Джерела нагрівання та

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Квазістаціонарне температурне поле (іноді використовується для характеристики температурних полів рухомих джерел тепла у випадку теп-

лової рівноваги тіла і джерела тепла) − це рухоме температурне поле. Температура кожної точки такого поля змінюється з часом, але форма ізотерм такого поля залишається незмінною (ізотерми рухаються в тілі синхронно з джерелом тепла зберігаючи постійні розміри і форму − скільки теплоти від джерела тепла надходить в тіло, стільки її й поглинається тілом − існує стан теплової рівноваги).

ДИФЕРЕНЦІЙНЕ РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

Вивід диференційного рівняння теплопровідності

Всякий рух будь-чого може бути розкладений на три складові вздовж взаємно-перпендикулярних осей координат (по Декарту). Це твердження справедливе і для передачі теплоти. Довільний тепловий потік в твердому тілі може бути розкладений на три складові потоки − кожен вздовж однієї з осей координат Ox , Oy , Oz : qx , q y , qz . В кожному напрямку перетікає,

відповідно, складова кількість тепла Qx , Qy , Qz . (На рисунку для прикла-

ду показано рух теплоти тільки вздовж осі x ).

Виділимо в тілі деякий нескінченно малий елемент об’єму dxdydz .

Якщо температура цієї виділеної (елементарної − нескінченно малої) час-

тини тіла змінюється в часі T = f (t ), то очевидно, що теплові потоки на вході у виділений елемент ( qx , q y , qz ) і на виході з нього ( qx+dx , qy +dy , qz +dz ), будуть різними − частина теплоти буде витрачатись на зміну тем-

ператури виділеного елемента.

Очевидно, що якщо розглядати зміну температури виділеного елемента за деякий нескінченно малий час ( dt ), то і зміна температури цього елемента буде деякою нескінченно малою величиною ( dT ), і зміни в теплових

171

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

потоках, розкладених по осям координат, теж будуть нескінченно малими величинами:

qx+dx = qx + dqx ; q y +dy = q y + dq y ; qz +dz = qz + dqz (1)

Якщо відома густина теплових потоків, можуть бути знайдені й кількості тепла, які перетікають через грані виділеного елементу.

Розглянемо для прикладу рух тепла в напрямку осі OX .

Через ліву грань у елементарний об’єм поступає за елементарний час

( qx ) на площу грані ( dy dz ) і на час ( dt )).

Подібно до цього, через праву грань за цей же елементарний час dt витікає теплота Qx+dx , кількість якої визначається аналогічним чином: Qx+dx = qx+dx (dy dz)dt

Відповідно, всередині елементарного об’єму накопичується кількість теплоти, яка визначиться різницею цих теплових потоків: dQx = Qx −Qx+dx , або інакше, підставляючи відповідні залежності, буде:

dQx = qx (dy dz)dt − qx+dx (dy dz)dt

Виконавши в останній залежності деякі перестановки, отримаємо:

dQx = (qx − qx +dx )(dy dz )dt

З наведених вище залежностей (1) витікає, що: qx − qx+dx = −dqx

Це дає змогу дещо спростити вираз для накопиченої елементарним об’ємом теплоти dQx : dQx = −dqx (dy dz)dt

Для того, щоб вираз був математично бездоганним, нагадаємо, що приріст густини теплового потоку dqx є повним диференціалом функції

172

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

зміни теплового потоку, тоді, відповідно до визначення повного диферен-

ціалу, отримаємо: dqx = ∂qx dx

∂ x

Отже, накопичення теплоти у виділеному елементарному об’ємі в результаті теплового потоку вздовж осі OX матиме вигляд:

d Qx = − ∂∂qx d x (dy dz)dt x

Подібні викладки можуть бути проведені і для складових теплового потоку вздовж інших осей координат:

вздовж осі OY : dQy = − ∂q y dy (dx dz)dt

∂y

вздовж осі OZ : dQz = − ∂qz dz (dx dy)dt

∂z

Температурне поле − це скалярне поле, відповідно і кількість теплоти, накопичена в будь-якому місці тіла, є величина скалярна, а, отже, підлягає закону адитивності, тобто являється простою сумою складових частин

(проста фізична аналогія в цьому випадку − потік рідини в басейн через три крани). Тоді загальну кількість тепла, накопичену в елементарному об’ємі за час dt , можна знайти як просту суму складових теплового потоку вздовж координатних осей: dQ = dQx + dQy + dQz

В останнє рівняння підставимо відповідні значення, отримані вище,

Після виконання необхідних алгебраїчних перетворень отримаємо:

173

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Тут потрібно нагадати закон Фур’є, відповідно до якого густина теплового потоку в деякому напрямку пропорційна градієнту температур в цьому напрямку і деякому коефіцієнту, який називається коефіцієнтом теплопровідності ( λ).

