3.3.3. Определители третьего порядка

Вычислим определитель третьего порядка, разлагая его по элементам первой строки:

(3.7)

=а11(а22а33 −а23а32 ) −а12 (а21а33 −а23а31) + а13 (а21а32 −а22а31) =

=а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 − а13а22а31 − а12а21а33 −а11а23а32.

Каждое из шести слагаемых в (3.7) называется членом определителя третьего порядка и есть произведение трех элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы составить выражение (3.7), можно воспользоваться схемой Саррюса (или правилом треугольников), согласно которой со знаком плюс берутся произведения элементов главной диагонали и произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком минус берутся произведения элементов побочной диагонали и произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали:

36

3.3.4.Свойства определителей

1.Определитель матрицы, полученной из данной транспонированием, равен определителю данной матрицы: | А′| =| А | .

Это свойство является прямым следствием теоремы 3.2 и утверждает, что все свойства, сформулированные для строк определителя, будут справедливы и для его столбцов.

2. При перестановке местами двух строк, определитель меняет знак на противоположный, сохраняя при этом свою абсолютную величину.

3.Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

4.Если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и то же число, то сам определитель умножится на это число.

Следствие 1. Общий множитель элементов любой строки можно выносить за знак определителя.

Следствие 2. Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.

Следствие 3. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

5. Если каждый элемент i-й строки определителя есть сумма двух слагаемых: aik = a′ik +a′ik′ , то определитель есть сумма двух определителей:

37

6.Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

7.Если к элементам некоторой строки определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на произвольное число α, то определитель не изменится.

Пример 3.1. Вычислить определитель треугольной матрицы:

Решение. Применяя последовательно формулу (3.6), получим

38

Итак, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Аналогично можно показать, что определитель матрицы, у которой равны нулю все элементы, находящиеся вы-

ше (ниже) побочной диагонали, равен произведению числа (−1)n(n−1) / 2 и всех элементов побочной диагонали.

Решение. К первой и к четвертой строкам прибавим вторую строку, к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на два и разложим полученный определитель по третьему столбцу:

Прибавляя третью строку к первой и второй строкам, получим:

Теорема 3.3. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц.

39