Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, матрица

является нижней треугольной матрицей третьего порядка.

Матрица произвольных размеров называется трапециевидной, если она имеет вид

где a11 a22 ... akk ≠ 0 .

3.2. Операции над матрицами и их свойства

Сложение матриц. Операция сложения вводится только для матриц одинаковых размеров.

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1)А +В = В + А (переместительное свойство);

2)(А +В)+С = А +(В +С) (сочетательное свойство);

3)А +О = А (роль нулевой матрицы).

26

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A = (aij )m×n на число α называется такая

матрица B = (bij )m×n , что bij = aaij (i =1, 2,…, m; j =1, 2,…, n).

Кратко пишут В = А a или В = a А . Из определения произведения матрицы на число вытекает, что:

1)(ab) А = a (bА) (сочетательное свойство относительно числового множителя);

2)a(А +В)= aА +aВ (распределительное свойство относительно суммы матриц);

3)(a +b) А = aА +bА (распределительное свойство относительно суммы чисел);

4)1 А = А (роль числового множителя 1);

5)0 А = 0 (роль нуля).

Разностью двух матриц A m×n и Вm×n называется матрица Сm×n ,

каждый элемент сij которой равен разности элементов аij и bij: сij = аij −bij , (i =1, 2,…, m); (j =1, 2,…, n). Кратко записывают

С = А – В .

Прежде чем ввести следующую операцию над матрицами, изучим некоторые правила обращения с символом Σ.

Символ Σ .

Для записи суммы слагаемых одинакового вида, различающихся только индексами, используется символ суммирования. Например,

n

∑ak = a1 +a2 + +ak + +an ;

k =1

n

∑αk βk =α1β1 +α2β2 + +αk βk + +αn βn .

k =1

Индекс k называется индексом суммирования. В качестве индекса суммирования может быть употреблена любая буква, причем справедливы следующие правила обращения с символом Σ:

27

1) индекс суммирования может быть изменен:

справа (или матрицы В на матрицу А слева) называется такая матрица

С = (сij )m×p , что

n

сij = аi1b1 j + аi 2b2 j +…+ аik bkj +…+ аinbnj = ∑aik bkj k =1

(i =1, 2,…, m; j =1, 2,…, n).

Произведением матрицы А на матрицу В справа обозначается C = AB (так же обозначается произведение матрицы В на матрицу А слева). Правило умножения матриц формулируется следующим образом: чтобы получить элемент сij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы С = А В , нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Произведение АВ существует только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В (такие матрицы называются согласованными). Оба произведения АВ и ВА можно определить лишь в то м случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, а число строк матрицы А совпадает с числом

столбцов матрицы В; тогда А = A m×n , В = Вn×m. При этом обе мат-

28

рицы АВ и ВА, как легко видеть, являются квадратными, но порядки их различны при m ≠ n . Для того, чтобы оба произведения АВ и ВА были определены и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы А и В являлись квадратными матрицами одного порядка.

Приведем несколько примеров умножения матриц:

1) произведение m×n матрицы А на n×1 матрицу столбец Х есть m×1 матрица столбец:

В обратном порядке эти матрицы перемножить нельзя;

2)произведение m×1 матрицы-столбца А на 1×n матрицу-строку

Весть m×n матрица:

3) произведение 1×n матрицы А на n×1 матрицу В есть 1×1 матрица:

b1

[a1 a2 an ] b2 = [a1b1 +a2b2 + + anbn ];bn

29

Таким образом, АВ = ВА = О, хотя А ≠ О, В ≠ О.

Рассмотрим свойства умножения матриц при условии сущ е- ствования всех произведений.

1)(АВ) С = А (ВС) (сочетательное свойство).

2)(А + В) С = А С + В С; А (В + С) = А В + А С (распределительное свойство относительно суммы матриц).

3)α(АВ) = (αА)В; А(αВ) = (Аα)В.

4)Еm×m Am×n = Am×n En×n = Am×n (роль единичной матрицы).

5)Оm×m Am×n = Am×n Оn×n = Оm×n (роль нулевой матрицы).

Выше отмечалось, что оба произведения АВ и ВА определены и имеют одинаковый порядок, если А и В есть квадратные матрицы одного порядка. Но и в этом случае не всегда АВ = ВА. Например, если

30

зом, вообще говоря АВ ≠ ВА .

Матрицы А и В называются перестановочными или коммути-

рующими, если АВ = ВА . Если А – произвольная квадратная матри-

ца n-го порядка, а D − диагональная матрица того же порядка, у которой все диагональные элементы равны между собой (такая матрица называется скалярной), то АD = DА .

Многочлены от матриц

Пусть А – произвольная квадратная матрица n-го порядка, k – натуральное число. Тогда k-й степенью матрицы А называется про-

Транспонирование матрицы

Рассмотрим произвольную матрицу Аm×n=(aij). Матрица, получающаяся из А заменой строк столбцами без изменения порядка их сле-

31