lim(3 |
|
x |
−3) = 3 |
1 |
−3 = 0, lim( |
2x −1 |
−1) = |
|
2 1−1 |
−1 = 0, |
|
x→1 |
|
|
|
|
x→1 |
0 |
|
|
|
|
|
то имеет |
место неопределенность |
. Для |
раскрытия этой |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
неопределенности умножим и разделим выражение под знаком предела на сопряженные выражения для числителя и знаменателя,
соответственно. |
|
|
|
Применяя |
формулу |
(a −b)(a +b) = a2 −b2 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сокращая затем дробь на |
(x −1), получим ответ: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
( |
|
|
|
|
−1)( |
|
|
|
|
|
|
+1)(3 |
|
|
+3) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2x −1 |
|
|
|
|
|
2x −1 |
|
|
2x −1 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 x |
− |
3 |
|
|
(3 x −3)(3 |
|
x +3)( |
|
2x −1 +1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(2x −1−1)3( |
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
2(x −1)3( |
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
x |
|
= lim |
|
x |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(9x −9)( |
|
2x −1 +1) |
9(x −1)( |
2x −1 +1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 lim |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
x |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2x −1 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 x→1 |
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7.3.Непрерывность функции
Спонятием предела функции тесно связано другое важное понятие математического анализа – понятие непрерывности функций.
7.3.1.Непрерывность функции в точке и на множестве.
Пусть функция y = f (x) определена на множестве X и x0
является предельной точкой |
множества X , причем x0 X (это |
означает, что f (x0 ) существует). |
|
Определение 7.8. Функция |
f (x) называется непрерывной в точке |
x0 , если предел функции в точке x0 равен значению функции в этой
точке: |
|
lim f (x) = f (x0 ) |
(7.3) |
x→x0 |
|
Равенство (7.3) равносильно условию lim f (x) = f ( lim x) . Это |
|
x→x0 |
x→x0 |
означает, что для непрерывной функции знаки |
предела « lim » и |
функции f можно переставлять. |
|
Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 справа, если |
|
lim f (x) = f (x0 ) |
(7.4), |
x→x0 +0 |
|
97
и непрерывной в точке x0 слева, если
lim f (x) = f (x0 ) |
(7.5) |
x→x0 −0 |
|
Для выполнения равенства (7.3) необходимо и достаточно, чтобы для функции f (x) существовали в точке x0 предел справа и предел слева,
они были равны друг другу и равны значению функции в точке x0 :
lim |
f (x) = |
lim f (x) = f (x0 ) |
(7.6) |
x→x0 +0 |
|
x→x0 −0 |
|
Если переписать равенство (7.3) в виде lim ( f (x) − f (x0 )) = 0 и
x−x0 →0
ввести обозначения: ∆x = x − x0 (приращение аргумента в точке x0 ) и ∆y = f (x) − f (x0 ) (приращение функции в точке x0 , соответствующее
приращению аргумента ∆x ), то Определение 7.8 перефразируется следующим образом: функция f (x) называется непрерывной в точке
x0 , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при ∆x → 0 , т.е.
lim ∆y = 0 |
(7.7) |
∆x→0 |
|
Пример 7.9. Показать, что функция |
f (x) = x3 непрерывна в |
любой точке x0 R , т.е. в любой точке области определения.
Решение. |
Придавая аргументу |
x приращение ∆x в точке x0 , |
|||||
вычислим соответствующее ему приращение функции |
|||||||
∆y = f (x +∆x) − f (x ) = (x +∆x)3 |
− x 3 |
= |
|
||||
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
= x 3 |
+3x |
2∆x +3x (∆x)2 |
+(∆x)3 − x 3 = ∆x (3x 2 +3x ∆x +(∆x)2 ). |
||||
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
lim ∆y = lim (∆x(3x 2 |
+3x ∆x +(∆x)2 ) = 0 (3x 2 |
+3x 0 +0) = 0 , |
|||||
∆x→0 |
|
∆x→0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
а это, согласно (7.7), и означает, что функция f (x) = x3 непрерывна в любой точке x0 R .
Определение |
7.9. Функция f (x) называется непрерывной на |
множестве X , |
если она непрерывна в каждой точке x0 X . |
7.3.2. Арифметические действия над непрерывными функциями.
