8.1.3. Физический смысл производной.

ется средней

скоростью

изменения функции

f (x)

на отрезке

[x0

, x0 +∆x], а

тогда lim

∆f (x0 ) = f ′(x0 ) называется

мгновенной

∆x→0

∆x

скоростью изменения функции f (x) в точке x0 .

Так, например, если функция S = f (t) задает зависимость пути

S ,

пройденного некоторым телом, от времени

t , то производная

(пример 8.3).

8.1.5. Основные правила дифференцирования.

Пусть

D1 ― множество точек из области определения функции

y = f (x) , в каждой из которых существует производная

′

f (x) . Тогда

каждому

значению x D1 соответствует

′

задана новая

f (x) , т.е.

′

D1 . Процесс нахождения

функция y = f (x) с областью определения

u

'

′

′

3)

=

u v −uv

производная частного равна дроби, знаме-

v2

v

′

′

−

постоянный множитель выносится за

Следствие: (cu) = c u

знак производной;

′

′

′

′

4) (uv...w)

= u v...w +uv ...w + +uv...w

Теорема 8.4. (производная сложной функции ). Если функция

y = g(x)

имеет производную в точке x0 , а функция

z = f (y) имеет

производную

в

точке

y0 = g(x0 ) ,

то

сложная

функция

z = F(x) = f (g(x))

имеет

производную

в

точке

x0 и

F′(x0 ) = f ′(y0 )g′(x0 ).

Теорема 8.5. (производная обратной функции). Пусть функция

y = f (x)

в некоторой окрестности точки

x0

является строго моно-

тонной,

непрерывной и

существует производная

f ′(x0 ) ,

причем

f ′(x0 ) ≠ 0 . Тогда

существует

обратная

функция

x = f −1(y) = g(y) ,

определенная в некоторой окрестности точки

y0 = f (x0 ) , строго м о-

нотонная, непрерывная и обратная функция имеет производную

g′(y0 ) =

1

(8.8)

f ′(x0 )

1.

y = c = const,

y′ = 0.

2.

y = x,

y′ =1.

3.

y = u,

y

′

= u .

′

4.

y = uα

(α = const),

y′ =α uα−1 u′

′

5.

y = u ,

y′

=

u

.

2

u

1

y

′

u′

y = u ,

6.

= −u2 .

7.

y = a

u

(a > 0, a ≠1),

y

′

= a

u

′

ln a u .

8.

y = e

u

,

y

′

= e

u

′

u .

9.

y = loga u,

y′ =

u′

.

u ln a

y = ln u,

y′

u′

10.

=

u .

11.

y = sin u,

y′ = cosu u′

12.

y = cosu,

y

′

= −sin u

′

u .

13.

y = tgu,

y′

=

u′

.

cos2 u

y = ctgu,

y

′

u′

14.

= −sin2 u .

y = arcsin u,

y

′

=

u′

15.

1−u2 .

16.

y = arccosu,

y′

= −

u

′

1−u2

17.

y = arctgu,

y′

=

u′

1+u2.

18.

y = arcctgu,

y′

= −

u′

1+u2.

Пусть функции u(x)

и v(x) имеют производные в некоторой

точке x X , причем на

X

определена функция y = (u(x))v(x) , где

u(x) > 0. Тогда функция y

имеет производную в точке x , причем ее

(8.9): так как y = f (x) = (u(x))v(x)

(u(x) > 0),

то ln

y

= ln

(u(x))v(x)

= v(x) ln(u(x)) .

Тогда

(ln

y

)′ = v′(x)ln(u(x)) + v(x)u′(x) .

)′=

y′

u(x)

Учитывая, что (ln

y

,

получаем окончательно

y

′

y′ = (u(x))v(x)

(8.10)

v′(x)ln(u(x)) + v(x)u (x)

.

u(x)

Решение.

′

a2 − x2 ′

−2x(a2 + x2 ) −2x(a2 − x2 )

a2

− x2

2

+ x

2

(a2 + x2 )2

1)

a

arcsin

a

2

+ x

2

=

=

=

a2 − x2 2

(a2

+ x2 )2 −(a2

− x2 )2

1−

2

+ x

2

(a2 + x2 )2

a

=

−4a2 x

= −

2a

.

a2

+ x2

(a2 + x2 ) 4a2 x2

(e

mx

+e

−mx

)

′

(e

mx

′

−mx

)

′

3) (ln(e

mx

+e

−mx

′

=

) +(e

=

)) =

emx +e−mx

emx +e−mx

=

emx (mx)′+e−mx (−mx)′)

= emxm +e−mx (−m)

= m(emx −e−mx ) .

emx +e−mx

emx +e−mx

emx +e−mx

(

x2

+1

− x)2

(

x2

+1

− x)2

y = ln

x2

+1 − x

= ln

= ln

=

x2 +1

− x2

x2 +1 + x

( x2 +1 + x)( x2 +1 − x)

Теперь дифференцируем: y′ = (2ln(

− x))′= 2(

x2 +1

− x)′ =

x2 +1

2

x

+1 − x

2x

x −

x

2

+1

2

−1

2

2

x2 +1

x2

+1

2

=

=

= −

.

x2 +1 − x

x2 +1 − x

x

2 +1

5) Вначале найдем логарифм от функции y :

ln y =

5 ln(x −1) − 3 ln(x −2) − 7 ln(x −4).

2

4

3

5

3

7

Тогда

y′ = y

−

−

=

2(x −1)

4(x −2)

3(x −4)

5

5

=

(x

−1)

2

5

−

3

−

7

=

(x −1)

2

=

3

7

4(x −2)

3(x −4)

3

7

2(x −1)

(x −2)4 (x −4)3

(x −2)4 (x −4)3

=

30(x2 −6x +8) −9(x2 −5x +4) −28(x2 −3x +2)

=

12(x −1)(x −2)(x −4)

(7x2

3

= −

+51x −148)(x −1)2

.

7

10

12(x −2)4 (x −4) 3

6. y = x

1

.

x

Вначале найдем логарифм от функции y :

ln y =

1

1

= −

1

ln x = −

ln x

. Дифференцируя это равенство,

ln

x

x

x

x

y

′

′

−ln x

(x)

′

1

x −ln x

(ln x) x

′

x

получим:

y

= −

x2

или

y

= −y

x2

.

Отсюда:

y′

1

ln x −1

=

x

.

x

x2