- •Передмова
- •Розділ І. Лінійна та векторна алгебра
- •§1.1. Матриці, дії над матрицями
- •§1.2. Визначники
- •§1.3. Ранг матриці та способи його обчислення
- •§ 1.4. Обернена матриця
- •§1.5. Системи лінійних рівнянь
- •§1.6. Вектори
- •§1.7. Власні числа та власні вектора
- •§1.8. Квадратичні форми
- •Розділ ІІ. Аналітична геометрія
- •§2.1. Прямокутні координати в просторі. Основні задачі
- •§2.2. Пряма лінія на площині
- •§2.3. Криві лінії другого порядку
- •§ 2.4. Задачі економічного змісту
- •§ 2.5. Площина та пряма в просторі
- •§ 2.6. Нерівності та їх геометричний зміст
- •§ 2.7. Поверхні другого порядку
- •Розділ ІІІ. Вступ до математичного аналізу
- •§4.6. Деякі основні теореми диференційного числення
- •§4.7. Економічний зміст похідної. Еластичність
- •§4.8. Дослідження функцій та побудова їх графіків
- •§5.1. Основні поняття
- •§5.2. Екстремум функції двох змінних
- •§5.3. Метод найменших квадратів
- •Розділ VI. Інтегральне числення
- •§ 6.2. Методи інтегрування
- •§ 6.4. Інтегрування тригонометричних виразів
- •§ 6.5. Інтегрування виразів, що містять ірраціональність
- •§6.8. Геометричні застосування визначенних інтегралів
- •§ 6.10. Наближені обчислення визначеного інтеграла
- •§ 6.11. Невласні інтеграли. Інтеграл ЕйлераAПуассона
- •§ 6.12. Поняття про подвійний інтеграл
- •Розділ VIІ. Диференційні рівняння
- •§ 7.1. Рівняння з відокремленими змінними
- •§ 7.2. Однорідні диференційні рівняння
- •§ 7.3. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку
- •Розділ VІІІ. Ряди
- •§ 8.2. Ознаки збіжності рядів з додатними членами
- •§ 8.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність
- •§ 8.5. Розклад функцій в ряди Тейлора і Маклорена
- •§8.6. Застосування рядів до наближених обчислень
- •§8.7. Ряди Фур’є
- •Відповіді до задач та прикладів
- •Список використаної літератури
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
§6.4. Інтегрування тригонометричних виразів
6.4.1.Інтеграли вигляду Hsinkxcoslxdx ; Hcoskxcoslxdx ;
Hsinkxsinlxdx
Інтеграли вигляду Hsin kx coslxdx ; Hcos kx coslxdx ; Hsin kx sin lxdx , де l та k — дійсні числа, l k, знаходяться за допомогою формул:
sinkx coslx = |
|
1 |
|
(sin(k – l)x + sin(k + l)x); |
(6.11) |
||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
||||
coskx coslx = |
1 |
(cos(k – l)x + cos(k + l)x); |
(6.12) |
||||
|
|
|
|||||
2 |
|||||||
sinkx sinlx = |
1 |
|
|
(cos(k – l)x – cos(k + l)x). |
(6.12) |
||
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|||||
6.4.1.1. Розв’язання прикладів
Знайти інтеграли.
Приклад 6.128.
Hsin 3x cos7xdx = 12 H(sin(3 7)x sin(3 7)x)dx =
= |
|
1 |
|
H(sin( 4x) sin10x)dx |
= |
1 |
|
Hsin 4xdx |
+ |
1 |
|
Hsin10xdx = |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
= |
1 |
|
1 |
Hsin 4x4dx |
+ |
|
1 1 |
Hsin10x10dx = |
1 |
cos 4x – |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 4 |
2 10 |
8 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
– |
|
1 |
cos 10x + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Приклад 6.129. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Hsin 2x sin |
2x |
dx |
= |
1 |
H(cos(2x |
2x |
) cos(2x |
2x |
))dx |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
400
Розділ VI. Інтегральне числення
= |
1 |
Hcos |
4x |
dx |
– |
1 |
Hcos |
8x |
dx = |
|
1 3 |
|
Hcos |
4x |
4 |
dx |
– |
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|||||||
– |
1 |
|
3 |
Hcos |
8x |
|
8 |
dx |
= |
3 |
sin |
4 |
x – |
|
|
3 |
sin |
8 |
x + C. |
|
|
|
||||||||||
|
2 8 |
3 |
|
3 |
|
|
8 |
|
3 |
|
16 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.4.2. Інтеграли вигляду HR(sinx, cosx)dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Розглянемо інтеграли вигляду |
|
|
HR(sin x, |
cos x)dx . Запис |
||||||||||||||||||||||||||||
R(sin x, cos x) означає, що над синусом і косинусом проводяться тільки раціональні операції: додавання та віднімання, множення на сталі величини, піднесення до цілого степеня як додатного, так і від’ємного, ділення. Іншими словами, під символом R(sin x, cos x) необхідно розуміти раціональну функцію синуса та косинуса.