В даному випадку розглядаємо теплові потоки вздовж осей координат ( Ox, Oy, Oz ), відповідно, використовуємо й градієнти температур у цих же

Тепер підставимо ці залежності у вираз для кількості теплоти, накопиченої в елементарному об’ємі dQ , отримаємо:

З іншого боку, накопичення теплоти dQ в елементарному об’ємі dx dy dz за час dt приведе до зміни температури цього об’єму на деяку ве-

личину (відповідно до попередніх суджень − нескінченно малу). Позначимо її dT .

Зміна (приріст) кількості теплоти ( Q) в деякому об’ємі (V ) пов’язана

зі зміною температури в ньому ( T ) простим співвідношенням:

Q =V cρ T , або в нескінченно малих приростах буде: dQ =V cρdT

де: cρ − об’ємна теплоємність.

В нашому випадку об’єм виділеного елемента визначається добутком його елементарних розмірів (див. рис.): V = dx dy dz

174

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Тоді, елементарне накопичення теплоти у виділеному об’ємі dQ при

зміні його температури на dT буде: dQ = dx dy dz cρdT

При цьому зміна температури dT є приріст неперервної функції температури в часі і являє собою повний диференціал.

З визначення повного диференціалу: dT = ∂T dt , тоді накопичення

∂ t

теплоти у виділеному елементарному об’ємі dx dy dz буде визначати зале-

Очевидно, що dx, dy,dz ¹ 0 , отже, їх можна скоротити у лівій і правій частині останнього виразу. Після скорочення отримаємо

Диференційне рівняння теплопровідності:

Відношення теплофізичних властивостей матеріалу тіла, а саме теплопровідності (λ) і об’ємної теплоємності (cρ) виділяють в особливий па-

Коефіцієнт температуропровідності характеризує швидкість вирівню-

вання температур в тілі, вимірюється в [м2/с].

Після підстановки цього співвідношення диференційне рівняння теплопровідності може бути записане у його класичному загальноприйнятому вигляді:

175

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Згідно існуючих в математиці норм і правил вираз диференційного рівняння теплопровідності може бути дещо видозмінений. Наприклад, сума частинних похідних по осях координат називається в математиці оператор Лапласа (позначається літерою Ñ «набла», використовується для скорочення записів загальновідомих елементів). Виконаємо цю процедуру для

І тоді диференційне рівняння теплопровідності приймає свій класич-

λ - коефіцієнт теплопровідності, [Дж/(c×м×К)]; cρ - об’ємна теплоємність, [Дж/(м3×К)];

c - питома теплоємність, [Дж/(кг×К)]; ρ - густина, [кг/м3].

Диференційне рівняння теплопровідності являє собою чотиримір-

не нелінійне нестаціонарне диференційне рівняння другого порядку в

частинних похідних.

Теоретично воно описує хід зміни температури в будь-якій точці тіла при наявності в тілі різниці температур, яка викликає в цьому тілі переміщення теплоти (теплові потоки).

Диференційне рівняння теплопровідності не має аналітичних рішень (в усякому разі жодне аналітичне рішення й досі ще не знайдене). Під ана-

літичним рішенням розуміють знаходження такої аналітичної функції - за-

лежності T = f (x, y,z, t ) − яка після диференціювання по часу t і подвійно-

176

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

го диференціювання по x , y і z , і після підстановки отриманих диферен-

ціалів у рівняння теплопровідності дала б рівність правої та лівої його час-

тин. Так от − таку функцію в загальному вигляді й досі ще не винайшли. В інженерних розрахунках приймають іноді теплофізичні властивості

матеріалу тіл не залежними від температури (тоді диференційне рівняння стає лінійним), але і в цьому випадку вирішення його досить ускладнене.

Спрощення рішення диференційного рівняння теплопровідності можливе шляхом використання часткових рішень.

