Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Vyscha_matematyka_v_prykladakh_i_zadachakh.pdf
Скачиваний:
57
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
3.55 Mб
Скачать

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Розділ І. Лінійна та векторна алгебра

§1.1. Матриці, дії над матрицями

1.1.1. Теоретичні відомості

Матрицею A (aij )m n розміру m n називається таблиця, що складається з m рядків та n стовпчиків.

a11

a12

...

a1n

a

a

...

a

 

A 21

22

...

2n .

...

...

...

 

 

am2

...

 

 

am1

amn

Іноді матриця А позначається не круглими дужками, а подвійни+ ми вертикальними відрізками: A aij m n , або квадратними дужка+

ми: A [aij ]m n .

Матриця розмірності n n називається квадратною матрицею n го порядку. Елементи а11, а22, ... , аnn в цьому випадку утворюють головну діагональ матриці.

Визначник, який складений з елементів квадратної матриці, нази+ вається визначником (детермінантом) матриці і позначається так:

det A, dA, A , A .

Квадратна матриця, в якій на головній діагоналі стоять одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю, називається одиничною і позна+ чається Е:

1

0

0

...

0

 

 

0

1

0

...

0

 

 

 

E

0

0

1

...

0

.

 

 

...

...

...

 

 

...

...

 

0

0

0

...

1

 

 

 

5

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то таку матрицю називають нульовою і позначають О.

Дві матриці A (aij )m n і B (bij )m n називаються рівними, якщо вони однакового розміру та рівні їх елементи, що стоять на однакових місцях.

Добутком числа на матрицю А за означенням є матриця

a11

a12

...

a1n

 

a

a

...

a

 

A

21

22

...

2n .

...

...

...

 

 

am1

am2

...

 

 

 

amn

Таким чином, щоб помножити матрицю А на число , потрібно кожний елемент матриці помножити на це число.

Сумою матриць А та В однакового розміру m n називається матриця С розміру m n , елементи якої знаходяться так:

сij = аij + bij для всіх i та j.

Отже, додавання матриць зводиться до додавання відповідних елементів цих матриць.

Віднімання матриць визначається через дії, які вже розглядалися:

А – В = А + (–1)В,

тобто віднімання двох матриць зводиться до віднімання їх відповід+ них елементів. Очевидно, що віднімати можна лише матриці однако+ вого розміру.

Добутком матриці A (aij )m n та B (bij )n k називається матриця C (cij )m k , елемент сij якої дорівнює сумі добутків і+го рядка матриці А на відповідні елементи j+го стовпчика матриці В, тобто

n

cij aip bpj ( i 1, m ; j 1, k ). p 1

Для добутку матриць в загальному випадку справедливе співвід+ ношення:

AB BA . (якщо ж, звичайно, існує кожен із добутків).

6

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Операції додавання матриць мають властивості:

1.А + В = В + А;

2.(А + В) + С = А + (В + С);

3.А + О = О + А = А;

4.Якщо А + В = О, тоді В – протилежна до А матриця. Операції множення матриць мають такі властивості:

1.AB BA ;

2.(АВ)С = А(ВС);

3.АЕ = ЕА = А;

4.(А + В)С = АС + ВС; С(А + В) = СА + СВ.

Квадратна матриця А2 це результат множення цієї матриці самої на себе. Аналогічно вводиться поняття n+го степеня матриці А, тобто

An A A ... A . n разів

Якщо в матриці A (aij )m n поміняти місцями рядки і стовпчи+

ки, то дістанемо матрицю AT (aij )n m , яку називають транспоно ваною до матриці А.

