Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика / Uchebno-prakt.posobie (1 chast).pdf

Скачиваний:

193

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3833 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

∆ = a31(−1)3+1 M31 +a32 (−1)3+2 M32 + a33 (−1)3+3 M33 =

=0 +0 +5(−1)6 −2 1 = 5(−2 −1) = −15. 1 1

4.Системы линейных уравнений

1.Какая квадратная матрица называется невырожденной (неособенной)?

2.Какая квадратная матрица называется обратной к данной квадратной матрице А? ~

3.Какая матрица А называется присоединенной (или союзной) к данной квадратной матрице А?

4.Запишите формулу для нахождения обратной матрицы.

5.Как называется единственность обратной матрицы?

6.Запомните следующие свойства обратных матриц:

а) det A−1 =	1	; б) (A−1 )−1 = A ; в) (α A)−1 =	1	A−1 ;
	det A		α

г) (Ak )−1 = (A−1 )k ; д) (AB)−1 = B−1A−1 .

7.Какая система уравнений называется линейной?

8.Что называется решением системы m линейных уравнений с n неизвестными?

9.Что называется матрицей системы и расширенной матрицей системы m линейных уравнений с n переменными?

10.Как записывается система m линейных уравнений с n переменными в матричном виде?

11.В каком случае система называется совместной (разрешимой)?

12.В каком случае система называется несовместной (неразрешимой)?

13.Какая система уравнений называется определенной?

14.Какая система уравнений называется неопределенной?

15.Сколько решений имеет система n линейных уравнений с n неизвестными, если определитель этой системы отличен от нуля?

152

16.Запишите формулы Крамера, выражающие единственное решение определенной системы через главный определитель ∆ системы и

вспомогательные определители ∆i , i =1, n .

17.Какие две системы линейных уравнений называются эквивалентными (равносильными)?

18.Что называется элементарными преобразованиями системы?

19.Что называется прямым ходом метода Гаусса?

20.Что называется обратным ходом метода Гаусса?

21.Каково множество решений системы, если прямой ход метода Гаусса приводит матрицу системы к треугольному виду и все элементы главной диагонали отличны от нуля?

22.Совместна или несовместна система, если расширенная матрица системы после k-го шага прямого хода метода Гаусса содержит строку, все элементы которой, кроме последнего, равны нулю?

23.Какие неизвестные называются базисными, а какие свободными?

24.Какие решения системы линейных уравнений называются базисными?

25.Дайте определение разрешающей неизвестной, разрешающего элемента матрицы, разрешающей строки и разрешающего столбца.

26.Сформулируйте правила преобразования коэффициентов и свободных членов системы при переходе к эквивалентной системе (шаг гауссова исключения).

Тренировочное задание 4

1.Являются ли взаимно обратными матрицы

1 −1		1		1 1		0
	1		,		1
А = 0		−1		В = 0		1 .
	0	1			0
0				0		1

2. Пусть det A ≠ 0. Записать формулу, по которой находится матрица,

обратная матрице	a	a
обратная матрице	A = 11	12	.
	a21	a22

153

3. Выяснить,		существует		ли	матрица,	обратная	матрице
1	−2	4
	1		, и если существует, то найти ее и сделать проверку.
А = 2	1	−7	, и если существует, то найти ее и сделать проверку.
	−4	2
3	−4	2
4. Предприятие выпускает продукцию трех видов: П1, П2							и П3 . Уро-
вень их выпуска лимитируется ограниченностью ресурсов Р1, Р2
и Р3 . Все числовые данные приведены в таблице:
			Запас	Нормы затрат
	Ресурсы		ресурса	на единицу продукции
				П1	П2	П3
		Р1	105	3	2	2
		Р2	65	1	2	1
		Р3	100	4	1	2

Записать в математической форме условия, которым должен удовлетворять план выпуска продукции, предполагая полное использование ресурсов. Решить полученную систему линейных уравнений методом Гаусса.

5. Исследовать систему и в случае совместности решить ее:

х1 +5х2 −5х3 = −2,		х1 + х2 + х3 −2х4 =1,
а) 2х1 +3х2 −2х3 =1,		б) х1 − х2	−2х4 = −1,
	х2 + х3 = 0.		+3х3 −2х4 = 0.
3х1 +		х1 +5х2

Решение тренировочного задания 4

1.Так как

1 −1		1	1 1		0
	1			1		=
АВ = 0		−1	0		1
	0	1		0
0			0		1

1 1+(−1)0 +1 0		1 1+(−1)1+1 0 1 0 +(−1)1+1 1	1	0	0
				1		= Е
= 0 1+1 0 +(−1)0		0 1+1 1+(−1)0 0 0 +1 1+(−1)1	= 0	1	0	= Е
	0 1+0 0 +1 0	0 1+0 1+1 0 0 0 +0 1+1 1		0
	0 1+0 0 +1 0	0 1+0 1+1 0 0 0 +0 1+1 1	1	0	1

154

и ВА = Е (проверить самостоятельно), то, согласно определению,

А и В – взаимно-обратные матрицы.

