Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

§4.7. Економічний зміст похідної. Еластичність

4.7.1. Задача на продуктивність праці

Нехай функція u = u(t) виражає кількість виробленої продукції u за час t, і необхідно знайти продуктивність праці в момент t0.

Очевидно, за період часу від t0 до t0 + t кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = u(t0) до значення u + u =

u

= u(t0 + t ). Тоді середня продуктивність праці за цей термін zсер = t .

Продуктивність праці в момент t0 можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до t0 + t

Отже, похідна обсягу виробленої продукції за часом u'(t0 ) є

продуктивність праці в момент t0. У цьому економічний зміст по+ хідної.

У практиці економічних досліджень широке застосування отри+ мали виробничі функції, які використовують для встановлення за+ лежності, наприклад, випуску продукції від витрат ресурсів, витрат виробництва від обсягу продукції, виторгу від проданого товару і т.д. У припущенні диференційованості виробничих функцій важливе значення набувають їхні диференціальні характеристики, пов’язані з поняттям похідної.

Розглянемо похідні для означених типів виробничої функції.

1. Нехай виробнича функція К = К(х) — функція витрат вироб+ ництва, що залежить від кількості продукції х. Припустимо, що

Середній приріст витрат виробництва є К . Це приріст витрат

x

виробництва на одиницю кількості продукції.

Граничними витратами виробництва називається границя

282

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

lim К = К'(x) .

t90 x

Граничні витрати виробництва збігаються зі швидкістю зміни витрат виробництва. Величина К'(x) характеризує наближено до+

даткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції. 2. Позначимо U(x) виторг від продажу х одиниць товару. Граничним виторгом називається границя

3. Нехай виробнича функція у = f(x) встановлює залежність ви+ пуску продукції у від витрат ресурсу х.

Граничним продуктом називається границя

4.7.2. Еластичність

Нехай аргумент х функції f(x) одержав приріст

ня функції зміняться на величину y = f(x + x ) – f(x). Прирости x і y називаються абсолютними приростами аргумен

Границя відношення відносного приросту функції y до відпо+ y

відного відносного приросту аргументу x при умові, що абсолют+ x

ний приріст аргументу x прямує до нуля, називається еластич ністю функції у = f(x) по змінній х і позначається символом

283

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Еластичність Ех(у) показує наближено, на скільки відсотків зміниться значення функції у = f(x) у разі зміни незалежної змінної х на 1% (з х до х + 0,01х).

Формулу (21) можна переписати у вигляді:

Ех(у) = f '(x) : xy .

Це означає, що для функцій випуску у = f(x) еластичність дорів+ нює відношенню граничного виробництва ресурсу до його середньо+ го значення виробництва.

Приклад 4.28. Знайти Ех=2(f(x)), якщо f(x) = 3х + 4.

Розв’язок. Еластичність заданої функції обчислюємо за формулою:

Знайдемо Ех=2(f(x)).

3 2

Ех=2(f(x)) = 3 2 4 = 0,6.

Це означає, що при збільшенні х з 2 до 2,02 значення функції зростає на 0,6%.

1.Якщо |Ех(f(x))| < 1, то функція називається нееластичною (відносний її приріст спадає).

2.Якщо |Ех(f(x))| > 1, то функція називається еластичною (віднос+ ний її приріст зростає).

Властивості:

284

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

2)Ех(f(x) g(x)) = Ех(f(x)) + Ех(g(x));

3)Ех(f(x)/g(x)) = Ех(f(x)) – Ех(g(x)).

Еластичність елементарних функцій

1. Еластичність степеневої функції у = хn стала і дорівнює показ+ нику степеня n: Ех(хn) = n.

Справді:

2. Еластичність показникової функції у = ах пропорційна до х.

4.7.3. Використання еластичності в економічному аналізі

В економіці розглядають кілька видів еластичності. І. Еластичність попиту відносно ціни.

Вивчається залежність попиту d на товар від ціни р на нього. Залежність попиту від ціни опишемо за допомогою формули d = d(р).

В багатьох економічних дослідженнях необхідно встановити не величину попиту при кожному конкретному рівні ціни, а характер зміни попиту при вказаній зміні ціни. В такому випадку знаходять еластичність попиту відносно ціни. В наших позначеннях:

Еp(d) = d(pp) d '( p).

285

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Еластичність попиту відносно ціни визначає, на скільки відсотків зміниться попит на товар, якщо ціна на нього збільшиться на 1%. Так як в більшості випадків попит являється спадною функцією ціни

р і d'(p) < 0, то щоб уникнути від’ємних чисел, в таких випадках при вивченні еластичності попиту приймають

Еp(d) = d(pp) d'( p).

Знак «–» показує, що попит зменшується при збільшенні ціни.

