- •Введение
- •Общие рекомендации студенту по самостоятельной работе над математическими курсами
- •1.2. Арифметические векторы. Линейные операции над векторами. n-мерное арифметическое пространство
- •2. Системы векторов
- •2.1. Линейная зависимость векторов. Системы векторов.
- •2.3. Эквивалентные системы векторов
- •3.1. Матрицы. Основные определения
- •3.2. Операции над матрицами и их свойства
- •3.3. Определитель матрицы.
- •3.3.1. Определители второго порядка
- •3.3.2. Определители n-го порядка
- •3.3.3. Определители третьего порядка
- •3.3.4. Свойства определителей
- •3.4. Обратная матрица, ее свойства и вычисление
- •3.4.1. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы
- •3.4.2. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований ее строк.
- •3.5. Ранг матрицы
- •3.5.1. Понятие минора k-го порядка матрицы. Определение ранга матрицы
- •3.5.2. Элементарные преобразования. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
- •3.5.3. Понятие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы. Другое определение ранга матрицы
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Основные понятия
- •5. Геометрия пространства Rn
- •5.1. Прямые в R2
- •5.1.1. Уравнение линии на плоскости R2
- •5.1.2. Общее уравнение прямой
- •5.1.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •5.1.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
- •в заданном направлении. Уравнение пучка прямых
- •5.1.6. Уравнение прямой в отрезках
- •5.1.7. Нормальное уравнение прямой
- •5.1.8. Расстояние от точки до прямой
- •5.1.9. Угол между прямыми. Условия параллельности
- •и перпендикулярности двух прямых
- •5.1.10. Точка пересечения двух прямых
- •5.2. Прямая и плоскость в пространстве
- •5.2.1. Канонические уравнения прямой
- •5.2.3. Векторное и параметрические уравнения прямой
- •5.2.4. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых
- •5.2.5. Общее уравнение плоскости
- •5.2.6. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.2.8. Нормальное уравнение плоскости
- •5.2.9. Расстояние от точки до плоскости
- •5.2.10. Взаимное расположение двух плоскостей
- •5.2.11. Общие уравнения прямой
- •5.2.12. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •5.3. Гиперплоскость в пространстве Rn
- •5.4. Выпуклые множества
- •6. Теория пределов последовательностей
- •6.1. Числовые последовательности
- •6.1.3. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •6.2. Сходящиеся последовательности
- •6.2.1. Определение предела последовательности.
- •6.2.2. Свойства сходящихся последовательностей.
- •7. Предел и непрерывность функции
- •7.1. Понятие функции одной переменной.
- •7.1.1. Определение функции. Элементарные функции.
- •7.1.2. Свойства функции одной независимой переменной.
- •7.1.3. Некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике.
- •7.2. Предел функции
- •7.2.1. Понятие предела функции в точке.
- •7.2.2. Теоремы о пределах функций.
- •7.2.3. Замечательные пределы.
- •7.2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7.2.5. Сравнение бесконечно малых функций.
- •7.2.6. Раскрытие неопределенностей.
- •7.3. Непрерывность функции
- •7.3.1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •7.3.2. Арифметические действия над непрерывными функциями.
- •7.3.3. Непрерывность сложной и обратной функции.
- •7.3.4. Точки разрыва функции и их классификация.
- •7.3.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •8.1. Производная
- •8.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Угол между кривыми.
- •8.1.3. Физический смысл производной.
- •8.1.4. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •8.1.5. Основные правила дифференцирования.
- •8.1.6. Таблица производных основных элементарных функций.
- •8.1.7. Производная степенно-показательной функции.
- •8.1.8. Примеры вычисления производных.
- •8.1.9. Производная неявной функции.
- •8.2. Дифференциал
- •8.2.1. Понятие дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала.
- •8.2.2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •8.2.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •8.2.4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
- •8.2.5. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •8.3. Исследование функций с помощью производных
- •8.3.1. Условия постоянства, возрастания и убывания функций.
- •8.3.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •8.3.4. Выпуклость и вогнутость графика функции.
- •8.3.5. Асимптоты графика функции.
- •1. Многомерное арифметическое пространство
- •Тренировочное задание 1
- •Решение тренировочного задания 1
- •2. Системы векторов
- •Тренировочное задание 2
- •Решение тренировочного задания 2
- •3. Матрицы и определители
- •3.1. Матрицы и операции над ними
- •Тренировочное задание 3.1
- •Решение тренировочного задания 3.1
- •3.2. Определители и их свойства
- •Тренировочное задание 3.2
- •Решение тренировочного задания 3.2
- •4. Системы линейных уравнений
- •Тренировочное задание 4
- •Решение тренировочного задания 4
- •5. Аналитическая геометрия
- •5.1. Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Решение тренировочного задания 5.1
- •5.2. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Тренировочное задание 5.2
- •Решение тренировочного задания 5.2
- •6. Сходимость числовых последовательностей.
