Розділ VIII. Ряди

§ 8.5. Розклад функцій в ряди Тейлора і Маклорена

8.5.1. Розклад функцій в ряди Тейлора

Рядом Тейлора для функції f(x) при умові, що вона визначена в околі точки а, і в цій же точці має скінчені похідні будь+якого по+ рядку, називається степеневий ряд вигляду:

для значень х із деякого проміжку є умова lim R (x) = 0 для всіх х

n9/ n

із цього проміжку. Формула (Т), що вірна при вказаній умові, дає розклад функції f(x) в ряд Тейлора. Таким чином, функція f(x) може бути розкладена в ряд Тейлора для розглянутого х, якщо:

а) вона має похідні будь+якого порядку,

б) границя залишкового члена при n 9 / дорівнює нулю, тобто

lim R (x) = 0.

n9/ n

Для розкладу заданої функції в ряд Тейлора необхідно:

525

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

1)записати ряд Тейлора для заданої функції, тобто обчислити значення цієї функції і її похідні при х = а і підставити їх у загаль+ ний вираз ряду Тейлора (Т) для заданої функції.

2)дослідити залишковий член Rn формули Тейлора для заданої функції і визначити сукупність значень х, при яких одержаний ряд

збігається до заданої функції (тобто при яких lim R (x) = 0).

n9/ n

Для багатьох функцій, які використовуються в практичних зас+ тосуваннях математичного аналізу, інтервал збіжності ряду Тейлора співпадає з сукупністю тих значень х, при яких відповідний залиш+

ковий член Rn 9 0, коли n 9 / , тобто для багатьох функцій кожна точка х збіжності ряду Тейлора є і точкою збіжності того ряду, який складено для заданої функції. Через це при розкладі багатьох функцій в ряд Тейлора можна замість дослідження відповідного залишкового члена Rn(x), де в багатьох випадках складно, дослідити збіжність са+ мого ряду Тейлора, як звичайного степеневого ряду.

8.5.2. Розклад функції в ряд Маклорена

Якщо в ряді Тейлора (Т) прийняти а = 0, то одержимо ряд Мак+ лорена:

Розглянемо розклад в степеневий ряд (ряд Маклорена) деяких елементарних функцій.

1) f(x) = ex.

Маємо:

За формулою (М) складемо ряд Маклорена

526

Розділ VIII. Ряди

Знайдемо радіус збіжності одержаного ряду

Отже, одержаний ряд абсолютно збігається на всій числовій прямій. Він збігається до функції ех при будь+якому х ( /;/ ), так як на будь+якому відрізку функція ех та її похідні обмежені одним і тим же числом, наприклад е0.

Таким чином, при будь+якому х має місце розклад

За формулою (М) для функції sin x складемо ряд Маклорена:

527

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Легко показати, що ряд збігається абсолютно на всій числовій

прямій, тобто R = / . Так як |f(n)(x)| = |sin(x + n $ )| 1, то одержа+

2

ний числовий ряд збігається до функції sin x. Отже, для будь+якого х справедливий розклад:

3) f(x) = cos x.

Аналогічно попередньому можна одержати розклад функції cos x в ряд Маклорена, який справедливий при будь+якому х.

Вкажемо розклад у ряд Маклорена і інших функцій, які викори+ стовуються найчастіше.

7) f(x) = arctg x.

528

Розділ VIII. Ряди

Два степеневих ряда можна почислено додавати і множити (за правилом множення многочленів). При цьому інтервалом збіжності одержаного нового степеневого ряду буде сукупність всіх точок, в яких одночасно збігаються обидва ряди. Степеневий ряд в інтервалі його збіжності можна почленно інтегрувати, а в середині інтервалу збіжності можна почленно диференціювати.

529

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

8.5.3. Розв’язання прикладів

Приклад 8.26. Розкласти в ряд Тейлора функцію f(x) = 1x при

а = –2.

Розв’язок. Обчислимо значення заданої функції і її похідних при х = а = –2.

Підставимо ці значення в ряд Тейлора (Т) для заданої функції, одержуємо:

530

Розділ VIII. Ряди

Дослідимо збіжність одержаного ряду за ознакою Даламбера:

Розв’язавши цю нерівність |x + 2| < 2, знаходимо інтервал –4 < x < 0. Дослідимо границі цього інтервалу. Підставляючи в ряд х = –4, а потім х = 0, одержуємо числові ряди 1 – 1 + 1 – 1 + ... і 1 + 1 + 1 + 1 + ..., які розходяться, так як у них не виконується необхідної умови збіжності ряду. Отже, інтервал збіжності одержаного ряду Тейлора для заданої функції є (–4; 0). Досліджуючи залишковий член Rn формули Тейлора для заданої функції, переконаємося, що в указа+ ному інтервалі одержаний ряд збігається до заданої функції.

Приклад 8.27. Розкласти в ряд функцію f(x) = 1 e x2 . x2

Розв’язок. Так як за (8.28)

531

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Розв’язок. В розкладі

cos 2x в ряд Маклорена легко можна отримати, замінивши в фор+ мулі (8.30) х на 2х:

Область збіжності одержаного ряду ( /;/ ).

532

Розділ VIII. Ряди

8.5.4. Приклади для самостійного розв’язку

В прикладах 8.30 – 8.36 розкласти задані функції по степенях х користуючись формулами розкладу в ряд Маклорена функцій ех,

533