Справедливо следующее утверждение:
98
Теорема 7.6. Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x0 ,
то функции cf (x) ( c |
|
постоянная), f (x) ± g(x) , f (x)g(x) , |
f (x) |
|
g(x) |
||
|
|
|
(если g(x0 ) ≠ 0 ) также непрерывны в точке x0 .
Эта теорема верна для любого конечного числа непрерывных функций. Например, если даны три непрерывные функции
f (x) = 3x2 , |
f |
2 |
(x) = 5 и |
f |
3 |
(x) = x2 − x −2 |
(их непрерывность на всей |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
числовой |
прямой |
|
доказывается аналогично примеру (7.9), то |
|||||||||||||||||
непрерывными всюду будут и функции |
|
|
f1(x) |
|
|
|
||||||||||||||
f (x) + f |
2 |
(x) − f |
3 |
(x) , |
|
f (x) f |
2 |
(x) f |
3 |
(x) и |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
f2 (x) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дробно–рациональная |
функция |
|
|
f1(x) + f2 (x) |
|
имеет разрыв в |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3 (x) |
|
||||
точках x |
= −1 |
и x |
= 2 , где знаменатель |
f |
3 |
(x) = x2 |
− x −2 обращается |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внуль.
7.3.3.Непрерывность сложной и обратной функции.
Теорема 7.7. Если функция z = g(x) непрерывна в точке x0 , а
функция |
y = f (z) |
непрерывна в точке z0 = g(x0 ) , то |
сложная |
||
функция y = f (g(x)) непрерывна в точке x0 . |
|
||||
Теорема 7.8. |
Если |
функция |
y = f (x) определена, |
строго |
|
монотонна |
и непрерывна |
на отрезке |
[a,b], то обратная |
функция |
|
x = f −1(y) |
определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке |
||||
[A, B], где A = f (a), B = f (b) .
Из теорем 7.6, 7.7, 7.8 следует вывод, что все элементарные функции непрерывны в своей области определения.
7.3.4. Точки разрыва функции и их классификация.
Определение 7.10. Точка x0 называется точкой разрыва функции f (x) , если f (x) в этой точке не является непрерывной или же f (x) в
этой точке не определена, но определена в достаточно малой ее окрестности.
99
Определение 7.11. Точка x0 называется точкой разрыва первого
рода функции |
f (x) , если |
для |
f (x) в |
этой точке |
существуют |
|||
конечные односторонние пределы |
f (x0 +0) |
и f (x0 −0) , |
но они не |
|||||
равны |
друг |
другу: |
f (x0 +0) ≠ f (x0 −0) . |
|
Величина |
|||
| f (x0 +0) |
|
f (x0 −0) | называется скачком функции f (x) |
в точке x0 . |
|||||
|
||||||||
Определение 7.12. Точка |
x0 |
называется точкой |
устранимого |
|||||
разрыва |
функции f (x) , если существуют конечные, |
равные друг |
||||||
другу односторонние пределы, но они не равны значению функции в точке x0 или f (x0 ) не существует: f (x0 +0) = f (x0 −0) ≠ f (x0 ) .
Чтобы устранить разрыв в |
точке x0 , достаточно положить |
|
f (x0 ) = f (x0 +0) = f (x0 −0) . |
|
|
Определение 7.13. Если x0 |
|
точка разрыва функции f (x) и |
|
||
хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то x0 называется точкой разрыва второго рода.
Пример 7.10. Исследовать на непрерывность функцию
−1при |
x < 0, |
|
|
|
x = 0, |
y = sgn x = 0 при |
||
|
|
|
|
1при |
x > 0. |
|
||
Решение. Данная функция является постоянной при x (−∞ ;0) и при x (0 ; +∞) , поэтому на этих промежутках является непрерывной. Точка x0 = 0 является точкой разрыва первого рода, так как
f (x0 −0) = f (−0) = xlim sgn x = −1,
→−0
f (x0 +0) = f (+0) = xlim sgn x =1.
→+0
Оба односторонних предела существуют, но они не равны друг другу. Пример 7.11. Исследовать на непрерывность функцию y = x −1 2 .
Решение. Данная функция определена при x (−∞ ; 2) (2 ; +∞) и на этом множестве является непрерывной, как элементарная функция.
100