1.3 Расчет простых цепей постоянного тока

Целью расчёта электрической цепи является определение некоторых параметров на основе исходных данных, из условия задачи. На практике используют несколько методов расчёта простых цепей. Один из них базируется на применении эквивалентных преобразований, позволяющих упростить цепь. Под эквивалентными преобразованиями в электрической цепи подразумевается замена одних элементов другими таким образом, чтобы электромагнитные процессы в ней не изменились, а схема упрощалась. Одним из видов таких преобразований является замена нескольких потребителей, включённых последовательно или параллельно, одним эквивалентным.

Несколько последовательно соединённых потребителей можно заменить одним, причём его эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений потребителей, включённых последовательно. Для n потребителей можно записать

r_э = r₁ +r₂+…+r_n , (1.13)

где r₁ ,r₂,..., r_n– сопротивления каждого изnпотребителей.

При параллельном соединении n потребителей эквивалентная проводимостьg_эравна сумме проводимостей отдельных элементов, включённых параллельно,

g_э=g₁ + g₂ +…+ g_n .(1.14)

Учитывая, что проводимость является обратной величиной по отношению к сопротивлению, можно эквивалентное сопротивление определить из выражения

, (1.15)

где r₁,r₂, ..., r_n– сопротивления каждого изnпотребителей, включённых параллельно.

В частном случае, когда параллельно включены два потребителя r₁ и r₂ , эквивалентное сопротивление цепи

. (1.16)

Преобразования в сложных цепях, где отсутствует в явном виде последовательное и параллельное соединение элементов (рисунок 1.5), начинают с замены элементов, включённых в исходной схеме треугольником, на эквивалентные элементы, соединённые звездой.

Рисунок 1.5 – Преобразование элементов цепи, соединённых

треугольником, в эквивалентную звезду

На рисунке 1.5, атреугольник элементов образуют потребителиr₁,r₂,r₃. На рисунке 1.5,бэтот треугольник заменён эквивалентными элементами r_a,r_b, r_c, соединёнными звездой. Чтобы не происходило изменение потенциалов в точкахa, b, с схемы, сопротивления эквивалентных потребителей определяются из выражений:

, , . (1.17)

Упрощение исходной цепи можно также осуществить заменой элементов, соединённых звездой, схемой, в которой потребители соединены треугольником.

В схеме, изображённой на рисунке 1.6, а, можно выделить звезду, образованную потребителями r₁, r₃,r₄. Эти элементы включены между точкамиc, b, d. На рисунке 1.6,бмежду этими точками находятся эквивалентные потребители r_bc, r_cd, r_bd, соединённые треугольником. Сопротивления эквивалентных потребителей определяются из выражений:

. (1.18)

Дальнейшее упрощение схем, приведённых на рисунках 1.5, би 1.6,б, можно осуществлять путём замены участков с последовательным и параллельным соединением элементов их эквивалентными потребителями.

При практической реализации метода расчёта простой цепи с помощью преобразований выявляются в цепи участки с параллельным и последова- тельным соединением потребителей, а затем рассчитываются эквивалентные сопротивления этих участков. Если в исходной цепи в явном виде нет таких участков, то, применяя описанные ранее переходы от треугольника элементов к звезде или от звезды к треугольнику, проявляют их. Данные операции позволяют упростить цепь. Применив их несколько раз, приходят к виду с одним источником и одним эквивалентным потребителем энергии. Далее, применяя законы Ома и Кирхгофа, рассчитывают токи и напряжения на участках цепи.

Рисунок 1.6 – Преобразование элементов цепи,

соединённых звездой, в эквивалентный треугольник

Пример 1.1. Расчёт разветвлённой электрической цепи постоянного тока

В заданной цепи постоянного тока, изображённой на рисунке 1.7, определить токи ветвей.

Д а н о :

E = 100B,r₁ = 4 Ом,r₂ = 6 Ом,r₃ = 5 Ом,r₄ = 1 Ом ,r₅ = 3 Ом.

Решение. Задаёмся направлением токов всех ветвей и обозначаем эти токи на схеме. При определении направления тока следует учитывать тот факт, что ток в ветви течёт от большего потенциала к меньшему. Далее выполняем эквивалентные преобразования в цепи и последовательно упрощаем схему. Начинаем с замены двух последовательно включенных резисторов r₃ и r₄ одним эквивалентным. Схема упрощается и имеет вид, изображённый на рисунке 1.8, а.

Резистор r₃₄рассчитывают следующим образом (при последовательном соединенииr₃иr₄):

r₃₄=r₃ +r₄= 5+1= 6 Ом.

Рисунок 1.7 – Схема разветв-

лённой электрической цепи

постоянного тока

Дальнейшее упрощение схемы происходит в результате замены параллельно включенных резисторовr₂иr₃₄однимr₂₃₄ (рисунок 1.8,б). Эквивалентное сопротивление двух резисторов, включенных параллельно, можно определить из выражения (1.16):

r₂₃₄ =r₂r₃₄/ (r₂ +r₃₄) = 6∙ 6 / (6 + 6) = 3 Ом.

Окончательное упрощение цепи происходит после замены трех последовательно соединенных резисторов r₁,r₂₃₄, иr₅одним эквивалентным для всей цепи (рисунок 1.8,в):

r_э=r₁ +r₂₃₄ +r₅= 4 + 3 + 3 = 10 Ом.

Рисунок 1.8 – Эквивалентные схемы заданной цепи

В соответствии с законом Ома

I₁ = E/r_э = 100/10 = 10 А.

Так как преобразования выполнялись эквивалентными, то ток I₁ будет одинаковым для всех цепей на рисунках 1.7 и 1.8.

Для определения токов I₂иI₃ на участке после разветвления цепи необходимо найти напряжениеU_abмежду точкамиaиb, а затем, зная сопротивление ветвей, можно рассчитать токи в ветвях, включённых параллельно.

Межузловое напряжение U_abнаходим из схемы, изображённой на рисунке 1.8, б. Здесь оно равно падению напряжения на резистореr₂₃₄:

U_ab = I₁r₂₃₄ = 10 ∙ 3 = 30 В.

Токи после разветвления, на основании закона Ома, находим из выражений:

I₂ = U_ab/r₂ = 30 / 6 = 5 А, I₃ = U_ab / r₃₄ = 30 / 6 = 5 А.

Если подходящий к узлу ток разветвляется только на две ветви (как в данном примере), то путь нахождения токов после разветвления по известному току до разветвления можно сократить, исключая этап нахождения напряжения U_ab . Для такого частного случая можно воспользоваться формулой разброса. Структура формулы разброса – ток одной из ветвей после разветвления равен току до разветвления, умноженному на дробь. В числителе этой дроби – сопротивление соседней по отношению к определяемомутоку параллельной ветви, a в знаменателе – сумма сопротивлений ветвей, включенных параллельно.

Для определения тока I₂ формула разброса имеет вид

I ₂ = I₁ r₃₄/(r₂ + r₃₄) = 10 ∙ 6/ (6 + 6) = 5 A.

Третий ток в соответствии с этой формулой

I₃ = I₁r₂/(r₂ + r₃₄) = 10 ∙ 6/ (6 + 6) = 5 A.