дования, называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается А′ или АТ. Таким образом,

Транспонированием называется операция перехода от матрицы А к матрице А′.

Свойства операции транспонирования:

1) (А′)′= А; 2) (αА)′ = αА′; 3) (А + В)′ = А′ + В′; 4) (АВ)′ = В′А.

Если для произвольной квадратной матрицы А выполняется равенство А′ = А, то матрица А называется симметрической. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны, т.е. аij = aji.

3.3. Определитель матрицы.

3.3.1. Определители второго порядка

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Её коэффициенты составляют квадратную матрицу второго порядка

а свободные члены – матрицу столбец b1 .

b2

Уравняем коэффициенты при х2, для чего первое уравнение умножим на а22, второе – на а12. Вычитая затем из первого уравнения

32

= a11b2 – b1a21. Предполагая, что а11а22 – а12а21 ≠ 0, находим единственное решение системы (3.1):

Число ∆ = det A = a11a22 −a12a21 называется определителем (детер-

минантом) матрицы (3.2) или определителем второго порядка и обозначается

Таким образом, определитель второго порядка есть число, равно произведению элементов главной диагонали минус произведение

элементов побочной диагонали. Слагаемые а11а22 и а12а21 называются членами определителя второго порядка.

Формулы (3.3) выражают решение системы (3.1.) в явном виде через ее коэффициенты и свободные члены и имеют важное значение для теоретических направлений линейной алгебры.

Если обозначить через ∆1(∆2 ) определители, полученные из определителя (3.4) заменой первого (соответственно второго) столбца

называются формулами Крамера. Оказывается, аналогичные формулы имеют место и для систем линейных уравнений с квадратной матрицей порядка более двух. Для обоснования таких формул и решения многих других задач линейной алгебры понадобится понятие определителя n-го порядка.

33

3.3.2. Определители n-го порядка

Пусть имеется произвольная квадратная матрица n-го порядка:

Каждой такой матрице поставим в соответствие число, называемое определителем, соответствующим этой матрице. При n =1 матрица (3.5) имеет вид А =[а11] и, по определению, будем считать определителем этой матрицы (определителем первого порядка) само

полученной из (3.5) вычеркиванием i-й строки и k-го столбца. Алгебраическим дополнением Аik элемента аik матрицы (3.5) назовем

Определителем порядка n, соответствующим матрице (3.5), назовем число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения:

k =1

Формула (3.6) называется разложением определителя n-го порядка по первой строке. По аналогии с (3.6) выпишем разложение определителя второго порядка по элементам второй строки:

=−а21 а12 + а22 а11 = а11 а22 −а12а21 .

Получаем результат, совпадающий с (3.4).

34

Оказывается, справедливы две основные теоремы (теоремы Лапласа), утверждающие возможность разложения определителя n-го порядка по любым строке или столбцу.

Удобнее вычислять определитель, разлагая его по элементам той строки (столбца), которая содержит наибольшее количество нулевых элементов. Например,

= 4 (7 −10) −14 (0 −4) = −12 +56 = 44 .

35