3.2.Определители и их свойства

1.Что называется определителем матрицы второго порядка?

2.Запишите формулы для нахождения решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными через определители (фор-

мулы Крамера).

4.Запомните правило треугольника для вычисления определителя

третьего порядка.

4.Что называется определителем матрицы n-го порядка (через разложение по строке или столбцу).

5.Запомните свойства определителей n-го порядка:

1)определитель не изменяется при транспонировании его матрицы; поэтому свойства, сформулированные для строк определителя, остаются справедливыми и для его столбцов;

2)при перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный;

3)если определитель содержит две одинаковые строки, то он равен нулю;

4)общий множитель элементов любой строки можно выносить за знак определителя;

5)сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю;

6)если каждый элемент некоторой строки представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в

виде суммы двух определителей, в каждом из которых все элементы те же, что и в исходном определителе, за исключением элементов указанной строки, которая в первом определителе состоит из первых слагаемых, во втором – из вторых;

7)определитель не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число;

8)если в определителе элементы каких-либо строк пропорцио-

нальны, то он равен нулю; 9) если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.

148

Тренировочное задание 3.2

1.Вычислить определители:

2.Вычислить определители, используя свойства определителей:

3. Пусть А – квадратная матрица четвертого порядка и dеt А = 2. Найти dеt (3А).

5.Вычислить определитель

00 5

разложением по элементам: а) первой строки; б) второго столбца; в) третьей строки.

Решение тренировочного задания 3.2

1. а) Так как определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, то

149

б) Используя правило треугольника:

150

2.а) Так как определитель ∆1 содержит нулевую строку, то он равен

нулю; б) так как строки определителя ∆2 пропорциональны, то он равен

нулю; в) так как определитель ∆3 содержит нулевой столбец, то он равен

нулю; г) так как элементы третьей строки определителя ∆4 равны сумме

соответствующих элементов первой и второй строки, то определитель равен нулю.

3.Так как при умножении матрицы А на 3 каждый элемент матрицы А умножается на 3, то в каждой из четырех строк матрицы А п о- является общий множитель 3, поэтому за знак определителя вы-

4.а) Применив теорему о разложении определителя к первой строке, получим

∆= a11(−1)1+1 M11 + a12 (−1)1+2 M12 + a13 (−1)1+3 M13 =

= −2 (1 5 −0 1) −1 (1 5 −0 1) +3 (1 0 −1 0) = −10 −5 = −15;

б) применив теорему о разложении определителя ко второму столбцу, получим

∆ = a12 (−1)1+2 M12 +a22 (−1)2+2 M 22 +a32 (−1)3+2 M32 =

= −(1 5) +(−2 5 −0 3) = −5 −10 = −15.

в) применив теорему о разложении определителя к третьей строке, получим

151