Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1260 вузов, 4603 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Vyscha_matematyka_v_prykladakh_i_zadachakh.pdf
Скачиваний:
63
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
3.55 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

§4.6. Деякі основні теореми диференційного числення

4.6.1. Теорема Лагранжа (про скінчені прирости функції)

Якщо функція у = f(x) неперервна на відрізку [a; b] і диференц+ ійовна на інтервалі (а, b), то всередині цього інтервалу існує хоча б одна точка с (a < c < b) така, що виконується рівність:

f (b) f (a)

f '(c) .

b a

 

Економічний зміст теореми Лагранжа.

Нехай у = f(x) виражає залежність випуску у від витрат х деяко+ го специфічного ресурсу. Якщо об’єм витрат збільшується від а до b одиниць, то різниця f(b) – f(a) виражає відповідну зміну випуску.

Відношення f (b) f (a) показує, на скільки одиниць в середньому b a

змінюється випуск продукції, якщо витрати виросли на одну одини+

цю. Іншими словами, f (b) f (a) — середнє виробництво ресурсу b a

на проміжку [a; b].

Граничне виробництво ресурсу дорівнює значенню похідної функції випуску при даному рівні витрат. Якщо витрати ресурсу

складають с одиниць, то f '(c) — відповідне їм граничне відношення

ресурсу.

На основі теореми Лагранжа можна стверджувати, що для про+ цесу виробництва, який описаний функцією випуску у = f(x), котра неперервна на відрізку [a; b] і диференційована на (а, b), існує хоча б один граничний рівень витрат с, при якому граничне виробництво відповідного ресурсу співпадає з його середнім виробництвом.

276

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

4.6.2. Формула Тейлора

Функція f(x), що диференційована (n + 1) раз в деякому інтер+ валі, якому належить точка а, може бути представлена в вигляді суми многочлена n+го ступеня та залишкового члену Rn:

 

f '(a)

f(x) = f(a) +

 

(x – a) +

1!

f(n)(a)

+n! (x – a)n + Rn,

f ''(a)

f '''(a)

 

(x – a)2 +

 

(x – a)3 + … +

2!

3!

 

 

 

(Т)

f (n 1)(c)

R =

 

(x – a)n+1,

(n 1)!

n

 

 

 

де с – деяке значення між а і х.

с = а + B (х – а), 0 < B < 1.

Формула Тейлора (Т) дозволяє наближено представити (апрок+ симувати) довільну функцію f(x) у вигляді многочлену:

 

f '(a)

f ''(a)

f '''(a)

f(x) = f(a) +

 

(x – a) +

 

(x – a)2 +

 

(x – a)3 + … +

 

 

1!

2!

3!

+

f (n)(a)

(x – a)n,

n!

 

 

(що називається многочленом Тейлора) і разом із тим дозволяє оці+ нити похибку, яка при цьому виникає. Похибка Rn в багатьох випад+ ках може бути зробленою як завгодно малою. Через це формула Тейлора (Т) є однією із найважливіших формул математичного ана+ лізу, яка широко застосовується і як тонкий інструмент теорії дослід+ ження, і як засіб розв’язку практичних задач.

Частинний, найпростіший вигляд формули Тейлора при а = 0 прийнято називати формулою Маклорена:

 

'

 

''

 

f

'''

 

f

(n)

(0)

 

f(x) = f(0) +

f (0)

f (0)

(0)

 

 

 

 

x +

 

x2 +

 

 

x3 + … +

 

 

xn +

1!

2!

 

3!

 

n!

+ Rn(М)

277

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

f (n 1)(Dx)

R =

 

xn+1.

(n 1)!

n

 

 

 

Формула Маклорена (М) дає розклад функції по степеням самої незалежної змінної.

4.6.3. Застосування формули Тейлора в економічних задачах

Наближена рівність

 

 

 

 

f(x) = T (x) = f(a) +

f '(a)

(x – a) +

f ''(a)

(x – a)2

2

1!

2!

 

 

 

застосовується в задачах економічної статистики. Наприклад розг+ лянемо таку задачу: припустимо, що для чисел введено середнє ариф+ метичне

а = x1 x2 x3 ... xn n

і середнє квадратичне відхилення

C

(x a)2

(x

 

a)2 ... (x

 

a)2

1

 

2

 

n

.

 

 

 

 

 

n

Як визначити середнє арифметичне виду

y f (x1) f (x2 ) f (x3 ) ... f (xn ) , n

якщо числа х1, х2, х3, … , хn невідомі, але відомий відрізок, якому вони належать.

Значення y можна, очевидно, знайти наближено. Підставимо замість f(x) многочлен Тейлора другого порядку в точці а.

