- •Передмова
- •Розділ І. Лінійна та векторна алгебра
- •§1.1. Матриці, дії над матрицями
- •§1.2. Визначники
- •§1.3. Ранг матриці та способи його обчислення
- •§ 1.4. Обернена матриця
- •§1.5. Системи лінійних рівнянь
- •§1.6. Вектори
- •§1.7. Власні числа та власні вектора
- •§1.8. Квадратичні форми
- •Розділ ІІ. Аналітична геометрія
- •§2.1. Прямокутні координати в просторі. Основні задачі
- •§2.2. Пряма лінія на площині
- •§2.3. Криві лінії другого порядку
- •§ 2.4. Задачі економічного змісту
- •§ 2.5. Площина та пряма в просторі
- •§ 2.6. Нерівності та їх геометричний зміст
- •§ 2.7. Поверхні другого порядку
- •Розділ ІІІ. Вступ до математичного аналізу
- •§4.6. Деякі основні теореми диференційного числення
- •§4.7. Економічний зміст похідної. Еластичність
- •§4.8. Дослідження функцій та побудова їх графіків
- •§5.1. Основні поняття
- •§5.2. Екстремум функції двох змінних
- •§5.3. Метод найменших квадратів
- •Розділ VI. Інтегральне числення
- •§ 6.2. Методи інтегрування
- •§ 6.4. Інтегрування тригонометричних виразів
- •§ 6.5. Інтегрування виразів, що містять ірраціональність
- •§6.8. Геометричні застосування визначенних інтегралів
- •§ 6.10. Наближені обчислення визначеного інтеграла
- •§ 6.11. Невласні інтеграли. Інтеграл ЕйлераAПуассона
- •§ 6.12. Поняття про подвійний інтеграл
- •Розділ VIІ. Диференційні рівняння
- •§ 7.1. Рівняння з відокремленими змінними
- •§ 7.2. Однорідні диференційні рівняння
- •§ 7.3. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку
- •Розділ VІІІ. Ряди
- •§ 8.2. Ознаки збіжності рядів з додатними членами
- •§ 8.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність
- •§ 8.5. Розклад функцій в ряди Тейлора і Маклорена
- •§8.6. Застосування рядів до наближених обчислень
- •§8.7. Ряди Фур’є
- •Відповіді до задач та прикладів
- •Список використаної літератури
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах» |
||||||
§ 6.10. Наближені обчислення визначеного інтеграла |
||||||
Для деяких підінтегральних функцій f(x) первісну не можна виз+ |
||||||
начити елементарними функціями. У цих випадках обчислення виз+ |
||||||
наченого інтеграла за формулою Ньютона+Лейбніца неможливе. Крім |
||||||
того у практичній діяльності часто досить знати лише наближене зна+ |
||||||
чення визначеного інтеграла. Найбільш часто використовують три |
||||||
методи — метод прямокутників, метод трапецій, метод парабол (ме+ |
||||||
тод Сімпсона). |
|
|
|
|
|
|
6.10.1. Формула прямокутників |
|
|
|
|||
Нехай на відрізку [a; b] задана неперервна функція y = f(x). Потріб+ |
||||||
но обчислити визначений інтеграл Hb |
f (x)dx . Поділимо відрізок [a; b] |
|||||
|
|
a |
|
|
|
|
точками а = х , х , х , ... , х = b |
Y |
|
|
|
|
|
0 1 2 |
n |
|
|
|
|
|
на n рівних частин довжи+ |
|
|
y = f(x) |
|
|
|
ною x = b a . Позначи+ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
мо через у0, у1, у2, ... , уn–1, yn |
|
|
|
|
|
|
значення функції f(x) в |
|
|
|
|
|
|
точках х0, х1, х2, ..., хn, тобто |
у0 у1 у2 |
у3 у4 |
yn–1 |
yn |
||
у0 = f(x0), у1 = f(x1), у2 = f(x2), |
|
|
|
|
|
|
... , уn = f(xn) (див. рис. |
0 a = x0 x1 x2 x3 x4 |
xn–1 xn = b X |
||||
6.12). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Складемо суми |
|
|
|
Рис. 6.12. |
|
|
|
у0 x0 |
+ у1 x1 |
+ ... + уn–1 xn 1 ; |
|
|
|
|
у1 x1 |
+ у2 x2 + ... + уn xn . |
|
|
||
Кожна з цих сум є інтегральною сумою для f(x) на відрізку [a; b] |
||||||
і через це наближено виражає інтеграл. |
|
|
|
|||
b |
|
n |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
||
|
f (x)dx # |
b a |
(у0 |
+ у1 |
+ ... + уn–1), |
(6.43) |
|
|
|||||
a
448
Розділ VI. Інтегральне числення
Hb |
f (x)dx # |
b a |
(у1 + у2 + ... + уn). |
(6.43') |
|
n |
|||||
a |
|
|
|
Це і будуть формули прямокутників. Із рис. 6.12 ясно, що f(x) — додатна і зростаюча функція, то формула (6.43) виражає площу східчастої фігури, складеної із прямокутників, які вписані в криву
y = f(x), а формула (6.43' ) — площу східчастої фігури, складеної із прямокутників, які описані над кривою y = f(x).
