4. Системы линейных алгебраических уравнений

4.1. Основные понятия

Системой n линейных уравнений с m неизвестными (переменными) называется система вида

Система (4.1) называется совместной (разрешимой), если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется

несовместной (неразрешимой).

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Если ввести матрицу А , составленную из коэффициентов при не-

49

свободных членов, то систему (4.1) можно переписать в матричной форме:

А× Х = В .

Расширенной матрицей системы (4.1) называется матрица

получаемая из матрицы A добавлением к ней справа столбца свободных членов.

Критерием совместности системы (4.1) является

Теорема Кронекера-Капелли: для совместности системы (4.1)

необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы A равнялся рангу расширенной матрицы Аb .

При выполнении этого условия, если r( ) = r(~ ) = r , то в сл учае

A A

r = n система (4.1) является определенной (имеет единственное решение), а в случае r < n является неопределенной.

4.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

Если в системе (4.1) число уравнений m равно числу неизвестных n, то она примет вид:

50

Так как матрица А системы (4.2) – квадратная, то при условии

det A ≠ 0 существует обратная матрица А-1 и тогда (4.2), являясь частным случаем матричного уравнения А Х = В , имеет единствен-

ное решение Х = А-1 В . Такой метод решения системы (4.2) называ-

ется матричным или методом обратной матрицы.

Другим методом решения системы (4.1) в случае выполнения условия det A ≠ 0 является правило Крамера: если определитель матрицы А системы (4.2) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое из формул:

xi = ∆∆i , i =1, n ,

где ∆i – определитель, полученный из определителя матрицы A заменой его i-го столбца столбцом свободных членов, .

Пример 4.1. Решить систему уравнений

Следовательно, матрица А неособенная и для нее существует обратная матрица А-1 . Найдем алгебраические дополнения матрицы А :

51

52

14 −1

Значит, система является определенной. Для нахождения ее решения вычисляем вспомогательные определители ∆1, ∆2 , ∆3 , заменяя в

определителе ∆ 1-ый, 2-ой и 3-й столбцы столбцом свободных членов:

По формулам Крамера находим:

53

4.3. Метод Гаусса решения и исследования систем линейных уравнений

Метод Гаусса применяется для решения систем m линейных уравнений с n неизвестными, заданной в общем виде (4.1). Этот метод иначе называют методом последовательного исключения неизвестных.

Элементарными преобразованиями системы (4.1) называются:

1)перемена местами любых двух уравнений системы;

2)умножение обеих частей какого-либо из уравнений систе-

мы на число λ ≠ 0;

3)прибавление к одному из уравнений другого уравнения, умноженного на произвольное число λ ;

4)удаление из системы уравнения вида 0 х1 +0 х2 +...+0 хn = 0

Можно доказать, что элементарные преобразования системы (4.1) приводят к системе, равносильной (эквивалентной) исходной.

Метод Гаусса состоит из двух частей: прямого и обратного хода. В результате прямого хода система приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида с помощью элементарных преобразований (если при этом процессе не обнаружится несовместность системы). Второй этап решения задачи, называемый обратным ходом, состоит в последовательном нахождении значений неизвест-

ных хn , xn−1, ..., x1 из полученной в результате прямого хода системы специального вида.

Решение системы методом Гаусса обычно осуществляют, работая с расширенной матрицей коэффициентов системы, в которой каждой строке соответствует уравнение исходной системы.

Пример 4.3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Переставив первое и третье уравнение системы, получим расширенную матрицу вида:

54

Так как а11 =1≠ 0, то с помощью первого уравнения искл ючим х1

из всех остальных уравнений, для чего первую строку матрицы (4.5) умножим на (−2) и сложим с третьей, а затем вычтем первую строку

из четвертой. Получим:

Так как в новой матрице (4.6) а22' ≠ 0, то теперь с помощью второго уравнения исключим х2 из третьего и четвертого уравнения, для

чего от третьей строки вычтем вторую, умноженную на 3 и из четве р- той строки вычтем вторую, умноженную так же на 3. Получим ма т- рицу вида:

Так как в новой матрице (4.7) а33'' ≠ 0, то можно с помощью третьего уравнения исключить х3 из четвертого уравнения, для чего от

четвертой строки матрицы (4.7) вычтем третью, умноженную на 3. В результате придем к матрице:

55

Система, соответствующая матрице (4.8) является системой треугольного вида. Выпишем ее:

Такая система имеет единственное решение, которое находится с помощью обратного хода. Двигаясь от последнего уравнения к первому, получим:

Существуют различные методы приведения матрицы к ступенчатому виду. Для ручного счета удобны правила Гауссова исключения, реализуемые с помощью так называемого разрешающего элемента, который при вычислениях заключается в рамку и всегда должен

быть отличен от нуля. Первый шаг (исключение неизвестной х1 ) прямого хода выполняется с разрешающим элементом а11 ≠ 0, второй шаг (исключение неизвестного х2 ) с помощью а22' ≠ 0 ( е сли а22' = 0,

ресчет элементов матрицы выполняется по следующим правилам:

1) элементы разрешающей строки и всех выше расположенных строк остаются неизменными;

56

2)элементы разрешающего столбца, находящиеся ниже разрешающего элемента, обращаются в нули;

3)все прочие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника; преобразованный элемент аij' новой матрицы равен разно-

сти произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Элемент а11 = 2 ≠ 0 принимаем за разрешающий. Первую строку

составляем без изменения, остальные элементы первого (разрешающего) столбца заполняем нулями, а остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника:

57

В полученной матрице элементы второй и третьей строки разделим на 2.

На втором шаге разрешающим является элемент а22' = –1 ≠ 0 .

Первые две строки и первый столбец переписываем без изменения, под разрешающим элементом записываем нули, а остальные элемен-

ты вычисляем по правилу прямоугольника:

58

В полученной матрице элементы третьей строки разделим на 2 и

ты первых трех строк сохраняем без изменений, под разрешающим элементом запишем нуль. Остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника:

Так как система привелась к треугольному виду, то она имеет единственное решение. Найдем его, выписав систему, соответствующую последней матрице: