Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
§1.2. Визначники
1.2.1. Теоретичні відомості
Число називається визначником (детермінантом) другого порядку і позначається так:
|
a11 |
a12 |
a a |
22 |
a |
a . |
(1.1) |
|
a21 |
a22 |
11 |
21 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа а11, а12, а21, а22 — елементи визначника, причому перша циф+ ра індексу у записі числа вказує на номер рядка, в якому стоїть цей елемент, а друга цифра індексу — на номер стовпчика. Діагональ, на якій розміщені елементи а11 і а22, називається головною діагоналлю, а діагональ, на якій знаходиться а12 і а21, називається побічною. Отже, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів го+ ловної та побічної діагоналей.
Аналогічно, визначником третього порядку називається число, що утворюється з дев’яти чисел за таким правилом:
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
= а а а + а а а + а а а – а а а – |
|||||||||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
11 |
22 |
33 |
21 |
32 |
13 |
31 |
12 |
23 |
31 |
22 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
— а12а21а33 – а11а23а32. |
|
|
|
|
|
(1.2) |
|||||
Ця сума складається з шести додатків. В кожний додаток вхо+ дить по одному числу з кожного рядка і в той ж час по одному еле+ менту кожного стовпчика. Знаки додатків легко запам’ятати корис+ туючись схемами:
+ |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Нагадаємо основні властивості визначників третього порядку.
1.Величина визначника не зміниться, якщо його рядки замінити стовпчиками, причому кожен рядок замінюють стовпчиком з тим же самим номером.
2.Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки (або два стовпчики), то визначник змінює знак на протилежний, зберіга+ ючи абсолютне значення.
3.Якщо визначник має два однакових стовпчика або два однако+ вих рядка, то він дорівнює нулю.
4.Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то значення його дорівнює нулю. Якщо елементи деякого рядка (стов+ пчика) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.
5.Якщо всі елементи деякого рядка (стовпчика) помножити на одне й те ж число, то значення визначника також помножиться на це число. Звідси зрозуміло, що спільний множник всіх елементів рядка (стовпчика) можна винести за знак визначника.
6.Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпчика) є сума двох доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох виз+ начників: в першому з них на місці кожної суми лишається тільки перший доданок, а в другому — тільки другий доданок (інші елемен+ ти визначника зберігаються).
7.Значення визначника не змінюється, якщо до елементів деякого рядка (стовпчика) додати відповідні елементи іншого паралельного рядка (стовпчика), помноживши їх попередньо на одна й те ж число.
Якщо у визначнику (1.2) викреслити і тий рядок і j+тий стовп+ чик, на перетині яких розміщено елемент аij, то одержимо визначник другого порядку, який називається мінором Мij елемента аij. Алгеб
раїчним доповненням Аij елемента аij визначника (1.2) називається відповідний йому мінор зі знаком, який обчислюється за таким пра+ вилом:
А |
= (–1)i+j М . |
(1.3) |
ij |
ij |
|
Ще одна властивість визначника.
8. Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпчика) на відповідні їх алгебраїчні доповнення.
Якщо за цим правилом розкрити визначник (1.2) по першому рядку, то одержимо:
1 4
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
= а А + а А + а А =а |
a22 |
a23 |
|
– а |
a21 |
a23 |
+ |
||||||||||
11 |
11 |
12 12 13 13 |
11 |
a |
a |
|
12 |
a |
a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
33 |
|
|
31 |
33 |
|
||
+ а13 |
|
a21 |
a22 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
31 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.2. Розв’язання прикладів |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приклад 1.11. Обчислити визначник |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
2 |
3 |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язок. Зробимо це двома способами:
а) Обчислимо визначник розкладаючи його за елементами треть+
ого рядка (користуючись властивістю 8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= а А |
+ а А |
+ а А = 4(–1)3+1 |
|
7 |
5 |
|
+ 2(–1)3+2 |
|
3 |
5 |
|
|
+ |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
1 |
3 |
|
|
||||||||||
31 |
31 |
32 |
32 |
33 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ (–11)3+3 |
|
3 |
7 |
|
= 4 1((–7)3 – 5(–2)) + 2(–1)(3 3 — 5 1) + |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
||||||||||||||
+ (–11)1((3(–2) – (–7)1) = –44 – 8 – 11 = –63.
б) В цьому випадку утворимо нулі у другому рядку (бо в ньому є одиниця, або ж вибирається той рядок (чи стовпчик), в якому є пропорційні елементи). Для цього до елементів другого стовпчика додамо елементи першого, попередньо помноживши їх в уяві на 2, потім до елементів третього стовпчика додамо елементи першого стовпчика, помножені перед тим на –3. Значення визначника при цьому, згідно властивості 7, не зміниться.