Приклад 4.29. Нехай функція попиту лінійна d = 5 – 1 p, то

1% попит спадає на 1 %. Якщо р = 5, показник еластичності дорів+

4

нює 1. Збільшення ціни з 5 до 5,05 призводить до зменшення попиту на 1%. Якщо р = 9 попит зменшується на 9%.

Вважають, що попит еластичний, якщо підвищення ціни на 1% відпо+ відає підвищенню попиту більш ніж на 1%, тобто Еp(d) > 1, попит ней+ тральний, якщо Еp(d) = 1, попит нееластичний, якщо Еp(d) < 1.

Іншими словами, попит на товар еластичний, якщо невелика зміна ціни товару веде до значної зміни попиту на товар. Коли зміна ціни веде до порівняно невеликої зміни величини попиту, попит являєть+ ся нееластичним.

Дослідимо динаміку виручки при різних видах попиту. Виручка від продажу даного товару при ціні р складає

u = p d(p).

286

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

а) Якщо попит еластичний, тобто Еp(d) > 1, то dudp , 0 , і з підви+ щенням ціни виручка від продажу товару понижається.

б) При нейтральному попиту Еp(d) = 1, dudp 0 , і виручка прак+

тично не залежить від ціни.

в) При нееластичному попиті (0 < Еp(d) < 1) виручка збільшуєть+ ся з ростом ціни, так як в цьому випадку dudp . 0 .

Із розглянутого вище видно, що знання еластичності попиту на даний товар дозволяє прогнозувати направлення зміни виручки під впливом росту або зниження ціни. Очевидно, що кожній фірмі вигід+ но, щоб попит на її продукцію був як можна більш нееластичним, так як в такій ситуації існує можливість призначення порівняно високі ціни.

Еластичність пропозиції визначається аналогічно еластичності попиту. Для диференційованої функції S = S(p) формула еластич+ ності приймає вигляд

p dS Еp(S) = S( p) dp .

На відміну від формули еластичності попиту у формулі еластич+ ності пропозиції відсутній знак «–». Це пов’язано з тим, що з ростом ринкової ціни на товар пропозиції на цій товар зростають. Кожному підприємству вигідно реалізувати свою продукцію, через це S = S(p) —

зростаюча функція і dSdp . 0 .

Пропозиція називається еластичною, якщо Еp(S) > 1, нееластич+ ною, якщо 0 < Еp(S) < 1, і нейтральною, якщо Еp(S) = 1.

Ціна, при якій величина попиту дорівнює величині пропозиції, називається ціною рівноваги.

В точці М величина попиту дорівнює величині пропозиції, р — ціна рівноваги.

287

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

d(p) d(S)

лежність витрат виробництва від кількості х продукції, що випус+ кається. Знайти граничні витрати і коефіцієнт еластичності, якщо обсяг продукції складає 100 одиниць, 20 одиниць.

Розв’язок.

1. Граничні витрати виробництва є похідна від функції витрат

x

К'(x) = 20 – 10 . При відповідних обсягах продукції:

Отже, чим більше виробляється продукції, тим повільніше рос+ туть витрати на її випуск.

2. Еластичність функції

Ех(у) = xy dxdy .

288

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

У нашому випадку

Отже, якщо при обсязі випуску 100 одиниць кількість продукції, що випускається, збільшиться на 1%, тобто на 1, то відносні витрати виробництва збільшаться приблизно на 0,67%; при обсязі 20 одиниць збільшення випуску продукції на 1% призведе до збільшення віднос+ них витрат приблизно на 0,95%.

Задача 4.31. Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, виражається функцією у = 50х – 0,05х3 (грош. од). Визначити середні і граничні витрати, якщо обсяг про+ дукції 10 од.

Розв’язок. Функція середніх витрат (на одиницю продукції) ви+ ражається відношенням

y

у1 = x = 50 – 0,05х2,

у1(10) = 50 – 0,05 102 = 45 (грош. од.). Граничні витрати:

y' = 50 – 0,05 3х2; y'(10) = 35 (грош. од.).

Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові витрати на виробництво додаткової одиниці продукції при даному рівні ви+ робництва (обсязі продукції, що випускається у кількості 10 од.), складають 35 грош. од.

289

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Задача 4.32. Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.) виражається функцією у = –0,5x + 80. Знайти еластичність собівартості, якщо випуск продукції дорівнює 60 млрд. грош. од.

Розв’язок. Еластичність собівартості

60

Е60(у) = 60 160 = –0,6.

Це означає, що у разі випуску продукції на 60 млрд. грош. од. збільшення його на 1% призведе до зниження собівартості на 0,6%.

Задача 4.33. Дослідним шляхом встановлено функції попиту

купується і пропонується на продаж відповідно, в одиницю часу; p – ціна товару. Знайти:

а) ціну рівноваги, тобто ціну, при якій попит і пропозиція врівно+ важуються;

б) еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни; в) зміну прибутку у разі збільшення ціни на 5% від ціни рівно+

ваги.