Похибка, яка одержується при обчисленні інтеграла за форму+ лою прямокутників, буде тим меншою, чим більше число n (тобто
чим менше крок поділу |
x = |
|
b a |
). |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.10.2. Формула трапецій |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ми будемо мати |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
більш точне значення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
визначеного інтегра+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f(x) |
Аn–1 |
B |
|||
ла, якщо задану кри+ |
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
А3 |
|
|
|
|
|||
ву замінимо |
не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
А1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
східчастою лінією, як |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
це було в формулі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прямокутників, |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вписаною ломаною |
|
у0 |
|
у1 |
|
|
у2 |
|
|
у3 |
yn–1 |
|
yn |
|||
(див. рис. 6.13). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тоді площа криво+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лінійної трапеції aABb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 a = x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
xn–1 |
xn = b Х |
|||||||||||
заміниться сумою |
||||||||||||||||
площ прямокутних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.13. |
|
|||||
трапецій, обмежених |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
зверху хордами АА1, А1А2, ... , Аn–1B. Так як площа першої із цих тра+
пецій дорівнює |
y0 y1 |
x , площа другої дорівнює |
y1 y2 |
x і так |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
далі, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
y0 |
y1 |
|
y1 y2 |
|
yn 1 yn |
|
|
||||
H f (x)dx #( |
x + |
x + ... + |
x ), |
|||||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
449
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
або
Hb |
f (x)dx # |
b a |
( |
y0 yn |
+ у1 + у2 + у3 + ... + уn–1). |
(6.44) |
||
n |
||||||||
|
||||||||
a |
|
2 |
|
|
|
|||
Це і є формула трапеції. Число n вибирається довільно. Чим |
||||||||
більше буде це число та чим менше буде крок x = |
b a |
, тим з |
||||||
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
більшою точністю сума, яка написана в правій частині наближеної рівності (6.44), буде давати значення інтеграла.
6.10.3. Формула парабол (формула Сімпсона)
Цей метод наближеного обчислення визначеного інтеграла осно+ ваний на заміні графіка підінтегральної функції не хордами, як в методі трапецій, а дугами парабол, осі яких паралельні вісі Оу. Якщо відрізок інтегрування [а; b] поділити на парну кількість рівних час+
тин (тобто n = 2m) і позначити yk = f(xk), де xk = a + x k — точки поділу, k = 0, 1, 2, ... , 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою:
Hb |
f (x)dx # |
b a |
(у0 + у2m + 2(у2 + у4 + ... + y2m–2) + |
|
|
|
|||
a |
|
6m |
|
|
|
|
|
|
|
+ 4(y1 + y3 + ... + y2m–1)), |
(6.45) |
|||
яку називають формулою Сімпсона. Тут число точок поділу 2m до+ вільно, але чим більше це число, тим точніша сума в правій частині рівності (6.41) дає значення інтеграла.
6.10.4. Розв’язання прикладів
Приклад 6.285. Обчислити наближено ln 2 = H2 |
dx |
. |
|
||
1 |
x |
|
|
|
|
Розв’язок. Поділимо відрізок [1; 2] на 10 рівних частин. Знаючи
2 1
x = 10 , складемо таблицю значень підінтегральної функції:
450
Розділ VI. Інтегральне числення
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
x |
|
y |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x0 = 1,0 |
|
|
|
y0 = 1,0000 |
|
x6 = 1,6 |
|
y6 = 0,62500 |
||||||||||||||
|
|
|
x1 = 1,1 |
|
|
|
y1 = 0,90909 |
|
x7 = 1,7 |
|
y7 = 0,58824 |
||||||||||||||
|
|
|
x2 = 1,2 |
|
|
|
y2 = 0,83333 |
|
x8 = 1,8 |
|
y8 = 0,55556 |
||||||||||||||
|
|
|
x3 = 1,3 |
|
|
|
y3 = 0,76923 |
|
x9 = 1,9 |
|
y9 = 0,52632 |
||||||||||||||
|
|
|
x4 = 1,4 |
|
|
|
y4 = 0,71429 |
|
x10 = 2,0 |
|
y10 = 0,5000 |
||||||||||||||
|
|
|
x5 = 1,5 |
|
|
|
y5 = 0,66667 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
За першою формулою прямокутників (4.43) одержуємо: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
H2 |
dx |
|
# 0,1(у0 + у1 + ... + у9) = 0,1 7,1877 = 0,71877. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
За другою формулою прямокутників (6.43) одержуємо: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
H2 |
dx |
|
#0,1(у1 + у2 + у3 + ... + у10) = 0,1 6,68773 = 0,66877. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
За формулою трапеції (6.44) одержуємо: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
1 0,5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
# 0,1( |
|
|
+ 6,18773) = 0,69377. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
За формулою Сімпсона (6.45) маємо: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
H2 |
dx |
# |
|
0,1 |
(у0 + у10 + 2(у2 + у4 + у6 + y8) + 4(y1 + y3 + у5 + y7 + у9) = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
0,1 |
(1 0,5 + 2 2,72818 + 43,45955) = 0,6931. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В дійсності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ln 2 = H2 |
dx |
|
= 0,6931472 (з точністю до сьомого знаку). |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким чином, при поділі відрізка [0; 1] на 10 частин за форму+ лою Сімпсона ми одержали п’ять вірних знаків; за формулою тра+ пецій — лише три вірних знака; а за формулою прямокутника ми можемо ручатися тільки за перший знак.
451
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.10.5. Приклади для самостійного розв’язання
Знайти наближене значення інтегралів методами трапецій і Сімпсона.
1,7 dx
6.286. 0,1H x .
6.287. H1 arctg x dx .
0 x
Знайти наближене значення інтеграла методом Сімпсона.
6.288. H1 e x2 dx .
0
452