Такі інтеграли приводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргументу t підстановкою, яку називають універсальною:
tg x2 = t, ( $ < x < $ ),
тоді
sin x = |
2t |
, |
cos x = |
1 |
t2 |
, |
dx = |
2 |
dt. |
(6.14) |
|
1 t2 |
|
|
t2 |
|
|||||||
1 |
1 t2 |
||||||||||
Однак саме внаслідок універсальності ця підстановка часто при+ водить до складних інтегралів. Більш зручні наступні підстановки:
а) u = cos x, якщо R(–sin x; cos x) = –R(sin x; cos x); б) u = sin x, якщо R(sin x; –cos x) = –R(sin x; cos x); в) u = tg x, якщо R(–sin x; –cos x) = R(sin x; cos x).
6.4.2.1. Розв’язання прикладів
Знайти інтеграли.
dx
Приклад 6.130. H 2sin x cos x .
401
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Розв’язок. Використаємо універсальну тригонометричну підста+
новку t = tg 2x . Звідки
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x = |
|
|
|
|
, |
|
cos x = |
|
|
|
, dx = |
|
|
|
|
dt. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
1 t2 |
1 t2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
H |
|
|
|
|
|
|
|
= H |
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
= H |
|
1 t2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||
2sin x cos x |
|
2 |
|
2t |
|
|
1 t2 |
|
4t 1 t2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
1 |
t2 |
|
|
|
1 t2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= 2 H |
|
|
|
dt |
|
|
= 2 H |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
= 2 |
1 |
ln |
|
t 2 5 |
|
+ C = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
4t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
t 2 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(t 2) |
|
|
|
2 5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
tg |
x |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
|
|
tg |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.4.3. Інтеграли вигляду Hsinm xcosn xdx
I. Нехай хоча б один з показників степеня є непарне число. Не+ хай n = 2k + 1. В такому випадку підінтегральний вираз можна пере+ творити так:
sinmxcosnxdx = sinmxcos2k+1xdx = sinmxcos2kxcosxdx = = sinmx(cos2x)kcosxdx = sinmx(1 – sin2x)kcosxdx.
Застосуємо підстановку sinx = u, cosxdx = du.
І інтегральний вираз прийме вигляд um(1 – u2)kdu. Питання зво+ диться до інтегрування суми степеневих функцій.
402
Розділ VI. Інтегральне числення
6.4.3.1. Розв’язання прикладів
Знайти інтеграли.
Приклад 6.131. Hsin5 x cos4 xdx .
Розв’язок.
Hsin5 x cos4 xdx = Hsin4 x sin x cos4 xdx = H(sin2 x)2 sin x cos4 xdx =
= H(1 cos2 x)2 cos4 x sin xdx .
Введемо підстановку: cos x = u; –sin xdx = du; sin xdx = –du.
H(1 cos2 x)2 cos4 x sin xdx = H(1 u2 )2 u4 ( du) = = – H(1 2u2 u4 )u4du = – Hu4du + 2Hu6du – Hu8du =
= |
u5 |
+ 2 |
u7 |
u9 |
sin5 x |
|
2sin7 x |
|
sin9 x |
|
|||
|
|
– |
|
+ C = – |
|
+ |
|
– |
|
+ C. |
|||
5 |
7 |
9 |
5 |
7 |
9 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
II. Якщо m i n — обидва показники степеней парні числа. Із тригонометрії відомо, що
1
sin2x = |
|
|
(1 – cos 2x), |
(6.15) |
2 |
||||
cos2x = |
1 |
|
(1 + cos 2x). |
(6.16) |
|
||||
2 |
||||
Застосування цих формул дозволяє понизити степінь підінтег+ ральної функції в розглядуваних інтегралах.
Знайти інтеграли.
Приклад 6.132. Hsin4 xdx . Розв’язок.
