1.4 Расчет сложных цепей постоянного тока

В ходе расчёта сложной цепи необходимо определить некоторые электрические параметры (в первую очередь токи и напряжения на элементах) на основе исходных величин, заданных в условии задачи. На практике используются несколько методов расчёта таких цепей. Для определения токов ветвей можно использовать: метод, базирующийся на основании непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых напряжений.

Для проверки правильности вычисления токов необходимо составить баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что алгебраическая сумма мощностей всех источников питания цепи равна арифметической сумме мощностей всех потребителей.

Мощность источника питания равна произведению его ЭДС на величину тока, протекающего через данный источник. Если направление ЭДС и тока в источнике совпадают, то мощность получается положительной. В противном случае она отрицательна.

Мощность потребителя всегда положительна и равна произведению квадрата тока в потребителе на величину его сопротивления (1.3) .

Математически баланс мощностей можно записать в следующем виде:

, (1.19)

где	n	–	количество источников питания в цепи;
	m	–	количество потребителей.

Если баланс мощностей соблюдается, то расчет токов выполнен правильно.

В процессе составления баланса мощностей можно выяснить, в каком режиме работает источник питания. Если его мощность положительна, то он отдает энергию во внешнюю цепь (например, как аккумулятор в режиме разряда). При отрицательном значении мощности источника последний потребляет энергию из цепи (аккумулятор в режиме заряда).

1.4.1 Методика расчета сложной цепи с помощью непосредственного применения законов Кирхгофа

1 Вычерчиваем принципиальную схему электрической цепи и обозначаем все её элементы.

2 Выявляем в данной цепи узлы, ветви и контуры.

3 Произвольно задаемся направлением тока в каждой ветви и обозначаем эти токи.

4 По первому закону Кирхгофа составляем узловые уравнения, число которых должно быть на единицу меньше количества всех узлов цепи. Для одного любого узла уравнение не составляется.

5 По второму закону Кирхгофа составляем уравнения, число которых равно разности между количеством неизвестных токов (числом ветвей) и количеством уравнений, составленных по первому закону. Для уравнений по второму закону Кирхгофа рекомендуется выбирать независимые контуры.

6 Решаем любым способом полученную систему относительно токов ветвей и определяем их.

Если в результате расчета некоторые токи имеют отрицательную величину, то это значит, что при произвольном выборе их направления допущена ошибка. Истинное направление отрицательных токов противоположно ранее принятому.

Пример 1.2. Расчёт сложной цепи с помощью законов Кирхгофа

В качестве примера рассмотрим расчет цепи, изображенной на рисунке 1.4, у которой Е₁ = 24 В,Е₂ = 12 В,r₁ =r₂ = 4 Ом,r₃ = 1 Ом,r₄ = 3 Ом.

Решение. При расчете с помощью непосредственного применения законов Кирхгофа по первому закону составляем одно уравнение, так как в цепи два узла. По второму закону составляем два уравнения, так как в схеме три неизвестных тока, а по первому закону было уже составлено одно уравнение. Таким образом, разница между числом неизвестных токов и числом уравнений по первому закону составляет два. Искомая система имеет вид:

После решения системы уравнений получаем: I₁ = 3 А,I₂ = 0A,I₃ = – 3 А.

Отрицательный знак у третьего тока указывает, что при произвольном выборе направления этого тока мы ошиблись, истинное направление его, противоположно ранее принятому.

Правильность расчёта токов определяем с помощью баланса мощностей.

Для цепи на рисунке 1.4 имеем:

,

,

.

Баланс мощностей соблюдается, значит, расчет выполнен правильно.