нагрівання з адіа-

батичної поверхні, температури всіх точок тіла подвоюються.

209

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Напівобмежене тіло з ізотермічною граничною поверхнею

Обмежимо абстрактне нескінченне тіло, як і в попередньому випадку, однією площиною S (див. рис. вище). Але тепер присвоїмо цій обмежуючій поверхні властивість ізотермічності (вона завжди має однакову температуру). Нехай у цьому тілі, недалеко від обмежуючої площини (точка P ), подіяло миттєве точкове джерело тепла, яке виділило теплоту Q . Необхід-

но знайти приріст температури в деякій точці A , розташованій між джерелом тепла та граничною поверхнею, враховуючи, звичайно, вплив ізотермічної поверхні S на розподіл температур в тілі.

Ізотермічна границя означає, що обмежуюча поверхня S завжди має постійну температуру: TS = const .

Для того, щоб скористатись уже відомими рішеннями диференційного рівняння теплопровідності (в даному випадку це миттєве точкове джерело тепла в необмеженому тілі) і щоб витримати умову ізотермічності поверхні чинимо подібно до попереднього випадку. Добудуємо тіло до необмеженого і в умовно добудованому об’ємі введемо таке фіктивне джерело тепла, яке створить температури на граничній поверхні добудованого тіла рівні тим, які могли б бути там же від реального джерела тепла, але з оберненим (зворотним) знаком. Тоді ці температури віднімались би одна від одної і на граничній поверхні температура не змінювалась би. Для цього доведеться присвоїти фіктивному джерелу тепла знак “ −”, тобто оголосити його нега-

тивним − воно не виділяє, а поглинає теплоту. Таке джерело тепла, яке дає фіктивні негативні (від’ємні) температури, називається в теплових розрахунках «стоком» тепла.

Тоді, користуючись принципом накладення, температуру будь-якої точки тіла визначимо як суму температур двох джерел тепла: реального P

210