H |
|
|
4 |
|
H |
|
2 |
2 |
H |
1 |
(1 |
|
|
2 |
dx = |
||||
sin |
|
xdx = |
(sin |
|
x) dx = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2x) |
|||||||||||
= H |
1 |
(1 2cos2x cos2 2x)dx |
|
= |
1 |
Hdx |
– |
1 |
Hcos2xdx + |
||||||||||
4 |
|
4 |
2 |
||||||||||||||||
403
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ |
|
Hcos |
|
2xdx = |
|
|
|
x – |
|
|
|
sin2x + |
|
H |
|
|
(1 cos4x)dx = |
|||||||||||
4 |
|
|
4 |
|
4 |
4 |
2 |
|||||||||||||||||||||
= |
1 |
x – |
1 |
sin2x + |
1 |
Hdx + |
1 |
|
Hcos4xdx |
= |
|
1 |
x – |
1 |
sin2x + |
|||||||||||||
|
|
|
8 |
8 |
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
||||||
+ |
1 |
x + |
|
1 |
sin4x + C = |
3 |
x – |
1 |
sin2x + |
1 |
sin4x + C. |
|||||||||||||||||
|
8 |
|
32 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|||||
6.4.4. Інтеграли вигляду HR(sin2 x, cos2 x)dx
Інтеграли вигляду HR(sin2 x,cos2 x)dx , де R — раціональна фун+
кція над sin2x та cos2x. В такому випадку необхідно застосувати підста+ новку
|
z2 |
|
1 |
|
|
dz |
|
||
tg x = z; sin2x = |
|
; |
cos2x = |
|
; |
dx = |
|
. |
(6.17) |
1 z2 |
1 z2 |
1 z2 |
|||||||
6.4.4.1. Розв’язання прикладів
Знайти інтеграли.
dx
Приклад 6.133. H 4 3cos2 x 5sin2 x .
Розв’язок.
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z2 |
|||||
H |
|
|
|
= H |
|
|
1 z2 |
|
|
|
= H |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
4 3cos2 x 5sin2 x |
4 3 |
1 |
|
|
5 |
|
z2 |
4 |
4z2 3 5z2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 z2 |
|
z2 |
|
1 z2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
= H |
dz |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
arctg 3z + C = |
|
|
arctg (3tg x) + C. |
|
|
|
|
||||||||||||
9z2 1 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
404
Розділ VI. Інтегральне числення
6.4.5. Інтеграли вигляду HR(tgx, ctgx )dx
Інтеграли вигляду HR(tg,ctg x)dx , де R — раціональна функція над tg x та ctg x. Даний інтеграл з допомогою підстановки:
tg x = z; ctg x = |
1 |
; dx = |
dz |
, |
(6.18) |
|
z |
1 z2 |
|||||
|
|
|
|
зводиться до інтегралу від дробово+раціональної функції.
6.4.5.1. Розв’язання прикладів
Знайти інтеграли.
Приклад 6.134. Htg5 xdx .
Розв’язок.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Htg5 xdx = H z5 |
dz |
|
= H |
z5dz |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
|
|
1 z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z5 |
|z2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z5 + z3 |z3 – z + z/(z2 + 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–z3 – z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
z5dz |
= H(z3 z |
|
z |
|
|
= H z3dz |
– H zdz |
+ H |
z |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
)dz |
|
dz = |
|||||||||||||||||||||||||||
1 z2 |
|
z2 1 |
z2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z4 |
|
z2 |
|
|
1 |
ln|z2 |
+ 1| + C = |
tg4 x |
|
|
tg2 x |
|
|
1 |
ln|tg2x + 1| |
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
– |
|
|
+ |
|
|
|
|
– |
|
+ |
|
|
+ C = |
|||||||||||||||||||
|
4 |
2 |
|
2 |
4 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
= |
|
tg4 x |
|
– |
|
tg2 x |
– ln|cos |
x| + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
405
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.4.6. Приклади для самостійного розв’язку
Знайти інтеграли.
6.135. Hsin6x cos2xdx .
6.137. Hsin 3x sin 5xdx .
6.139. Hcos5 xdx .
6.141. Hcos2 3xdx .
6.143. Htg4 xdx .
dx
6.145. H 5 4sin x .
dx
6.147. H 4 tg x 4 ctg x .
dx
6.149. H (9 10 tg x)sin 2x .
dx
6.151. H 7 4 tg x .
6.136. Hcos x2 cos 3x dx .
6.138. Hsin3 xdx .
6.140. Hsin2 4x dx .
6.142. Hsin3 3xdx .
dx
6.144. H 2 3cos x .
6.146. H |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3sin x 2cos x 1 |
||||||||||
6.148. H |
9 tg x |
|
|
|
dx . |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
7 sin |
2 |
x cos |
2 |
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
6.150. H |
(2 tg x)dx |
|
. |
|
|||||||
|
|
||||||||||
(2sin x 5cos x)2 |
|||||||||||
6.152. H |
(1 7tg x)dx |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2sin |
2 |
x cos |
2 |
x |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
406