Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика / Uchebno-prakt.posobie (1 chast).pdf

Скачиваний:

193

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 387 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

3.4. Обратная матрица, ее свойства и вычисление

Квадратная матрица А n-го порядка называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля: ∆ = det A ≠ 0 . Если det A = 0 , то матрица А называется вырожденной.

Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = ВА = Е , где Е – единичная матрица. Обратную матрицу принято обозначать

А−1 . Можно показать, что если для данной матрицы А существует обратная, то она единственная.

Теорема 3.4. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы А была невырожденной. Тогда обратная матрица находится по формуле:

…

A−1 =

A12

A22

…

An2

(3.8)

…

det A

…

A2n

A1n

… Ann

−1

или A

А , где А – присоединенная к матрице А. Ее элементами

det

служат алгебраические дополнения транспонированной матрицы А′.

Пример 3.3. Найти			А−1 ,
a	b	, т.е. если det	a
A =		, т.е. если det	A =
c	d		c

Находим последовательно:

если она существует, для матрицы

b = ad −bc ≠ 0 . d

А = (−1)1+1 М

= d ,

А = (−1)1+2

= −с ,

А = (−1)

2+1 М

= −b ,

А = (−1)2+2 М

= а .

Тогда

−b

A−1 =

= ad −bc

ad −bc

ad −bc −c

−c

ad −bc

0 1 2

Пример 3.4. Найти А−1 , если она существует для A = 2 0 3 .

0 0 1

Решение. Вычисляем	det A =1 (−1)1+2	2	3	= −2 ≠ 0 . Находим
Решение. Вычисляем	det A =1 (−1)1+2			= −2 ≠ 0 . Находим
		0	1

алгебраические дополнения:
А =	0 3					= 0 ;						А = −				2 3						= −2;		А =					2 0				= 0 ;


11		0		1								12				0		1						13					0		0
		0		1												0		1											0		0
А = −			1 2						= −1;			А =		0 2					= 0 ;					А = −						0 1				= 0 ;
А = −			1 2						= −1;			А =		0 2					= 0 ;					А = −						0 1				= 0 ;
21				0	1							22		0			1							23						0	0
				0	1									0			1													0	0
А =		1 2					= 3 ;					А = −			0			2			= 4 ;			А =				0 1				= −2.


31		0		3								32			2			3						33				2			0
		0		3											2			3										2			0
				~					0			−1 3											0 1/ 2			−3/ 2
Тогда				~								0 4					A			−1				0			−2
Тогда				A =					−2			0 4	,				A						= 1	0			−2				.
										0														0		1
										0		0 −2											0	0		1
Проверкой убеждаемся, что
											0	1 2	0 1/ 2										−3/ 2		1 0						0
				АA				−1		=													−2	=											= Е .
				АA						=	2	0 3	1 0										−2	=	0 1						0				= Е .
																							1
											0	0 1	0 0										1		0 0						1
											0	1/ 2 −3/ 2						0					1 2		1 0						0
				A	-1		А			=		0	−2											=											= Е.
				A			А			=	1	0	−2					2					0 3	=	0 1						0				= Е.
												0	1
											0	0	1					0					0 1		0 0						1

Для невырожденных матриц имеют место следующие свойства:

1. (А-1)-1 = А; 2. (АВ) -1 = В-1А-1; 3. (Аn)-1 = (А-1)n; 4. (А-1)′ = (А′)-1,

справедливость которых рекомендуется проверить самостоятельно.

3.4.1. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы

Матричным назовем уравнение, в котором роль неизвестного играет некоторая матрица Х.

Простейшими примерами таких уравнений могут служить уравнения АХ = С, ХВ = С, АХВ = С , где Х и С – прямоугольные мат-

рицы равных размеров, А и В – квадратные матрицы соответствующих размеров. Если предположить, что матрицы А и В невырожденные, то эти уравнения имеют одно и только одно решение

Х = А-1С, Х = СВ-1								и		Х = А-1СВ-1					соответственно.					Действительно,
рассмотрим, например, уравнение														АХ = С , где				det А ≠ 0.			Умножая
слева обе части этого уравнения на															А−1,		получим:			А-1 (АХ)= А-1С,
(А-1А)Х = А-1С , ЕХ = А-1С, Х = А-1С.
Пример 3.5. Решить матричное уравнение:
3	−1		Х			5		6	=		14 16
			Х						=				.