2.Так как

A11

A21

An1

A−1 =

A12

A22

An2

, где A

= (−1)i+ j M

i, j =

, то

i j

1, n

det A

i j

A2n

Ann

A1n

для

матрицы

A =

а11

а12

= a a

−a

a ≠ 0 (по

условию),

а21

а22

A = (−1)1+1 M

= a

;

A = (−1)1+2 M

= −a

;

A = (−1)2+1 M

= −a ; A = (−1)2+2 M

= a .

Таким образом

−1

a22

−a12

−a

a a

−a

3.Найдем

det А =	1	−2	4
	1	−2	4
	2	1	−7	=1 1 2 + 2(−4)4 +(−2)(−7)3 −
	3	−4	2

−3 1 4 −2(−2)2 −(−4)(−7)1 = 2 −32 + 42 −12 +8 −28 = −20 ≠ 0,

значит, обратная матрица существует. Найдем алгебраические

дополнения Ai j						к элементам ai j матрицы A. Так как
A	1+1	1					−7		= 2 −28 = −26;
	1+1	1					−7
	= (−1)
11			−4				2
			−4				2
A	1+2				2		−7
	1+2				2		−7
	= (−1)							= −(4 +21) = −25;
12					3		2	= −(4 +21) = −25;
					3		2
А	1+3			2			1	= −8 −3 = −11;
	1+3			2			1
	= (−1)
13				3			−4
				3			−4
А	= (−1)2+1					−2	4	= −(−4 +16) = −12 ;
А	= (−1)2+1					−2	4	= −(−4 +16) = −12 ;
21						−4	2
						−4	2

155

		А	= (−1)2+2									1 4			= 2 −12 = −10 ;
		А	= (−1)2+2									1 4			= 2 −12 = −10 ;
		22										3	2
												3	2
		А = (−1)2+3									1 −2					= −(−4 +6) = −2 ;
		А = (−1)2+3									1 −2					= −(−4 +6) = −2 ;
		23									3		−4
											3		−4
		А = (−1)3+1						−2 4									=14 −4 =10;
		А = (−1)3+1						−2 4									=14 −4 =10;
		31					1							−7
							1							−7
		А	= (−1)3+2							1			4			= −(−7 −8) = −(−15) =15;
		А	= (−1)3+2							1			4			= −(−7 −8) = −(−15) =15;
		32								2			−7
										2			−7
		А = (−1)3+3							1				−2			=1+4 = 5 ,
		А = (−1)3+3							1				−2
		33							2				1
									2				1
						1							−26				−12	10	1,3	0,6	−0,5
			А	−1		1
		то			=								−25				−10	15 =	1,25	0,5	−0,75 .
		то			=	−20							−25				−10	15 =	1,25	0,5	−0,75 .
						−20											−2			0,1
													−11				−2	5	0,55	0,1	−0,25
Для проверки правильности вычислений убедимся в справедли-
вости равенств А−1 А = АА−1 = Е . Имеем:
			1,3			0,6							−0,5 1					−2	4
А	−1					0,5												1
А		А = 1,25				0,5							−0,75 2					1	−7 =
						0,1												−4
			0,55			0,1							−0,25 3					−4	2

1,3 1+0,6 2 −0,5 3			1,3(−2) +0,6 1−0,5(−4)	1,3 4 −0,6 7	−0,5 2
		+0,5 2 −0,75 3 1,25(−2) +0,5 1−0,75(−4)		1,25 4 −0,5 7	−0,75		=
= 1,25 1		+0,5 2 −0,75 3 1,25(−2) +0,5 1−0,75(−4)		1,25 4 −0,5 7	−0,75	2	=
				0,55 4 −0,1 7	−0,25
0,55 1+0,1 2 −0,25 3 0,55(−2) +0,1 1−0,25(−4)				0,55 4 −0,1 7	−0,25	2
1	0	0
	1
= 0	1	0 .
	0
0	0	1

Аналогично убеждаемся, что А−1А = Е .

4.Обозначим через х1, х2 , х3 планируемые к выпуску количества продукции видов П1, П2 , П3 соответственно. Тогда первого ресурса Р1

будет израсходовано 3х1 +2х2 + х3 единиц, а раз, по условию, он должен быть израсходован полностью, то имеет место равенство

156

3х1 +2х2 +2х3 =105 . Аналогично, предполагая полное использова-

ние	ресурсов	Р2	и	Р3 ,	имеем	уравнения
х1 +2х2 + х3 = 65, 4х1 + х2 +2х3 =100.				Итак,	х1, х2 , х3 , должны уд о-
влетворять системе уравнений:

3х1 +2х2 +2х3 =105,

х1 +2х2 + х3 = 65,

4х1 + х2 + 2х3 =100.

Для решения полученной системы применяем метод Гаусса, для чего выпишем расширенную матрицу систему, предварительно переставив первое и второе уравнение системы:

	2	1	65
1

3	2	2	105

4	1	2	100

Элемент а11 =1 ≠ 0 назовем разрешающим; в новой, преобразован-

ной матрице элементы вычисляем по правилу гауссова исключения: строку с разрешающим элементом и вышестоящие оставляем без изменения; под разрешающим элементом ставим нули; остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника: в новой матрице вместо элемента, скажем, 105 ставим разность между произведением элементов главной диагонали 1·105 и произведением элементов побочной диагонали 3·65:1·105 – 3·65 = 105 – 195 = – 90.

Тогда новая матрица имеет вид:

1 2			1	65		1 2 1				65			1 2			1	65
1 2			1	65		1 2 1				65			1 2			1	65
	0	−4 −1		−90	~		0	4	1	90		~		0	4	1	90
	0	−4 −1		−90	~		0	4	1	90		~		0	4	1	90	.
	0	−7	−2	−160			0	7	2	160				0	0	1	10
	0	−7	−2	−160			0	7	2	160				0	0	1	10
											х1 + 2х2 + х3 = 65,
Последней матрице соответствует система:													4х2 + х3 = 90,
															х3 =10,
															х3 =10,

решая которую «снизу вверх», т.е. выполняя обратный ход метода Гаусса, последовательно находим:

157

х3 =10, 4х2 +10 = 90, 4х2 = 90 −10, 4х2 =80, х2 = 20;

х1 +2 20 +10 = 65, х1 =15.

Таким образом, к выпуску следует запланировать 15 единиц продукции П1 , 20 единиц продукции П2 и 10 единиц продукции П3 .

5.а) выписываем расширенную матрицу системы и подвергнем ее преобразованиям по методу Гаусса:

1		5	−5	−2			1		5 −5	−2			1 5			−5		−2

						~		0	−7 8			~		0	−7	8		5
	2	3	−2	1						5
																			.
	3	1 1		0				0	−14 16	6				0	0	0		28

	Последней				строке				матрицы		соответствует						уравнение

0 х1 +0 х2 +0 х3 = 28, которое не выполняется ни при каких значениях х1, х2 и х3 , поэтому данная система не имеет решений.

б) выписываем расширенную матрицу системы и подвергнем ее преобразованиям по методу Гаусса:

1 1 1			−2		1		1 1	1 −2	1

			−2		−1			−1 0	−2	~
1 −1 0						~	0 −2
			−2		5			2 0	4
1 5 3							0 4
	1	1	1	−2		1

			−1 0			−2
	0 −2						.
		0	0	0		0
	0

Наличие нулевой строки означает, что третье уравнение исходной системы является следствием двух первых; по последней матрице имеем систему уравнений:

х		+	х	2	+ х	−2х	4	=1,
	1			2	3		4
		− 2х2 − х3						= −2;

чтобы записать множество решений этой системы, будем считать

переменные х3 и х4 свободными,		принимающими				любые			пр о-
извольные	значения х3 = С1, х4 = С2,				где С1, С2 R , тогда ос-
новные, или базисные, переменные х1			и х2		единственным образом
находятся	через свободные:	2х		= −С +2 ,		х		= − 1	С +1,
			2		1		2	2	1

158

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3833 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика

#
20.02.20162.06 Mб195Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf
#
20.02.201619.02 Кб173Literatura VM-1.docx
#
20.02.201664.51 Кб90Metodicheskie ukazaniya po VM 1 semestr.doc
#
20.02.2016457.22 Кб97Rabochaya programma.doc
#
20.02.2016517.74 Кб91Tipovaja_programma_2015.pdf
#
20.02.20161.86 Mб193Uchebno-prakt.posobie (1 chast).pdf
#
20.02.201638.4 Кб103Voprosy k zachetu po VM 1semestr.doc
#
20.02.2016589.67 Кб203Vysshaya matematika (Testy, 1 semestr).pdf