Розв’язок.

а) Ціна рівноваги визначається з умови q = S:

p 8

p 2 = p + 0,5,

звідки р = 2, тобто ціна рівноваги дорівнює 2 грош. од.

б) Знайдемо еластичність попиту і пропозиції за формулою

290

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Для ціни рівноваги р = 2 маємо:

Оскільки отримані значення еластичності за абсолютною вели+ чиною менші одиниці, то і попит, і пропозиція даного товару при ціні рівноваги нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціні не призведе до різкої зміни попиту і пропозиції.

Так, при збільшенні ціни р на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.

в) При збільшенні ціни р на 5% від рівноважної попит зменшуєть+ ся на 5 0,3 = 1,5%, отже, прибуток зростає на 3,5% (5% – 1,5% = 3,5%).

Задача 4.34. Як пов’язані граничні і середні витрати підприєм+ ства, якщо еластичність повних витрат дорівнює одиниці?

Розв’язок. Нехай повні витрати підприємства у виражаються фун+ кцією у = f(х), де х – обсяг продукції, що випускається. Тоді середні

y

витрати у1 на виробництво одиниці продукції у1 = x . Таким чином,

x

Ех(у1) = Ех( y ) = Ех(у) – Ех(х) = Ех(у) – 1.

За умовою Ех(у) = 1, отже Ех(у1) = 1 – 1 = 0. Це означає, що зі зміною обсягу продукції х середні витрати на одиницю продукції не

x

міняються, тобто у1 = y = с, звідки у = сх.

Граничні витрати підприємства визначаються похідною y' c . Отже, y' y1 , тобто граничні витрати рівні середнім витратам. (По+

мітимо, що отримане твердження справедливе тільки для лінійних функцій витрат).

Задача 4.35. Фірма планує випускати сонячні батареї. На основі досліджень була встановлена залежність попиту q від ціни р за батарею:

q = 100 000 – 200p,

291

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

де q — кількість батарей для продажу в рік. Витрати фірми на ви+ пуск q сонячних батарей складають

с = 150 000 + 100 q + 0,003 q2.

Розрахувати прибуток, визначити його максимальне значення.

Розв’язок. Валовий прибуток R = p – q.

З умови запишемо функцію р як функцію змінної q: p = 500 – 0,005q.

R = R(q) = (500 – 0,005q)q. P = R – c.

P = (500 – 0,005q)q – (150 000 + 100q + 0,003q2) = = –0,008q2 + 400q – 150 000.

Визначимо максимальний прибуток

P'(q) = –0,016q + 400,

–0,016q + 400 = 0, q = 25 000,

P''(q) = –0,016 <0.

Отже, при q = 25 000 одиниць прибуток досягає максимуму, Р(25 000) = 4 850 000 грош. од. — максимальне значення прибутку.

Задача 4.36. Підприємство виробляє х одиниць продукції за

ціною р(х) = 50 – 1 х, а витрати виробництва задаються функцією

10

К(х) = 501 х2 + 14х + 800.

Знайти оптимальний для підприємства обсяг продукції і відповід+ ний йому максимальний прибуток.

Розв’язок. Нехай U(х) — валовий прибуток, z(x) — прибуток від реалізації х одиниць продукції за ціною р(х). Тоді

U(x) = x p(x);

z(x) = U(x) – К(х), де p(x), К(х) — задані функції.

Для розв’язку задачі слід досліджувати функцію z(x) на екстре+ мум. При цьому прибуток буде максимальним для такого обсягу х

випуску продукції, для якого z'(x) = 0, z''(x) < 0.

292

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Проведемо ці дослідження.

1. Формуємо z(x), знаходимо z'(x) і, розв’язавши рівняння z'(x) = 0, знаходимо критичну точку.

Врахуємо, що

Отже, х = 150 – точка максимуму функції z(x), тобто оптималь+ ний обсяг виробництва складає 150 одиниць продукції.

3. Знаходимо максимальний прибуток виробництва, тобто zmax = z(150).

При х = 150 ціна р = 50 – 101 150 = 35; валовий прибуток

U = 35 150 = 5250. Витрати виробництва

К(х) = 501 1502 + 14 150 + 800 = 450 + 2100 + 800 = 3350.

Максимальний від продажу прибуток

zmax = 5250 – 3350 = 1900.

Задача 4.37. Виробник реалізує свою продукцію за ціною р за одиницю, а витрати при цьому задаються кубічною залежністю

S(x) = ax + x3 (a < p, > 0). Знайти оптимальний для виробника обсяг випуску продукції і відповідний йому прибуток.