1 5
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
= |
|
3 |
7 |
|
5 |
|
3 |
7 3 2 5 3( 3) |
|
|
|
3 |
|
|
1 4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
= |
1 |
2 1 2 |
3 1( 3) |
|
= |
|
1 |
0 |
0 |
|
= |
|||||||
|
|
|
4 |
2 11 |
|
4 |
2 4 2 11 4( 3) |
|
|
|
4 |
10 23 |
|
|
|
||||||||
= а |
А |
+ а А |
|
+ а А |
= 1А |
+ 0А |
+ 0А = 1(–1)2+1 |
|
1 |
4 |
|
+ |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
10 |
23 |
|
|||||||||||||||||||
21 |
21 22 |
22 |
|
23 |
23 |
21 |
22 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ 0 + 0 = –1(23 + 40) = –63.
Приклад 1.12. Обчислити визначник третього порядку
1 2 3= 1 4 7 .
2 6 13
Розв’язок. Перетворимо визначник таким чином, щоб нижче від головної діагоналі всі елементи його стали нулями. Тоді визначник дорівнює добутку діагональних елементів.
Знайдемо різницю першого і другого рядків, а потім помножимо перший рядок на 2 і віднімемо від третього рядка. Дістанемо визначник
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
= |
1 |
4 |
7 |
= |
0 |
2 |
4 |
. |
|
2 |
6 |
13 |
|
0 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Віднявши другий рядок від третього, дістанемо:
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
= |
1 |
4 |
7 |
= |
0 |
2 |
4 |
= |
0 |
2 |
4 |
1 2 3 6. |
|
2 |
6 |
13 |
|
0 |
2 |
7 |
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 1.13. Обчислити визначник четвертого порядку
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||
= |
3 |
0 |
1 |
5 |
|
. |
|
1 |
2 |
0 |
3 |
|
|
|
2 |
4 |
1 |
6 |
|
|
1 6
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
Розв’язок. Додамо перший рядок до другого і четвертого, утво+ ривши визначник
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||
= |
|
4 |
2 |
0 |
7 |
|
. |
|
1 |
2 |
0 |
3 |
|
||
|
|
1 |
2 |
0 |
8 |
|
|
Переставимо місцями перший і третій стовпчики:
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
= |
0 |
2 |
4 |
7 |
. |
|
0 |
2 |
1 |
3 |
|
|
0 |
2 |
1 |
8 |
|
Додамо другий рядок до третього і четвертого рядків і винесемо спільний множник елементів третього і четвертого рядків:
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
2 |
4 |
7 |
|
|
|||||
= |
= 5 3 |
0 2 4 7 |
. |
||||||||
0 |
0 |
5 |
10 |
||||||||
|
0 |
0 |
3 |
15 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Віднявши третій рядок від четвертого, одержимо:
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
3 |
0 |
2 |
4 |
7 |
( 5 3) 1 2 1 3 90. |
|
0 0 |
1 2 |
||||||
= 5 |
|||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
1 7
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
1.2.3. Приклади для самостійного розв’язку
Приклади 1.14. – 1.28. Обчислити визначники.
|
3 |
4 |
5 |
|
|
25 |
8 |
3 |
|
|
7 |
8 |
3 |
|
1.14. |
1 |
2 |
2 |
. |
1.15. |
3 |
4 |
1 |
. |
1.16. |
3 |
1 |
4 |
. |
|
13 7 |
4 |
|
|
2 5 2 |
|
|
2 |
6 |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
5 |
6 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.17. |
1 |
|
2 |
3 |
. |
|
1.18. |
2 |
|
10 |
5 |
|
|
. |
1.19. |
|
|
|
7 |
12 |
5 |
|
|
. |
|||||||
|
7 4 4 |
|
|
|
|
4 |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 3 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
20 3 7 |
|
|
|
|
1 |
2 3 |
|
|
|
|
|
3 2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1.20. |
5 |
6 |
1 |
. |
|
1.21. |
9 |
|
5 |
|
7 |
|
. |
1.22. |
7 |
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|||||||||
|
2 4 3 |
|
|
|
8 |
4 3 |
|
|
|
|
|
9 2 3 |
|||||||||||||||||||
|
4 |
5 5 |
|
|
|
|
2 1 4 |
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1.23. |
1 |
|
0 |
3 |
. |
|
1.24. |
14 |
3 |
0 |
|
. |
1.25. |
2 |
8 |
|
15 |
|
. |
||||||||||||
|
7 |
11 2 |
|
|
|
|
|
|
6 2 1 |
|
|
|
|
|
1 3 6 |
|
|
||||||||||||||
|
4 |
|
5 |
3 |
|
|
|
6 |
4 |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.26. |
4 |
0 |
2 |
. |
1.27. |
|
12 |
3 |
1 |
. |
1.28. |
|
|
|
2 |
9 |
|
4 |
|
. |
|||||||||||
|
2 11 6 |
|
|
|
6 0 1 |
|
|
|
|
5 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 8