- •Тренировочное задание № 6.
- •Решение тренировочного задания № 6.
- •7. Предел и непрерывность функции.
- •Тренировочное задание № 7.
- •Решение тренировочного задания № 7.
- •8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •Тренировочное задание № 8
- •Решение тренировочного задания № 8.
8.Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Математический анализ, основным содержанием которого является дифференциальное и интегральное исчисление, переплетаясь с другими разделами, составляет ту основу, на которой держится большинство разветвлений современной математики. В математической экономике, например, при анализе производственных функций широко используются понятия производной и дифференциала.
8.1.Производная
Вданном разделе излагаются основные положения дифференциального исчисления функций одной переменной.
8.1.1.Понятие производной функции в точке. Односторонние
ибесконечные производные.
Пусть функция |
y = f (x) определена в |
некоторой окрестности |
|
точки x0 . |
|
|
|
Определение 8.1. Производной функции |
f в точке x0 |
называет- |
|
ся число, обозначаемое f ′(x0 ) , равное пределу отношения |
прираще- |
||
ния функции ∆f (x0 ) |
в этой точке к приращению аргумента ∆x при |
стремлении ∆x к нулю, если этот предел существует:
f ′(x0 ) = lim |
∆f (x0 ) |
= lim |
|
f (x0 +∆x) − f (x0 ) |
|
(8.1) |
||||
|
|
|
||||||||
|
∆x→0 |
∆x |
|
∆x→0 |
|
∆x |
|
|
|
|
или, если обозначить x = x0 +∆ x , то при ∆x → 0 |
будет x → x0 |
и |
||||||||
′ |
|
|
f (x) − f (x0 ) |
|
|
(8.1а) |
||||
|
|
|
|
|||||||
f (x ) = lim |
|
x − x |
|
|
|
|||||
|
0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Определение 8.2. Функция, имеющая конечную производную в |
||||||||||
точке x0 , называется дифференцируемой в этой точке. |
|
|||||||||
Определение 8.3. Если в точке x0 |
функция |
f (x) непрерывна, а |
предел (8.1) равен бесконечности (+∞ или −∞) , то говорят о бесконечной производной.
102
Определение 8.4. Пределы
f+′(x0 ) = lim |
f (x0 |
+∆x) − f (x0 ) |
(8.2) |
|
|
∆x |
|||
∆x→+0 |
|
|
||
и |
f (x0 |
+∆x) − f (x0 ) |
|
|
f−′(x0 ) = lim |
(8.3) |
|||
|
∆x |
|||
∆x→−0 |
|
|
называются правосторонней и левосторонней производной, соответственно.
Для существования производной f ′(x0 ) необходимо и достаточно, чтобы существовали обе односторонние производные f+′(x0 ) и
f−′(x0 ) и они были равны друг другу: f+′(x0 ) = f−′(x0 ) . Производная обозначается и другими способами, например:
|
|
|
|
f ′(x0 ) , fx′(x0 ) , |
df (x0 ) , |
dy(x0 ) , f ′(x) |
|
|
x=x |
|
и т. д. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пример 8.1. Пользуясь определением производной, вычислить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если f (x) = x +3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(−2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Решение. Имеем: x0 = −2, |
|
f (x0 ) = |
|
|
|
|
|
|
=1, |
|
x0 +∆x = −2 +∆x, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−2 +3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x0 +∆x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, ∆f (x0 ) = |
|
|
|
−1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−2 +∆x +3 |
|
1+∆ x |
1+ ∆x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Согласно (8.1) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
′ |
|
числитель и знаменатель |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
−1)( |
|
|
|
|
+1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+∆x |
1 |
+∆x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(−2) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
умножим на |
1 |
|
+∆x +1 |
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
∆x( |
1+∆x |
+1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−12 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= lim |
( |
|
(1+∆x)2 |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
1+ ∆x −1 |
|
|
|
|
= lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= 1 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∆x→0 |
∆x( 1+∆x +1) |
∆x→0 |
∆x( 1+∆x |
+1) |
|
∆x→0 |
1 |
|
|
x |
|
1 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∆ + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Пример 8.2. Пользуясь определением производной, вычислить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
= |
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(0) для функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Решение. Имеем: x0 = 0, |
|
|
f (x0 ) = f (0) = 0 , x0 +∆x = ∆x, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x |
|
+∆x) = 3 |
|
. Согласно (8.1) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= +∞. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (0) = |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3 |
|
(∆x)3 |
= |
lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 ∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
∆x→0 3 (∆x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, имеем бесконечную производную.