Розв’язок. Позначимо обсяг продукції, що випускається, через х. Складемо функцію прибутку С(х) = рх – (ах + х3), де рх — валовий

293

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

прибуток від продукції, що реалізується. Досліджуємо цю функцію на екстремум.

1.Знаходимо C'(x) = (р – а) – 3 х2.

2.Знаходимо критичні точки:

C'(x) = (р – а) – 3 х2 = 0,

даємо за змістом задачі).

3. Знаходимо C''(x) = 6 х і визначаємо знак другої похідної

4. Знаходимо максимум функції (тобто максимальний розмір при+ бутку)

Задача 4.38. Капітал в 1 млрд. грош. од. може бути розміщений у банку під 50% річних або інвестований у виробництво, причому ефективність вкладення очікується у розмірі 100%, а витрати зада+ ються квадратичною залежністю. Прибуток оподатковується в р%. При яких значеннях р вкладення у виробництво є більш ефективни+ ми, ніж чисте розміщення капіталу у банку?

Розв’язок. Нехай х (млрд. грош. од.) інвестується у виробництво, а 1–х — розміщується під відсотки. Тоді розміщений капітал через рік стане рівним

(1 – х)(1 + 10050 ) = 32 – 32 х,

294

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

а капітал, вкладений у виробництво, визначається за формулою

х(1 + 100100 ) = 2х.

Витрати складуть ах2, оскільки за умовою вони задаються квад+ ратичною залежністю, тобто прибуток від вкладення у виробництво

с = 2х – ах2.

Податки складуть (2х – ах2) 100p , тобто чистий прибуток вия+

Треба знайти максимальне значення цієї функції на відрізку [0, 1]. Маємо

100 2

295

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Таким чином, якщо р > 25, то вигідніше нічого не вкладати у виробництво і розмістити весь капітал у банку. Якщо р < 25, то мож+ на показати, що при х = х0

Тобто вкладання у виробництво вигідніше, ніж чисте розміщен+ ня під відсотки.

4.7.5. Задачі для самостійного розв’язку

Задача 4.39. Розрахувати еластичність даних функцій і знайти значення показника еластичності для заданих х:

1)y = 1 + 2x – x2, x = 1;

2)y = e5x, x = 1, x = 0, x = 2;

3) y = 5lnx, x = 10, x = e, x = e4; 4) y = x e x2 , x = 1, x = 2.

Задача 4.40. Крива повних витрат К(х). Визначити: а) криву гра+ ничних витрат; б) розрахувати коефіцієнт еластичності при заданих значеннях х, де х — обсяг виробництва, якщо:

1) К(х) = 150х – х2 + x3 , x = 10, х = 50;

100

2) К(х) = х3 – 3х2 + 10х, x = 1, x = 2.

Задача 4.41. Функцією середніх витрат називається функція

S = f (x) , де f(x) — повні витрати виробництва, х — кількість оди+ x

ниць продукції виражаються формулою у = х3 + 3х2 + 10х. Необ+ хідно знайти: а) обсяг виробництва, при якому середні витрати бу+ дуть лінійними; б) побудувати криві повних, середніх і граничних витрат.

296

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Задача 4.42. Цукровий завод виробляє х одиниць продукції в

x2

місяць, а сумарні витрати виробництва К(х) = 50 + 5х + 300. За+ лежність між питомою ціною р і кількістю одиниць продукції х, що

x

можна продавати за цією ціною така: р(х) = 40 – 10 . Розрахувати,

за яких умов прибуток буде максимальним (валовий прибуток U(x) = x p(x), прибуток z(x) = U(x) – К(х)).

Задача 4.43. Залежність між витратами виробництва у (грош. од.) і обсягом продукції, що випускається х (од.), виражається функцією у = 10х – 0,04х3. Визначити середні та граничні витрати при обсязі продукції рівному 5 од.

Задача 4.44. Залежність попиту q від ціни р виражається функцією q(p) = –2p2 + 3p + 8. Знайдіть еластичність Ер(q) попиту q відносно ціни р і значення показника еластичності при р = 1. Зробити висновок.

Задача 4.45. Функції попиту q і пропозиції S від ціни р задають+ ся відповідно рівняннями: q = 7 – р і S = р + 1. Знайти: а) ціну рівно+ ваги; б) еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни; в) зміну при+ бутку (у відсотках) при збільшенні ціни на 5% від ціни рівноваги.

Задача 4.46. Дана функція К(х) повних витрат виробництва. Знайти: а) обсяг виробництва, при якому середні витрати будуть мінімальні; б) побудувати криві повних, середніх і граничних витрат виробництва; в) розрахувати коефіцієнт еластичності при заданих значеннях х, де х — обсяг виробництва, якщо:

Задача 4.47. Крива повних витрат має вигляд К(х) = х3 – 6х + 15х (х — обсяг виробництва). Розрахувати, при якому обсязі виробниц+ тва середні витрати мінімальні.

297