1.1.2. Розв’язання прикладів та задач

Приклад 1.1. Для матриць:

 

2

 

2 1

 

 

 

2 1 0

 

 

 

 

 

1

2 1

 

1

 

0 3

 

,

 

 

 

1 1 2

 

,

 

 

 

2

1 0

 

А =

 

 

В =

 

С =

 

 

4

3 2

 

 

 

 

 

3 2 4

 

 

 

 

 

1 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знайти матриці А + В, АТ, С2, АВ, ВА.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

1

 

2

1 0

 

 

4 3 1

 

 

 

 

1

0 3

 

 

 

1

1 2

 

 

 

2

1

5

 

 

А + В =

 

+

 

 

 

=

;

 

 

 

 

4

3 2

 

 

 

3

2 4

 

 

 

7

1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

 

 

2

2

1 T

 

2 1 4

 

 

АТ =

 

1

0

3

 

=

 

2

0

3

 

;

 

 

 

 

 

 

4

3 2

 

 

 

0

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

1

2

1

 

 

2

1

0

 

2

1

0

 

=

С2 = СС =

 

 

 

1 1

3

 

1 1

3

 

 

 

 

 

 

 

1

1 2 2 1( 1) 1 2 2 1 1 1 1( 1) 2 0 1 3

 

 

2 1 1 2 0( 1) 2 2 1 1 0 1 2( 1) 1 0 0 3

 

 

=

 

=

 

1 1 1 2 3( 1) 1 2 1 1 3 1 1( 1) 1 0 3 3

 

 

 

 

 

 

6

3

4

 

 

 

4

5

2

 

 

 

=

;

 

 

 

2

2

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

1

2

1

0

 

АВ =

 

1

0

3

 

1

1 2

 

=

 

 

 

 

 

4

3 2

 

3

2

4

 

 

 

 

 

 

 

4 2 3

2 2 2 0 4 4

3 2 0

 

 

 

2

0 9

1 0

6 0 0 12

 

 

11 7 12

 

;

=

 

=

 

 

8

3 6

4 3

4 0 6 8

 

 

 

11 11 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 0

2

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 2

 

1

0 3

 

=

 

 

 

 

ВА =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2 4

 

4

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

 

4 1 0

4 0 0

2 3 0

5

4 1

 

2 1 8

2 0 6

1 3 4

 

 

9

4

0

 

=

 

=

.

 

8 3 16 6 0 12 3 6 8

 

 

24 6

 

 

 

 

11

Помічаємо, що AB BA .

Матриці дають змогу скорочувати записи та застосовувати одна+ кові міркування для різних об’єктів.

Задача 1.2. Підприємство випускає продукцію двох видів, вико+ ристовуючи при цьому сировину трьох типів. Витрати сировини на

 

5

4

 

 

виробництво продукції задаються матрицею S = (sij) =

 

3

1

 

,

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

де sij — кількість одиниць сировини і+того типу, що використовуєть+ ся на виготовлення одиниці продукції j+того виду. План щоденного випуску продукції передбачає 90 одиниць продукції першого виду і 120 одиниць продукції другого виду. Вартість одиниці кожного типу сировини відповідно дорівнює 8, 5 і 10 гр. од. Визначити загальні витрати сировини V, необхідної для щоденного випуску продукції, а також загальну вартість С цієї сировини.

Розв’язок. Запишемо план випуску продукції у вигляді матриці

90

Р= . Тоді загальні витрати сировини планового випуску про+

120

дукції можна знайти як добуток матриці S і Р, тобто:

5

4

90

 

 

5

90

4 120

 

 

 

930

 

 

3

1

 

=

 

3

90

1 120

 

=

 

390

 

V = SP =

 

 

120

 

 

 

 

.

 

2

3

 

 

 

 

 

2

90

3 120

 

 

 

540

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, для щоденного випуску продукції використовуються 930, 390 і 540 одиниць сировини першого, другого та третього типів відпо+ відно.

9

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Задамо вартість одиниці кожного типу сировини матрицею

Q = 8 5 10 . Тоді загальна вартість сировини:

 

 

 

 

930

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С = QV = 8

5 10

390 = 8 930 5 390

10 540 = (14700).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

540

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зауважимо, що застосування матриць в цій задачі привело до

унаочнення, спрощення і компактності обчислень.