 

 

 

 

 

1

n

 

f '(a)

 

 

 

f

''

 

 

 

 

 

y =

( f(a) +

(x – a) +

(a)

(x – a)2) =

 

n

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

1!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

n

1

 

 

 

1

 

n

=

n f(a) +

f '(a) (

 

xi –

na) +

 

f ''(a) (xi a)2 .

 

n

 

2n

 

 

 

n

 

 

 

 

i 1

n

 

 

i 1

278

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Оскільки

1

n

1

 

 

f ''(a) (xi a)2 =

C 2

,

2n

2

i 1

 

 

маємо

y= f(a) + 12C 2 .

4.6.4.Розклад основних елементарних функцій за формулою Тейлора

1. Розкладемо за формулою Тейлора функцію у = ех у точці

х0 = а = 0. Для цього обчислимо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ex,

y(0) = 1;

 

 

 

 

y' = ex,

y'(0) = 1;

 

 

 

 

y'' = ex,

y''(0) = 1;

 

 

 

 

………

 

………

 

 

 

 

 

 

y(n) = ex,

y(n)(0) = 1.

Далі за формулою Тейлора маємо:

 

 

1

 

1

1

 

1

 

eB x

ex = 1 +

 

х +

 

х2 +

 

х3 + ... +

 

 

хn +

 

xn+1, 0 < B < 1.

1!

2!

3!

 

n!

(n 1)!

2. Розкладемо за формулою Тейлора функцію y = sin x у точці

x0 = a = 0. Насамперед знайдемо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = sin x;

y(0) = 0;

 

 

 

 

y' = cos x;

y'(0)= 1;

 

 

 

 

y'' = –sin x;

y''(0) = 0;

 

 

 

 

y''' = –cos x;

'''

 

 

 

 

 

 

 

y (0) = –1;

 

 

 

 

y(iv) = sin x;

y(iv) = 0;

 

 

 

 

………

 

………

 

 

За формулою Тейлора дістаємо:

sin x =

 

1

 

х –

1

 

х3

+

1

 

х5 –

1

 

х7 +

1

 

х9 – … + (–1)2n+1

1

x2n+1

+

1!

3!

5!

7!

9!

(2n 1)!

279

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

n+1 sin(B x

2n 3

$ ) 2n+1

2

+ (–1)

 

 

 

x

, 0 < B < 1.

(2n 3)!

 

 

 

 

 

3. Розклад за формулою Тейлора функції у = cos x в точці х0 = 0. Насамперед обчислимо:

y = cos x;

y(0) = 1;

y' = –sin x;

y'(0) = 0;

y'' = –cos x;

y''(0) = –1;

y''' = sin x;

'''

y (0) = 0;

y(iv) = cos x;

y(iv) = 1;

………………

Далі за формулою Тейлора (Т) дістаємо:

cos x = 1 –

1

х2 +

1

х4

–

1

 

х6

+

 

1

 

х8

– … + (–1)n

1

x2n +

2!

4!

6!

8!

(2n)!

+ (–1)n+1

cos(B x (n 1)$ )

x2n+2,

 

0 < B < 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n 2)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Розклад функції y (1 x) , де m — довільне число. Наприклад:

y (1 x) ;

 

 

 

y(0) = 1;

 

 

 

y' (1 x) 1 ;

 

 

 

y'(0) ;

 

 

 

y'' ( 1)(1 x) 2 ;

 

 

y''(0) ( 1) ;

 

 

 

y''' ( 1)( 2)(1 x)

3

;

'''

 

2)

;

 

 

y (0) ( 1)(

 

............

 

 

 

...........

 

 

 

За формулою Тейлора (Т) отримаємо розклад:

 

 

 

(1 x) = 1 + х +

( 1) х2 + ( 1)( 2)

х3

+ ... +

1!

2!

 

3!

 

 

 

+ ( 1)( 2)...( k 1) хk + ...

k!

280

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Цей ряд названо формулою бінома Ньютона на честь її відкрива+ ча. Якщо — натуральне число, то ряд містить скінчене число до+ данків.

5. Розклад функції у = ln(1 + x). Наприклад: y = ln(1+x); y(0) = 0;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

y' = 1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

y (0) = 1;

 

 

 

y'' = (–1)

1

;

 

 

 

y''(0) = –1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 x)2

 

 

 

 

 

y''' = (–1)(–2)(1+х)–3;

 

 

y'''(0) = 2!;

 

 

 

y(iv) = (–1)(–2)(–3)(1+х)–4;

y(iv) = –3!;

 

 

 

………

 

 

 

 

 

 

 

 

………

 

 

 

 

ln(1+x) =

1

х –

1

х2 +

2!

х3 + ... +

 

1 n 1

 

(n 1)!

хn

 

 

1!

2!

3!

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

або

ln(1+x) = х – 1 х2 + 1 х3 + ... + хn + R.

2 3

281

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности