8.3. Исследование функций с помощью производных

Ниже, кроме демонстрации аппарата дифференциального исчисления в действии, указываются общие приемы анализа качественного поведения функций, что зачастую требуется при конкретной работе. Прежде всего, будет установлен ряд важных теорем, которые эффективны при исследовании дифференцируемых функций, как в локальном, так и в глобальном смысле (т.е. как в окрестности отдельных точек области задания функций, так и на целых участках этой области).

8.3.1. Условия постоянства, возрастания и убывания функций.

Теорема 8.12. Пусть функция y = f (x) имеет конечную производную при x (a,b) . Для того, чтобы эта функция сохраняла посто-

Находим производную y′ = x2 + 2x +5 (2x +2) = x2 + 2x +5 .

Поскольку знаменатель дроби x2 +2x +5 всегда положителен, то знак производной совпадает со знаком числителя :

122

всех ∆x , удовлетворяющих условию ∆x <δ , выполняется неравенство f (x0 +∆x) ≤ f (x0 ) ( f (x0 +∆x) ≥ f (x0 )) . Если существует такое

( f (x0 +∆x) > f (x0 )) , то точка x0 называется точкой строгого макси-

мума (минимума). Точки максимума и минимума называются точ-

ками экстремума.

Теорема 8.14 (необходимое условие экстремума). Если функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и точка x0 явля-

ется точкой экстремума функции f (x) , то либо производная f ′(x0 )

обращается в нуль, либо не существует.

Простые примеры показывают, что эти необходимые условия экстремума не являются достаточными

Теорема 8.15 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дифференцируема в окрестности точки x0 (a,b), за

Заметим сразу же, что эти условия, являясь достаточными, не являются необходимыми для экстремума. Иногда вызывает затруднение исследование знака первой производной в окрестности заданной точки.

В ряде случаев бывает удобным применить при изучении точек экстремума следующую теорему.

Теорема 8.16 (второе достаточное условие экстремума). Пусть в

123

y = x3 −6x2 +9x −5 .

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Находим производную:

y′ = 3x2 −12x +9 = 3(x2 −4x +3) . Приравниваем производную к нулю:

тельные на экстремум (критические точки). Для удобства исследования знака первой производной, запишем ее в следующем виде y′ = 3(x −1)(x −3) . Применим теперь первое достаточное условие экс-

тремума, для чего составим таблицу, в первой строке которой указываем промежутки, на которые разбивают область определения функции критические точки, во второй строке – знаки производной на соответствующем промежутке, в третьей строке – вывод о возрастании (убывании) функции и о наличии экстремума. Таким образом, данная

функция имеет два экстремума: максимум ymax = y(1) = −1 в точке x =1 и минимум ymin = y(3) = −5 в точке x = 3.

Пример 8.12. Исследовать функцию y = 33x2 − x2 на экстремум.

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Находим производную:

y′ = (3x23 − x2 )′ = 3 23 x23−1 −2x = 2x−13 −2x = 32x −2x.

Приравниваем производную к нулю: y′ = 0 2( 31x − x) = 0,

1−3xx3x = 0 x3x =1, x ≠ 0 или x4 =1, x = ±1.

Получим критические точки x1 = −1, x2 =1. Далее находим те точки из области определения функции, где производная обращается

124

в бесконечность. Для чего приравняем знаменатель производной к нулю: 3x = 0, x = 0 ― третья критическая точка. Применяя первое достаточное условие экстремума, составим таблицу:

Таким образом, функция имеет два максимума y(−1) = 2, y(1) = 2 и минимум y(0) = 0 .

8.3.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции, непрерывной на отрезке [a,b], следует найти точки из [a,b], в кото-

рых производная f ′(x) либо равна нулю, либо не существует. Затем из этих точек определяем все максимумы (минимумы) и вычисляем значения функции на концах отрезка [a,b]. Сравнивая между собой

по величине значения функции в полученных точках и значения f (a), f (b) , находим наибольшее (наименьшее) из них. Оно и будет

наибольшим (наименьшим) значением функции на заданном отрезке. Пример 8.13. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-

ции y = x3 −3x2 +1 на отрезке [−1, 4].

Решение: Находим производную функции: y′ = 3x2 −6x . Она существует во всех точках отрезка. Найдем критические точки, решая уравнение 3x2 −6x = 0 , откуда x1 = 0, x2 = 2 . Составим таблицу значений функции в критических точках и на концах отрезка:

8.3.4. Выпуклость и вогнутость графика функции.

Определение 8.13. График функции называется выпуклым (или говорят еще выпуклым вверх) на отрезке [a,b], если он расположен

ниже любой своей касательной на этом отрезке (рис. 8.3).

125

В этом случае выполняется неравенство N1M = ∆ y −dy < 0. Определение 8.14. График функции называется вогнутым (гово-

рят еще выпуклым вниз) на отрезке [a,b], если он расположен выше

любой своей касательной на этом отрезке (рис.8.4). В этом случае

M1N = ∆ y −dy > 0 .

рой производной.

Пример 8.13. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции y = 3x4 −8x3 +6x2 +12 .

126