Часткові випадки диференційного рівняння теплопровідності

Нестаціонарні часткові випадки

Плоске температурне поле – застосовується у випадку, коли зміною температури вздовж однієї з координатних осей можна знехтувати. Температура вздовж цієї осі оголошується постійною (градієнт температур рівний нулю), наприклад: grad TOZ = 0 .

Якщо вздовж однієї з осей температура залишається постійною і незмінною, тоді і перша, і друга частинні похідні температури по цьому на-

Але і в такому, дещо спрощеному вигляді, диференційне рівняння теплопровідності все одно аналітичного вирішення не має.

Лінійне температурне поле − в цьому випадку температурне поле по двом осям приймається незмінним: grad TOZ = 0 ; grad TOY = 0 , тоді перші

177

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

і другі частинні похідні температури по цим напрямкам (OZ і OY ) рівні

В цьому випадку диференційне рівняння теплопровідності матиме ви-

Якщо прийняти теплофізичні властивості тіла (теплоємкість, теплопровідність, густину, ін.) постійними, не залежними від температури, то останнє рівняння в деяких випадках досить інерційних усталених теплових процесів може мати аналітичні рішення.

Стаціонарні часткові випадки

В умовах теплової рівноваги тіла і джерела тепла при тривалому усталеному процесі може наступити такий стан, коли кожний об’єм тіла віддає стільки ж теплоти, скільки й отримує. Тоді виявиться, що температури точок тіла мають різні значення, градієнти температур існують, теплота передається від одного об’єму тіла до іншого, але температурне поле стає незмінним в часі: температури точок тіла зберігаються постійними.

Стан температурного поля, при якому температури точок тіла

зберігають постійну температуру називається стаціонарним (неза-

лежним від часу)

В цьому випадку для кожної точки тіла справедливо: T = const , але

Це дає змогу ще дещо спростити рівняння теплопровідності − його ліва частина виявляється рівною нулю.

Такий специфічний рівноважний стан тіла описує спеціальний частковий випадок диференційного рівняння теплопровідності:

178

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Так само, як і нестаціонарне рівняння, воно може бути спрощене застосуванням просторових узагальнень:

Плоске стаціонарне температурне поле:

Використовується та ж передумова постійності температури вздовж

Але до неї додається ще й умова стаціонарності (тобто, температурне

В цьому випадку диференційне рівняння теплопровідності приймає

Лінійне стаціонарне температурне поле:

В цьому випадку, теж подібно до попереднього, до умов постійності температури вздовж двох осей:

додається ще й умова стаціонарності температурного поля: ∂T = 0

∂t

Диференційне рівняння теплопровідності в цьому випадку значно

спрощується і буде мати вигляд: ¶2Т = 0 , або з врахуванням того, що ча-

¶х2

2

стинна похідна у цьому випадку дорівнює повній похідній, буде: d T = 0 d x2

179

В.М. Коперсак Теорія процесів зварювання-1. Джерела зварювального нагрівання та теплові процеси при зварюванні

Слід зауважити, що для стаціонарних теплових процесів, особливо за умови лінеаризації (коефіцієнти теплофізичних властивостей приймаються незалежними від температури), можливі раціональні аналітичні рішення диференційних рівнянь теплопровідності і в подальшому викладі деякі з них будуть наведені.

Методи вирішення диференційного рівняння тепло-

провідності

Чисельний метод – передбачає застосування чисельних величин. При цьому диференціали в рівнянні замінюються кінцевими різницями ( T , t , x, y, z), які або задаються з якихось емпіричних міркувань, або безпосередньо вимірюються на натурному зразку в деякі моменти часу. Записане в кінцевих різницях рівняння приймає вигляд:

Теплофізичні властивості тіла (коефіцієнти λ, cρ, a ), як правило,

приймаються постійними, незалежними від температури. Рівняння вирішується методом послідовних наближень крок за кроком. Масиви чисел, якими доводиться при цьому оперувати досить великі, що вимагає застосування потужної обчислювальної техніки. Отримане рішення справедливе тільки для даного конкретного випадку і майже ніколи не може бути перенесене на інші, навіть подібні випадки. Через це даний метод застосовується рідко.

Аналітичний метод – виходить з необхідності знаходження аналітичного рішення. Тобто намагається підібрати таке рівняння температурного поля (T = f (x, y, z, t )), яке після диференціювання по часу ( t ), подвійного диференціювання по координатним осям ( x, y, z ), і підстановки отриманих виразів у диференційне рівняння теплопровідності, задовольнило б його, а

180