Розділ II. Аналітична геометрія

Розділ ІІ. Аналітична геометрія

§2.1. Прямокутні координати в просторі. Основні задачі

Прямокутна система координат складається із трьох взаємопер+ пендикулярних осей, що перетинаються в одній точці, які назива+ ються осями координат. Точка перетину осей називається почат, ком координат і позначається буквою О. Координатні осі позначаються через Ох, Oy i Oz і відповідно називаються віссю аб, сцис, віссю ординат і віссю аплікат.

На кожній вісі вибирається додатний напрям, що вказується стрілкою, та одиниця міри.

Координатні осі Ох, Oy i Oz попарно визначають площини xOy, xOz i yOz, що перетинаються в одній точці О (рис. 2.1).

Координатні площини xOy, xOz i yOz поділяють простір на вісім частин, які називаються октантами (рис. 2.1)

Z

X

VIII

Рис. 2.1.

7 9

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Положення точки М відносно взятих осей визначається відрізка+ ми ОА, ОВ, ОС (рис. 2.2) відповідно рівними відстаням тачки М від координатних площин. Величини цих відрізків виражаються числа+ ми, якщо виміряти їх якою+небудь одиницею міри (е).

Число x AOe — називається абсцисою точки М.

Число y OBe — називається ординатою точки М.

Число z OCe — називається аплікатою точки М.

Таким чином, положення будь+якої точки в просторі визначаєть+ ся трійкою чисел (x; y; z), які називаються її координатами.

Z

C

z

A x

X

Рис. 2.2.

Координати точок, що розміщені в різних частинах, мають на+ ступні знаки:

Таблиця 2.1.

8 0

Розділ II. Аналітична геометрія

Точки, що лежать на координатних площинах мають одну із ко+ ординат, яка дорівнює нулю.

Між трьома числами (x; y; z) і точками простору встановлена взаємно однозначна відповідність. Кожній трійці чисел відповідає одна і тільки одна точка простору і, навпаки, кожній точці простоA ру відповідає одна трійка чисел (x; y; z).

2.1.1. Відстань між двома точками

Якщо точки М1(x1; y1) та М2(x1; y2) належать двомірному просто+ ру R2, то відстань між двома точками визначається за формулою:

Якщо ж точки М1(x1; y1; z1) та М2(x2; y2; z2) належать трьохмірно+ му простору R3, то відстань між двома точками визначається за фор+ мулою:

2.1.2. Поділ відрізка в заданому відношенні

Якщо точка М(x; y; z) поділяє відрізок, що визначений точками

Увипадку, якщо точка М поділяє відрізок М1М2 навпіл, тоді l = 1,

ікоординати точки М визначаються за формулами:

8 1

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

2.1.3. Площа трикутника

Площа трикутника за відомими координатами його вершин A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3) обчислюється за формулою:

Задача 2.2. Точка М(а; b) знаходиться у першому координат+ ному куті. Визначити координати точки N, яка симетрична точці М відносно бісектриси цього координатного кута.

Розв’язок. Оскільки точка N симетрична точці М відносно бісект+ риси першого координатного кута, то вона лежить з точкою М на пер+ пендикулярі, який проведений до бісектриси ОР і МР = РN (рис. 2.4).

Враховуючи це, а також те, що в трикутниках OMP i OPN катет ОР – спільний, маємо, що ці прямокутні трикутники рівні між со+ бою. Розглянемо тепер трикутники ONE i OMD. Прийдемо до вис+ новку, що вони рівні, cкільки будучи прямокутними вони мають рівні гіпотенузи і рівні гострі кути MOD i ONE.

8 2

Розділ II. Аналітична геометрія

Задача 2.3. Знайти відстань між точками M1(4; –5) і M2(7; –1). Розв’язок. За формулою (2.1) для відстані d між двома точками,

якщо взяти в ній x1 = 4; x2 = 7; y1 = –5; y2 = –1, одержуємо:

d (7 4)2 ( 1 ( 5))2 32 42 9 16 25 5 .

Задача 2.4. Задана точка Р(3; 5; 2). Знайти координати точки, що симетрична з точкою Р:

1) відносно початку координат;

2)відносно площини xOz;

3)відносно осі Oy.

Розв’язок.

1)Точка Р лежить в І октанті, симетрична їй точка відносно по+

чатку координат Р1 буде знаходитися в VII октанті. Її координати – Р1(–3; –5; –2).

2)Точка Р2, симетрична точці Р відносно площини xOz, буде зна+ ходитися в IV октанті, отже, її координата Р2(3; –5; 2).

3)Точка Р3, симетрична точці Р відносно осі Oy, буде знаходити+ ся в VІ октанті, отже, її координати Р3(–3; 5; –2).

Задача 2.5. Показати, що один із внутрішніх кутів трикутника А(3; 5; 3), В((2; –1; 4), С(0; –2; 1) тупий.

Розв’язок. Знайдемо довжини сторін трикутника за формулою (2.2):

d (x2 x1 )2 (y2 y1 )2 (z2 z1 )2 .