 

 

 

 

 

1.1.3. Завдання для самостійного розв’язку

 

 

 

 

 

Приклад 1.3. Для матриць

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 4

 

 

1

0

1

 

 

 

1 1 6 ,

 

 

8 1

 

 

 

3 1 2

 

 

А =

В =

,

С =

 

 

 

 

2 3

4

 

 

 

3 2

 

 

 

0 2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обчислити 2АТ 3В, АВ+Е, АВ – С.

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 1.4. Для матриць

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

3 2 4

 

 

1 0 1

 

 

А =

 

1 1

,

В =

 

 

,

С =

 

 

7

 

 

 

 

 

 

0 1 8

 

 

2 3

 

 

обчислити 2В – 3С, А(В + С), ВСТ + А2.

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 1.5. Для матриць

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 4 5

2 3 4

 

 

1

1 3

А =

 

1 1 0

 

 

 

 

 

,

 

 

2

4 6

 

 

,

В =

0 1 2

С =

 

 

 

2 1 6

 

 

1 1

 

 

 

 

4 2

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

обчислити 4А – 3В + С, АТ + ВТ, АВ, ВА, ВС + А2.

Приклад 1.6. Обчислити визначник матриці, яка є добутком двох даних матриць:

1 0

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

1 3 2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

а)

 

 

 

;

 

 

 

б) 1 2 3 4

2

 

;

 

 

6 2 3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

2

1

1 1 2

1 0 2

1 3

 

;

г)

 

3

4

 

в)

3 5 4

 

 

 

 

 

0 4

 

3

.

 

 

 

4

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.7. У цеху підприємства випускають продукцію трьох видів, використовуючи при цьому сировину двох типів. Витрати си+ ровини на виробництво продукції задається матрицею

10

12

9

 

S = (sij) =

6

8

4

,

 

 

де sij — кількість одиниць сировини і+того типу, що використовуєть+ ся на виготовлення одиниці продукції j+того виду. План тижневого випуску продукції передбачає 200 одиниць продукції першого виду, 100 одиниць продукції другого виду та 120 одиниць продукції треть+ ого виду. Вартість одиниці кожного типу сировини відповідно дорів+ нює 2 грн та 4 грн. Визначити загальні витрати сировини V, необхідні для тижневого випуску сировини, а також загальну вартість цієї сировини.

Задача 1.8. У меблевому магазині найбільшим попитом корис+ туються дві моделі письмових столів, виготовлених на різних фаб+ риках. На перевезення першої моделі витрачають 10 грн, а другої — 15 грн. При цьому витрати робочого часу на виробництво цих моде+ лей становить відповідно 6 год. і 5 год. Відомо, що на місяць запла+ новано витратити 1200 грн на перевезення цих моделей, а робочий час на їх виробництво обмежений 480 год. Скільки цих моделей магазин повинен замовити на фабриках щомісяця для того, щоб ви+ користати заплановані кошти на перевезення та ресурси робочого часу на їх виготовлення?

1 1

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Задача 1.9. Два залізобетонних заводи випускають вироби M, N, P вищої, першої та другої категорії якості. Кількість випущених кожним заводом виробів за кожною категорією якості задана таб+ лицею:

Категорія

 

 

Готові вироби

 

 

якості

Перший завод

Другий завод

 

M

N

P

M

N

P

Вища

150

240

320

280

300

450

Перша

100

130

175

120

150

170

Друга

25

15

20

30

20

18

Який загальний випуск виробів за означеними категоріями якості?

Задача 1.10. При виготовленні деталей чотирьох видів витрати матеріалів, робочої сили та електроенергії задаються таблицею в умовних одиницях):

Ресурси

Витрати на одну деталь кожного виду

1

2

3

4

 

Матеріали

1

3

0,5

2

Робоча сила

1,5

2

3

1

Електроенергія

2

1

1

0,5

Обчислити загальну потребу в матеріалах х1, робочій силі х2 та електроенергії х3 для виготовлення заданої кількості уі деталей кож+ ного виду: у1 = 10, у2 = 2, у3 = 8, у4 = 4.

1 2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]