103
Пример 8.3. |
Найти по определению производной f |
(0) , если |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
f (x) = |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Имеем: x0 = 0, f (x0 ) = |
|
0 |
|
= 0 , |
x0 +∆x = ∆x. |
Тогда |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x0 |
+∆x) = |
|
0 +∆x |
|
= |
|
∆x |
|
|
|
∆x, |
если |
∆x > 0, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∆x, |
если |
∆x <0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, |
если |
∆x > 0, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
lim |
∆f (x0 ) = |
lim |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
если |
∆x <0. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∆x→0 ∆x |
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
−1, |
|
Сравнивая полученный результат с ( 8.2) и ( 8.3), заключаем, что f+′(0) =1, f−′(0) = −1, а значит, f ′(0) не существует.
8.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Угол между кривыми.
На кривой y = f (x) выберем две различные точки М0 и М1
(рис.8.1) и через них проведем единственную прямую l , которая называется секущей к графику. Используя уравнения прямой,
проходящей |
|
через |
две |
заданные |
точки |
М0 (x0 ; f (x0 )) |
и |
|||||||||||
М |
1 |
(x ; f (x )) , которое имеет вид |
|
|
y − f (x0 ) |
= |
x − x0 |
, получим |
||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x1) − f (x0 ) |
|
x1 − x0 |
|
|
|||
уравнение секущей |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y = |
f (x1) − f (x0 ) |
(x − x |
) + f (x ) |
|
|
(8.4) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Сравнивая |
уравнение (8.4) с уравнением прямой с угловым к |
о- |
||||||||||||||
эффициентом, |
заключаем, |
что угловой коэффициент k |
секущей |
l |
||||||||||||||
имеет вид |
f (x1) − f (x0 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
k = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Определение 8.5. Если точка M1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
двигаясь |
по |
графику |
непрерывной |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
функции |
f , |
приближается к точке |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M0 , а секущая l при этом стремится к |
|
|
|
Рис.8.1. |
|
|
||||||||||||
некоторому предельному положению, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
то это предельное положение секущей называется касательной к графику функции f в точке x0 .
104
Тогда lim |
f (x1) − f (x) |
= f |
′ |
|
|
||
|
|
|
|||||
x→x0 |
x |
|
− x |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
рейдет в уравнение касательной: |
|
|
|
||||
|
|
|
y = f ′(x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) |
(8.5) |
|||
Таким образом, |
производная функции y = f (x) , |
вычисленная в |
точке x = x0 , есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в точке М0 (x0 ; f (x0 )) . В этом и состоит
геометрический смысл производной.
Определение 8.6. Прямая, перпендикулярная к касательной в точке M0 , называется нормалью к кривой y = f (x) в точке M0 .
Из условия k1k2 = −1 перпендикулярности прямых заключаем, что
угловой коэффициент kн |
нормали выражается через угловой коэффи- |
||||||||||||
циент kкаc касательной по формуле |
kн = − |
|
1 |
= − |
|
1 |
. |
Следова- |
|||||
kкас |
f ′(x0 ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тельно, уравнение нормали к кривой y = f (x) |
в точке M0 |
имеет вид |
|||||||||||
y = f (x ) − |
|
1 |
|
(x − x ) |
|
|
|
|
(8.6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
f ′(x0 ) |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 8.4. Составить уравнения касательной и нормали к кри- |
|||||||||||||
вой y = x3 в точке M0 (2 ;8) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Имеем |
f (x) = x |
3 |
, f |
′ |
|
|
3 ′ |
= 3x |
2 |
; |
|
|
|
|
(x) = (x |
) |
|
|
|
||||||||
f (x0 ) = f (2) =8 ; f ′(x0 ) = f ′(2) = 3 22 =12. |
|
Используя уравнение |
(8.5), получаем уравнение касательной : y =12(x −2) +8 или
y =12x −16 . Используя уравнение (8.6), получаем уравнение нормали :
y = 8 − |
|
1 |
(x −2) или 12y = 96 − x +2 или |
x +12y −98 = 0. |
|||
12 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Если f ′(x0 ) = ±∞ , то уравнение касательной имеет вид x = x0. |
|||||||
Определение 8.7. Пусть две кривые y = f (x) |
и |
y = g(x) пересе- |
|||||
каются в точке |
|
(x0 , y0 ), т.е. |
y0 = f (x0 ) = g(x0 ). |
Углом α между |
заданными кривыми называется угол между касательными к кривым,
проведенным в точке их пересечения:
tgα = |
k2 −k1 |
= |
g′(x0 ) − f ′(x0 ) |
|
1+ f ′(x0 )g′(x0 ) |
||
|
1+k1k2 |
105