Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика / Uchebno-prakt.posobie (1 chast).pdf

Скачиваний:

193

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3835 36 37 38 > Следующая >>>

3y +9 = −4x +16 , 3y +4x −7 = 0.	Найдем уравнение прямой ВС,
пользуясь уравнением прямой,	проходящей через две данные

точки:

y − yC

x − xC

или

y + 2

x +3

y +2

x +3

− y

− x

1+ 2

1+3

4 (у +2)

= 3 (х +3), 4у – 3х –1 = 0.

Решая

совместно

систему

уравнений прямых АН и ВС, находим координаты точки Н:

3y +4x −7 = 0,

3y +4x = 7,

×3

9y +12x = 21,

3x =1,

×4

4y −3x −1 = 0,

4y −

16y −12x = 4,

25у = 25,

у =1,

х =1.

Точка Н совпала с точкой В, это было "з а-

метно" из чертежа, но чертеж "подсказывает", а не доказывает. Найдем длину стороны АВ по формуле

dAB = (xB − xA )2 +(yB − yA )2 ;

d= (1−4)2 +(1+3)2 = 9 +16 = 25 = 5.

Ответ: длина высоты равна 5.

4.Приведем уравнения прямых к уравнению прямой с угловым к о- эффициентом у = kх + b.

Для а) имеем 4у = –6х +3 , y = − 32 x + 34 , k1 = −3/ 2;

для б)	6у = – 8х –1	, y = −	4 x −	1 ,	k2	= − 4	;
			3	6		3
для в)	6у = 4х +5,	y = 2 x + 5 ,		k3 =	2 ;
для г) y = 4 − 4 x , k4		3	6		3
для г) y = 4 − 4 x , k4		= − 4 .
	3	3
Так	как k2 = k4 , то прямые б) и г) параллельны; так как
k1k3 = −1, то прямые а) и в) перпендикулярны.

5.2.Элементы аналитической геометрии в пространстве

1.Какой вектор называется нормальным вектором плоскости?

2. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку

М0 (х0 , у0 , z0 ) перпендикулярно к вектору n = (А, В, С).

3.Запишите общее уравнение плоскости.

4.Какой угол называется углом между плоскостями с уравнениями

162

А1х + В1 у +С1z + D1 = 0 и А2 х + В2 у +С2 z + D2 = 0?

5.Какова формула для нахождения косинуса угла между плоскостями?

6.Запишите условие перпендикулярности и условие параллельности

плоскостей.

7.Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

8.Как записываются параметрические уравнения прямой?

9.Как записываются общие уравнения прямой?

10.Как записываются канонические уравнения прямой?

11.Запишите определение и формулу для вычисления угла между

прямыми в пространстве?

12.

Запишите условие перпендикулярности и условие параллельности

двух прямых.

13.

Какой

угол

называется

углом

между

прямой

x − x0

y − y0

= =

z − z0

и плоскостью

Ах + Ву +Сz + D = 0?

14.Запишите условие перпендикулярности прямой и плоскости и условие параллельности прямой и плоскости.

15. Как найти точку пересечения прямой L : х = х0 +lt, у = у0 +mt, z = z0 +nt и плоскости Р : Ах + Ву +Сz + D = 0 предполагая, что прямая и плоскость не параллельны?

16.Какое множество точек называется гиперплоскостью пространства Rn?

17.Запишите уравнение гиперплоскости в Rn в векторной форме и в

	координатной форме.
18.	Запишите уравнение прямой в Rn, определяемой точкой
	M0 (x10 , x20 , , xn0 ) и вектором		= (A1, A2 , , An ) .
		a
19.	Запишите уравнения отрезка прямой в Rn.
20.	Какое множество точек пространства Rn называется выпуклым?

Приведите примеры.

21.Запомните теорему: пересечение любого числа полупространств, ограниченных различными гиперплоскостями, является выпуклым множеством.

22.Дайте определение внутренней, граничной и угловой точек выпуклого множества. Приведите примеры.

