Теперь из полученного равенства находим y′:

y(y2 + x2 ) + x(y2 + x2 )y′ = y − xy′; x(x2 + y2 +1)y′ = y(1− x2 − y2 );

8.2. Дифференциал

Следующим важным понятием в дифференциальном исчислении является понятие дифференциала, имеющее большое значение для анализа и его приложений.

8.2.1. Понятие дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала.

В настоящее время дифференциал чаще всего рассматривают как вторичное понятие, тесно связанное и определяемое через понятие производной.

Определение 8.8. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 . Функция f (x) называется дифференцируемой в точке x0 , если ее приращение ∆y = f (x0 + ∆x) − f (xo ) в этой

Линейная относительно ∆x часть A(x0 )∆x приращения функции ∆y

113

в точке x0 называется дифференциалом функции в точке x0 и обозначается df (x0 ) или dy .

Если приращение аргумента ∆x = x − x0 обозначить через dx и

назвать дифференциалом независимой переменной x , то диффере н-

циал запишется в виде dy = A(x0 )dx .

Теорема 8.6. Для того, чтобы функция y = f (x) была дифференцируема в некоторой точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную f ′(x0 ) , при этом A(x0 ) = f ′(x0 ) и

час это выражение можно рассматривать как дробь с числителем dy

и знаменателем dx (отношение дифференциалов).

Формула (8.11) позволяет находить дифференциалы функций, ес-

Геометрический смысл значения дифференциала в точке x0 –

это приращение ординаты касательной в этой точке при переходе к точке x0 + ∆x . На рис. 8.2. дифференциал равен отрезку AB .

Замечание. Если сопоставить определения производной и дифференциала, то можно заключить, что производная характеризует скорость изменения функции в рассматриваемой точке, а дифференциал доставляет наилучшую линейную аппроксимацию приращения функции в окрестности рассматриваемой точки. Строение дифференциала теоретически проще и практически удобнее, чем строение приращения функции ― дифференциал dy есть линейная функция, опре-

деленная на смещениях ∆x от рассматриваемой точки. Этот факт

114

удобно использовать для вычисления приближенных значений функций.

Такое свойство дифференциала – равенство дифференциала произведению производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной (независимо от того, является ли эта переменная независимой или, в свою очередь, функцией другой независимой переменной) – называется инвариантностью формы первого дифференциала относительно выбора переменных.

8.2.2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Из равенств (8.10) и (8.11) следует, что ∆y − dy =α(∆x)∆x являет-

ся бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆x . Значит, справедливо приближенное равенство ∆y ≈ dy или, в подробной записи,

Это равенство часто используется при приближенных расчетах. Для вычисления значения функции в точке x = x0 + ∆x берут в неко-

115

торой достаточно малой ее окрестности такую точку x0 , чтобы f (x0 ) и f ′(x0 ) вычислялись легко.

∆x = 0,15.

Найдем y = f ′(x) . Здесь удобнее воспользоваться методом логарифмического дифференцирования. Имеем:

Тогда из (8.13) имеем: 522 +−0,150,15 ≈1− 15 0,15 = 0,97

Заметим, что вычисление, например, с помощью четырехзначных таблиц Брадиса дает результат 0,9703.

8.2.3. Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение 8.9. Пусть функция f (x) определена и дифференцируема на интервале (a,b), так что сама производная f ′(x) представляет собой новую функцию от x , которая в свою очередь имеет

равенством

f (n) (x0 ) = ( f (n−1) (x))′.

Определение 8.10. Функция называется n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если она имеет на этом промежутке непрерывные производные до порядка n включительно

(n = 0,1,2,...).

Пример 8.8. Найти производную n –го порядка функции y = sin x .

116