5	−2					7		8			9 10
Решение.			Обозначая								А	3		−1		,	5	6		, С =	14 16			,
Решение.			Обозначая								А	=				,	В =			, С =				,
																						9
												5		−2			7	8				9	10
получим АХВ = С. Если det А ≠ 0,														det В ≠ 0 , то Х = А-1СВ-1 .
Находим det A				=			3 −1			= −6 +5 = −1,								−	2	1	2		−1	,
							3 −1											−	2	1	2		−1
																А−1 = (−1)				=
							5 −2												5			5
							5 −2											−	5	3		5	−3
det В =		5	6		= 40 −42 = −2 ,
det В =		5	6		= 40 −42 = −2 ,
		7	8
В−1 = − 1		8			−6			−			4	3			,
В−1 = − 1								=							,
2
2		−7				5		7 / 2 −5 / 2
2	−1 14 16 −4											3			19		22 −4			3		=	1 2
Х =															=							=		.
			9 10													43		7 / 2		−5 / 2
5	−3		9 10					7 / 2				−5 / 2				43	50	7 / 2		−5 / 2			3 4

3.4.2. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований ее строк.

Пусть А – невырожденная матрица. Назовем элементарными преобразованиями строк этой матрицы:

1.Перемену двух строк местами.

2.Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.

3.Прибавление ко всем элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на некоторое число.

Применяя указанные элементарные преобразования строк к матрице

		a11	a12	a1n	1	0	0


[A	E]=	a21	a22	a2n	0	1	0	,




			an2	ann	0	0	1
		an1

		1	0	0	b11	b12

		0	1	0	b21	b22
[E	B]=



		0	0	1	bn1	bn2

Поскольку А-1[А Е]= [А-1А А-1Е]= [Е А-1

b1n

b2n .

bnn

], то В = А−1. Отсюда

получаем следующий способ нахождения обратной матрицы А−1 ( при условии, что detА ≠ 0) :

1.Записываем матрицы А и Е рядом через черту: [А Е].

2.С помощью элементарных преобразований над строками полученной матрицы приводим ее к виду [Е В].

3.Выписываем обратную матрицу А-1 =В .

Пример 3.6. С помощью элементарных преобразований над стро-

			0	1	2
ками найти матрицу А	−1	, обратную матрице		0
ками найти матрицу А		, обратную матрице	А = 2	0	3 .
				0
			0	0	1

Решение. Выпишем матрицу [А Е], указывая выполняемые элементарные преобразования над строками (римскими цифрами указан

				0 1 2						1 0		0				2 0 3				0 1		0	: 2
				0 1 2						1 0		0				2 0 3				0 1		0	: 2

номер строки):				2			0		3	0	1	0				0	1	2		1	0	0
номер строки):				2			0		3	0	1	0				0	1	2		1	0	0

				0 0 1						0 0		1				0 0 1				0 0		1
				0 0 1						0 0		1				0 0 1				0 0		1
	1 0 3/ 2						0		1/ 2 0			3			1 0 0			0 1/ 2				−3/ 2
	1 0 3/ 2						0		1/ 2 0			3			1 0 0			0 1/ 2				−3/ 2
												I−2 ΙΙΙ
	0 1			2			1		0		0	ΙΙ−2 ΙΙΙ 0				1 0		1			0	−2		.
							0															1
	0 0 1						0		0 1						0 0 1			0 0				1
	0 0 1								0 1						0 0 1			0 0
				0				1/ 2		−3/ 2
Тогда А		−1							0		−2
Тогда А			= 1						0		−2	.
									0		1
				0					0		1
									0 1			2	0 1/ 2				−3/ 2				1	0 0
	Проверка. АА							−1			0			0			−2		=			1
	Проверка. АА								= 2		0	3	1	0			−2		=		0	1	0 .
																	1
									0 0			1	0 0				1				0	0 1
									0 1/ 2			−3/ 2 0				1 2				1 0		0
				А	-1	А =						−2						=
				А		А =			1 0			−2		2		0 3		=		0 1		0 .
												1
									0 0			1		0		0 1				0 0		1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 387 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика

#
20.02.20162.06 Mб195Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf
#
20.02.201619.02 Кб173Literatura VM-1.docx
#
20.02.201664.51 Кб90Metodicheskie ukazaniya po VM 1 semestr.doc
#
20.02.2016457.22 Кб97Rabochaya programma.doc
#
20.02.2016517.74 Кб91Tipovaja_programma_2015.pdf
#
20.02.20161.86 Mб193Uchebno-prakt.posobie (1 chast).pdf
#
20.02.201638.4 Кб103Voprosy k zachetu po VM 1semestr.doc
#
20.02.2016589.67 Кб203Vysshaya matematika (Testy, 1 semestr).pdf