163

1.	Тренировочное задание 5.2
1.	В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное множество при
	векторе цен Р = (2, 3, 5) и доходе Q = 30. Опишите это множество и
	задайте его границу с помощью систем линейных неравенств и ли-
	нейных уравнений относительно переменных х1, х2 , х3. Вычислите
2.	объем бюджетного множества и постройте его.
2.	Даны координаты точек А 1(1, 1, 3), А2(4, 1, 5), А3(2, 2, 1) и
	А4(5, 2, 3). Составьте уравнение плоскости α, проходящей через
	точки А1, А2 и А3 и уравнение прямой L, проходящей через точку
3.	А4 перпендикулярно плоскости α.
3.	Установить, пересекаются, параллельны или совпадают плоскости,

заданные уравнениями:

а) 4х – 6у + 3z + 5 = 0 и 2х – 3у + z – 5 = 0; б) 6х + 8у – 4z – 6 = 0 и 3х + 4у – 2z + 3 = 0; в) х + 2у – z + 5 = 0 и 2х + 4у – 2z + 10 = 0.

4.Найти точку пересечения прямой 2х = у−−31 = z 1+1 и плоскости

х+ у – z +2 = 0.

5.Найти систему неравенств, определяющую множество точек треугольника с вершинами А(2,1), В(6, 3), С(4, 5).

Решение тренировочного задания 5.2

1. Пусть вектор цен Р = (р1, р2 , р3 ) задан, а набор товаров Х = (х1, х2 , х3 ), где х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0 подлежит определению.

Этот набор товаров можно купить на данное количество денег (доход) Q, при этом не обязательно тратить все деньги. Бюджет-

ное множество В тогда задается в пространстве R3 системой линейных неравенств:

р1х1 + р2 х2 + р3 х3 ≤ Q,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0,

что в нашем случае означает

2х		+3х		+5	х	≤ 30,	(1)
	1		2		3		(1)
x1	≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

164

Система неравенств (1) описывает бюджетное множество данной задачи. Границей бюджетного множества является такое множество набор товаров, которые в точности стоят Q. Тогда граница бюджетного множества есть часть гиперплоскости про-

странства

2х +3х

+5х

= 30 (2), ограниченная

неравен-

ствами х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0.

Для построения плоскости (2) при-

ведем

уравнение

(2)

уравнению

плоскости в

отрезках:

=1, для чего обе ча

сти уравнения (2) разделим на 30:

5x3

х1

3x2

или

(3). Из уравнения (3) по-

лучаем точки пересечения плоскости (2) с осями координат Ох1,

Ох2 и Ох3.

Если	х2 = 0,	х3 = 0,	то
х1 =15,	А (15, 0, 0) –	точка	пересе-

чения плоскости с осью Ох1; если

х1 = 0, х3 = 0, то х2 =10, В(0,10,0)

– точка пересечения плоскости с

осью	Ох2; если	х1 = 0, х2 = 0, то
х3 = 6,	С(0, 0, 6) –	точка пересече-

ния плоскости с осью Ох3.

Таким образом, бюджетное множество данной задачи есть треугольная пирамида ОАВС. Для вычисления ее объема примем за основание ∆ ОАВ, тогда высотой является ОС и по формуле объ-

ема пирамиды V		=	1 S		Н получим
пир.			3	осн.
V =	1	1	ОА ОВ ОС = 1 15 10 6 =150.
	3	2			6
3. Уравнение плоскости α				ищем в виде
А(х – хо )+ В(у – уо )+С(z – zо )= 0,
в котором числа	А, В, С подлежат определению, а							в	качестве
точки Мо (хо , уо , zо )			возьмем точку А1			(1,1, 3).	Тогда		получим
уравнение А(х –1)+ В(у –1)+С(z – 3)= 0						(1).	Так	как точки
А2 (4,1, 5) и А3 (2, 2,1)			принадлежат плоскости				α , то их коо рди-

165

наты удовлетворяют уравнению (1) и подставляя эти точки в уравнение (1), получим:

А(4 −1) + В(1−1) +С(5 −3) = 0,

откуда

А(2 −1) + В(2 −1) +С(1−3) =

3А + 2С = 0,

А = −

С,

А = −

С,

А + В −2С = 0,

+ В −2С = 0,

С,

−

В =

где С R, С ≠ 0.

