y′ =12x3 −24x2 +12x , y′′ = 36x2 −48x +12 =12(3x2 −4x +1) .

Решаем уравнение:

y′′ = 0,

3x2 −4x +1 = 0,

x1 =1,

x2 = 1

. Зна-

1

3

′′

′′

чит, имеем y

=

12 3(x

−1)(x − 3). Так как y

> 0 , если

x (−∞; +1 ) (1; +∞) , то на интервалах (−∞; +1 ) и

(1; +∞)

функция

3

3

y

′′

1

1

вогнута; так как

< 0, если x (3 ;1), то на (3 ;1)

функция вы-

пукла. Точки x

= 1 и

x =1 являются абсциссами точек перегиба.

1

3

2

8.3.5. Асимптоты графика функции.

Определение 8.17. Прямая

L называется асимптотой

кривой

т.е. lim ( f (x) −kx −b) = 0 .

Прямая y = kx +b называется наклонной

x→±∞

асимптотой графика y = f (x) .

Теорема 8.20. Для того, чтобы прямая y = kx +b была наклонной

асимптотой графика

y = f (x) ,

необходимо и достаточно, чтобы су-

ществовали пределы

f (x)

k =

lim

, b = lim ( f (x) −kx)

(8.19)

x

x→±∞

x→±∞

Определение 8.18. Если k = 0 , то асимптота y = b называется го-

ризонтальной.

Определение 8.19. Пусть функция y = f (x) определена в некото-

рой окрестности точки x0

(может быть односторонней) и пусть хотя

бы один из односторонних пределов равен бесконечности, т.е.

lim f (x) = ∞

(8.20)

x→x0

±∞

Тогда прямая x = x0

называется вертикальной

асимптотой

функции y = f (x) .

Пример 8.14. Найти асимптоты функции y =

x3

.

x −

2

f (x)

=

x3

x3

k =

lim

=

lim

x −2

lim

=

lim

=

x

x2 (x −2)

x3 − x2

x→+∞

x→+∞

x

x→+∞

x→+∞

числитель и

знаменатель дроби

=

lim

1

=1,

1

в подкоренном выражении разделим на x3

x→+∞

1

1

− x

так lim

= 0 .

Так как k =1, то

x→+∞ x

x3

− x

2

3

x

x −2

b

= lim

− x =[∞ −∞]= lim

=

(x −2)

x→+∞

x

3

x→+∞

+ x

x −2

x3

− x3 + 2x2

числитель и

знаменатель

lim

=

=

x→+∞

x

3

дроби разделим на x2

(x −2)

x −2

+ x

=

lim

2

=1.

x→+∞

2

x3

1−

+1

x3 −2x2

x

Итак, прямая

y = x +1

является

правосторонней наклонной

асимптотой. Аналогично убеждаемся, что прямая

y = −x −1 является

левосторонней наклонной асимптотой.

Поскольку при

x → 2 +0

имеем lim f (x) =

lim

x3

= +∞, то прямая

x = 2

является

x −

2

x→2+0

x→2+0

Пример 8.15. Построить график функции y =

x2

.

x −

2

элементарная функция. Так как

lim

x2

4

= −∞;

=

x −2

−0

x→2−0

lim

x2

4

= +∞, то

x = 2 является точкой разрыва второго

=

x −2

+0

x→2+0

рода. Прямая

x = 2 является вертикальной асимптотой графика.

y = 0; если y = 0,

то

x2

= 0.

Откуда получаем

x = 0 . Значит, гра-

x −

2

фик проходит через начало координат и y > 0,

если

x > 2 ;

y < 0,

если x (−∞; 0) (0; 2).

6) Находим первую производную

x

2

′

(x

2 ′

2

(x −2)

′

2x(x −2) − x

2

1

x

2

−4x

y′ =

=

) (x −2) − x

=

=

=

(x −

2)

2

(x −2)

2

(x

−2)

2

x −2

x(x −4)

. Решая уравнение y′ = 0 x(x −4) = 0,

x 1= 0,

x 2 = 4,

(x −2)2

находим критические точки по первой производной: x = 0 и x = 4 .

В окрестности точки

x = 0

производная меняет знак с плюса на

минус. Это означает, что

x = 0 ― абсцисса точки максимума. Тогда

y(0) =

02

= 0,

и

следовательно M1(0,0)

точка

максимума.

В

0

−2

окрестности точки

x = 4

производная меняет знак минуса на плюс,

значит x = −4

абсцисса точки минимума,

y(4) =

16

= 8, M2 (4,8)

4 −2

– точка минимума. Таким образом,

на интервалах

( −∞; 0)

и

на

y′′ =

x

2

−4x

′

= (x

2

−4x)′(x −2)

2

−(x

2

−4x)((x −2)

2

)′ =

4

2

(x −2)

(x −2)

=

(2x −4)(x −2)2 −(x2

−4x) 2(x −2)

=

8

.

(x −2)4

(x −2)3

Так как y′′ > 0

при

x > 2 , то на интервале (2 ; +∞)

график во-

гнутый; так как y′′ < 0 при x < 2 ,

то на интервале (−∞; 2)

график

выпуклый.

8) Находим асимптоты графика:

x2

f

(x)

x2

x2

1

lim

=

lim

= lim

= lim

x2

= lim

= 1;

x

−2)x

2x

2

x→∞

x→∞ (x

x→∞ x2 −2x

x→∞ x2

x→∞

1

− x2

− x

x2

x2

b = lim ( f (x) −kx)

= lim (

− x) =

lim

x2

− x2

+ 2x

= lim

2x

= 2

x→∞

x→∞

x −2

x→∞

x −

2

x→∞ x −2

Таким образом, график имеет наклонную асимптоту

y = x + 2 .