8 3

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Розглянемо співвідношення між числами, що виражають квадра+ ти сторін даного трикутника:

38 + 14 = 52, 62 > 52, 62 > 38 + 14,

тобто

АС2 > AB2 + BC2.

Отже, сторона АС лежить проти тупого кута. Кут В – тупий.

Задача 2.6. На осі Oz знайти точку, рівновіддалену від двох то+ чок М(–2; 1; 4) і N(3; 0; 1).

Розв’язок. Точка, що лежить на осі Oz має координати Р(0; 0; z). Знайдемо відстані МР і NP:

MP (0 2)2 (0 1)2 (z 4)2 4 1 (z 4)2

5 z2 8z 16 z2 8z 21;

Згідно умови, що MP = PN, одержуємо:

z2 8z 21 z2 2z 10 .

Розв’язавши одержане рівняння, знаходимо аплікату точки Р: z2 –8z + 21 = z2 –2z + 10;

–6z = –11; z = 11/6.

Р(0; 0; 11/6).

Задача 2.7. Знайти координати кінця В відрізка, якщо один кінець відрізка — точка А(–5; –7), а середина відрізка — С(–9; –12).

8 4

Розділ II. Аналітична геометрія

координати середини відрізка позначено через x i y. За умовою за+ дачі x = –9; y = –12.

Координати одного кінця відрізка точки А в цих формулах: x1 = –5; y1 = –7. Координати відрізка точки В (другого кінця відрізка) — ве+ личини невідомі, позначені через x2 i y2.

Тоді за формулою (2.4) для визначення цих невідомих одержує+ мо два рівняння:

Задача 2.8. Відрізок М1М2, що з’єднує точки М1(2; 5) і М2(4; 9), розділити в відношенні l = 1/3.

Розв’язок. Умова задачі вимагає знайти координати точки Р, що ділить відрізок М1М2 у відношенні l = 1/3.

Використовуючи формули (2.3), точку М1(2; 5) будемо вважати початком відрізка, а точку М2(4; 9) — його кінцем. Тоді x i y — коор+ динати точки Р, які ми шукаємо, x1 i y1 – координати точки М1, x2 i y2 — координати точки М2; l = 1/3. Отже, у нас x1 = 2; x2 = 4; y1 = 5;

Точка Р має координати Р(5/2; 6).

Задача 2.9. Визначити координати кінця відрізка АВ, якщо відо+ мо, що його початок в точці А(–1; 2; 4) і точка М(2; 0; 2) відтинає від нього третю частину.

8 5

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Розв’язок. Точка М відтинає від відрізка АВ третю частину його

довжини, ділить його в відношенні l = AMMB 12 .

Використаємо формули поділу відрізка в заданому відношенні (2.3):

В(8; –4; –2).

Задача 2.10. Задано дві вершини трикутника: А(–3; –2; 2), В(4; 1; –2). Знайти третю вершину С, знаючи, що середина сторони АС лежить на осі Oy, а середина сторони ВС — на площині xOz.

Розв’язок. Позначимо середину сторони АС буквою М. Так як вона лежить на осі Oy, то її координати М(0; yM; 0). Середину сторони ВС позначимо як N, яка лежить на площині xOz, N(xN; 0; zN). Скористав+ шись формулами поділу відрізка навпіл, одержимо:

8 6

Розділ II. Аналітична геометрія

С(3; –1; 2).

2.1.5. Задачі для самостійного розв’язку

2.11.Встановити, які координати має точка симетрична точці

(–3; 5):

a) відносно осі Ох; b) відносно осі Oy;

c) відносно початку координат;

d) відносно бісектриси І та ІІІ координатних кутів; e) відносно бісектриси ІІ та IV координатних кутів.

2.12.На якій відстані від початку координат знаходяться точки: M(3; 4), N(12; –5); P(7; –24); Q(–6; –8)?

2.13.Знайдіть периметр трикутника, якщо координати його вер+ шин А(–3; –6); В(4; –1); С(5; –2).

2.14.Визначити вид трикутника якщо координати його вершин А(2; –5); В(–7; –4); С(–1; 6).

2.15.Точка, рухаючись рівномірно та прямолінійно, за 4 сек пе+ ремістилась із положення А(6; –7) в положення В(–4; 5). Де знахо+ дилась точка в момент часу 2 сек?

2.16. На осі ординат знайти точку, рівновіддалену від точок М1(1; –3; 7) і М2(5; 7; –5).

2.17. Задано три послідовні вершини паралелограма: А(1; 1); В(2; 2); С(3; –1). Знайти його четверту вершину D.

2.18.Задано дві вершини А(2; –3; –5), В(–1; 3; 2) паралелограма ABCD і точка перетину його діагоналей М(4; –1; 7). Визначити коор+ динати двох інших вершин цього паралелограма.

2.19.Задано вершини трикутника А(3; 2; –1); В(5; –4; 7) і С(–1; 1; 2). Обчислити довжину його медіани, що проведена із вер+ шини С.

2.20.Задано вершини трикутника А(1; –1; –3), В(2; –1; 3), С(–4; 7; 5). Обчислити довжину бісектриси його внутрішнього кута при вершині В.

8 7