Подставляя найденные А и В в уравнение (1),

получаем: − 2 С(х −1) +

С(у −1) +С(z -3) = 0 .

Разделив обе части полученного уравнения на

≠ 0 , получим

−2(х −1) +8(у −1) +3(z -3) = 0

или,

окончательно, уравнение

плоскости α примет вид

−2х +8у +3z −15 = 0 .

Нормальный

вектор этой плоскости

= (–2, 8, 3). Для составления уравнения

прямой L, проходящей через точку

А4 перпендикулярно плоско-

сти α , используем уравнение прямой, проходящей через точку


Мо (хо , уо , zо ),			имеющей направляющий вектор				= (l, m, n) :
						S
x − xo	=	y − yo	=	z − zo	. Так как по условию прямая L перпенди-

l		m		n

кулярна плоскости α , то в качестве ее направляющего вектора S можно принять нормальный вектор n . Тогда, полагая Мо = А4 ,

получим

x −4

y −1

z −5

− канонические уравнения прямой L.

−2

Ответ: −2х +8у +3z −15 = 0 – уравнение плоскости α ;

x −4

y −1

z −5

− уравнение прямой L.

−2

3. а) условие параллельности плоскостей, заданных уравнениями

А1х + В1 у +С1z + D1 = 0 и А2 х + В2 у +С2 z + D2 = 0 имеет вид:

166

А1

В1

С1

≠

(2). Подставляя в это условие данные пункта

а) имеем

4 =

−6

≠ 3

плоскости пересекаются;

−3

б) подставляя в условие (2) данные пункта б) получим:

6 =

−4

≠

−6

плоскости параллельны;

−2

в) условие совпадения плоскостей имеет вид:

А1

В1

С1

. Подставляя в это условие данные пункта в)

получим: 12 = 24 = −−12 = 105 − верно, плоскости совпадают.

4.Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости от канонических уравнений прямой перейдем к параметрическим урав-

нениям:		x	=	y −1	=	z +1	= t ,	тогда	x = 2t,	y =1−3t,	z = −1+t .
	2			−3
					1
Теперь	х,		у	и	z подставляем				в уравнение		плоскости
х + у – z +2 = 0,					тогда			2 t +1– 3 t +1– t +2 = 0,			откуда
−2 t = − 4, t = 2.				Тогда, подставляя вместо t,						значение 2 находим
х = 4, у =1– 3 2, у = −5, z = –1+2, z =1.

Ответ: (4, -5, 1).

5.Множество точек треугольника АВС можно рассматривать как пересечение трех полуплоскостей, из которых первая ограничена

прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержат точку А, третья ограничена прямой АС и содержат точку В. Составим уравнение прямой АВ, используя уравнение прямой,

проходящей через две заданные точки:

х − хА

у − уА

, тогда

х −2

у −1

х −2

у −1

хВ − хА

уВ − уА

2(х – 2)= 4(у –1),

х – 2 = 2(у –1),

6 −2

3 −1

х – 2у = 0 – уравнение прямой АВ. Подставляя в левую часть это-

го уравнения координаты точки С, получим 4 – 2·5 = – 6 < 0. Следовательно, искомое неравенство будет х – 2у ≤ 0. Аналогич-

но составляем уравнение прямой ВС:

167

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3835 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика

#
20.02.20162.06 Mб195Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf
#
20.02.201619.02 Кб173Literatura VM-1.docx
#
20.02.201664.51 Кб90Metodicheskie ukazaniya po VM 1 semestr.doc
#
20.02.2016457.22 Кб97Rabochaya programma.doc
#
20.02.2016517.74 Кб91Tipovaja_programma_2015.pdf
#
20.02.20161.86 Mб193Uchebno-prakt.posobie (1 chast).pdf
#
20.02.201638.4 Кб103Voprosy k zachetu po VM 1semestr.doc
#
20.02.2016589.67 Кб203Vysshaya matematika (Testy, 1 semestr).pdf

5.2.Элементы аналитической геометрии в пространстве

Тренировочное задание 5.2

Решение тренировочного задания 5.2