7. Предел и непрерывность функции

7.1.1. Определение функции. Элементарные функции.

Пусть даны два

множества X и

Y ,

элементы

которых

будем

обозначать x и y , соответственно. Если каждому элементу

x X по

определенному правилу f поставлен в соответствие единственный

элемент

y = f (x) Y , то говорят, что на множестве

X

задана

функция

y = f (x) ;

пишут также

f :

X →Y

или

x → f (x) .

Множество

X

называется областью определения

D( f ) = X ,

а

множество

E( f ) Y

― областью значений функции. При этом x

называется

независимой переменной или аргументом, а

y ―

зависимой переменной или функцией.

Множество

пар

{(x, f (x)) : x D( f )}

называется

графиком

функции f .

Пусть функция y = f (x) задана на множестве X ={x}, а Y ={y}-

множество ее значений. Если каждому значению y Y

соответствует

только одно значение x X , для которого

f (x) = y , то на множестве

Y определена функция

x =g (y) , для которой множеством значений

является множество

X .

Функция g: y → x называется обратной к

функции f

, а обе функции f и g называются взаимообратными.

логарифмическая

y = loga x, a > 0, a ≠1,

тригонометрические

y = sin x,

y = cos x

y = tg x

y = ctg x

и

обратные

тригонометрические функции y = arcsin x,

y = arccos x ,

y = arctg x ,

y = arcctg x .

Функция

y = f (x) ,

область определения которой симметрична

относительно нуля,

называется четной (нечетной), если для всех

x D( f )

выполняется равенство f (−x) = f (x) ,

( f (−x) = − f (x)) .

Функция

y = f (x) называется

периодической, если

существует

такое число

T > 0 ,

что

для

всех

x D( f )

выполняется

равенство f (x −T ) = f (x +T ) = f (x) .

Функция

y = f (x)

называется возрастающей (неубывающей) на

множестве X , если для всех x1, x2 X таких, что x1< x2

выполняется

неравенство

f (x1) < f (x2 )

( f (x1) ≤ f (x2 ) ).

Функция

y = f (x)

называется убывающей (невозрастающей)

на множестве

X , если

для всех

x1, x2 X

таких,

что

x1 < x2

выполняется

неравенство

f (x1) > f (x2 )

( f (x1) ≥ f (x2 ) ).

Возрастающие,

убывающие,