8.2.4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика / Uchebno-prakt.posobie (1 chast).pdf

Скачиваний:

193

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3826 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Решение. Имеем y′ = cos x, y′′ = −sin x, y′′′ = −cos x, y(4) = sin x,

далее производные повторяются в том же порядке.

		Поскольку cos x = sin(x + π ),	y′ = cos x			= sin(x +		π ),
		2						2
	′′	π	π	то		(n)		π
y	′′	= −sin x = cos(x + 2 ) = sin(x + 2	2 ),...,	то	y	(n)	=sin(x + n 2 ),		n =1,2,....
y		= −sin x = cos(x + 2 ) = sin(x + 2	2 ),...,		y		=sin(x + n 2 ),		n =1,2,....
		Определение 8.11. Значение дифференциала
		d(dy) = d 2 y = f ′′(x0 )dx2
называется вторым дифференциалом функции								f (x) в	точке x0 .

Аналогично определению 8.10 вводится дифференциал n -го порядка

d n y функции y = f (x) в точке x0 :

d n y = y(n)dxn .

Дифференциалы высших порядков обладают свойствами:

1)d n (y1 + y2 ) = d n y1 + d n y2 ;

2)d n (cy) = cd n y ;

3) d n (y y	2	) =	n	C	k d n−k y d k y	2	, где C k = n(n −1)...(n − k +1)
1	2		∑	n	1	2	n	1 2 ... k
			k=0					1 2 ... k
число сочетаний из n элементов по k элементов.
8.2.4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
Теорема 8.7 (Ферма). Пусть функ-
ция y = f (x) определена на некотором
интервале (a,b) и в точке c (a,b)							при-

нимает наибольшее или наименьшее значение. Если существует производная в этой точке f ′(c) , то она необходимо рав-

на нулю: f ′(c) = 0 .

Геометрически – касательная к графику в точке локального экс-

тремума параллельна оси Ox, так как kкас = f ′(c) = 0 .

Теорема 8.8 (Ролля). Пусть функция f (x) удовлетворяет следующим условиям:

1)непрерывна на отрезке [a,b];

2)имеет производную на интервале (a,b);

117

3) на концах интервала принимает равные значения: f (a) = f (b) . Тогда существует точка c (a,b), такая, что f ′(c) = 0 .

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что на графике функции, удовлетворяющем условию теоремы, обязательно существует точка (по крайней мере, одна ) в которой касательная к графику параллельна оси Ox .

Теорема 8.9 (Лагранжа). Пусть

функция y = f (x)

непрерывна на отрезке [a,b] и имеет производную

в каждой

точке

интервала

(a,b) . Тогда

существует

такая точка

c (a,b),

что

′

(8.14)

f (b) − f (a) = f (c)(b − a)

Если в равенстве (8.14) обозна-

чить

c − a

=θ , откуда

c = a +θ(b −a),

b − a

где 0 <θ <1 (ведь a < c < b) ,

то (8.14)

перепишется в виде

f (b) − f (a) = f

′

(8.15)

(a +θ(b − a))(b − a)

Положим

теперь

a = x,

b −a = ∆x

+ ∆ .

Тогда

′

(8.16)

f (x + ∆x) − f (x) = f (x +θ ∆x) ∆x, 0 <θ <1.

Формула (8.16) называется формулой конечных приращений в от-

личие от приближенного равенства

f (x + ∆x) ≈ f (x) + f

′

, кото-

(x)∆x

рое называется формулой бесконечно малых приращений.

Теорема 8.10 (Коши). Пусть функции

f (x)

и g(x)

непрерывны

на отрезке

[a,b]

и имеют производные в каждой точке интервала

(a,b)

причем

′

для всех

(a,b)

Тогда существует такая

g (x) ≠ 0

точка

c (a,b), что

f (b) − f (a)

′

(c)

(8.17)

′

g(b) − g(a)

(c)

Формула (8.17) называется обобщенной формулой конечных приращений Коши.

118

8.2.5. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Используем понятие производной для раскрытия неопределенностей.

Теорема 8.11. Пусть имеется частное двух функций f (x)										,	где
									g(x)	,
функции f (x) и g(x)			определены в промежутке [a, b], имеют конеч-
ные производные	f	′			и	′	в этом промежутке, за исключением
	f	(x)				g (x)
быть может точки		x	=	a	,	причем	′	. Тогда, если обе функции
		x		a			g (x) ≠ 0

бесконечно малые или бесконечно большие при x → a , т.е. если част-

ное f (x) при		x → a представляет неопределенность 0 или				∞	, то
	g(x)				0	∞
		lim	f (x)	= lim	f ′(x)		(8.18)
		lim	g(x)	= lim	′		(8.18)
		x→a		x→a	′
					g (x)

Правило (8.18) применимо в тех случаях, когда предел отношения производных существует. Правило применимо и в тех случаях, когда a = ∞.

Раскрытие неопределенностей ∞ −∞, 0 −∞ и 00 , ∞0 , 1∞ тоже можно осуществлять с помощью правила Лопиталя, если только пре-

образовать выражения к виду 0

∞

с помощью алгебраических

∞

преобразований и логарифмирования.

Пример 8.9. Найти пределы:

а) lim

x3 −7x2 + 4x + 2

;

б) lim

ln x

;

в) lim(

−

)

x→1

x3 −5x + 4

x→∞

x→1

ln x

lim x

г) lim sin x ln x ; д)

1+ln x

;

е)

lim (ctg x)

ln x

x→+0

ж) lim(1+ x2 ) ex −1−x .

x→0

Решение.

а) Здесь имеем неопределенность 0 (характер неопределенности

указываем в квадратных скобках). Применяя правило Лопиталя, получаем:

119

lim

x3 −7x2 + 4x + 2

1−7 + 4 + 2

]

= lim (x3 −7x2 + 4x + 2)′ =

1−5 + 4

x→1

3 −

x→1

−5x

′

+ 4)

=lim

3x2 −14x + 4

3 −14 + 4

= 7 ;

x→1

−

3 −5

б) Здесь имеем неопределенность ∞∞ . Применяя правило Лопиталя, получим:

lim ln x =		∞		(ln x)′			1
			= lim			= lim	x	= 0.

	x			x	′		1
x→∞		∞				x→∞
			x→∞

в) Здесь имеем неопределенность ∞ −∞. Приводя дроби к обще-

му знаменателю, получаем неопределенность 0 , применяем правило

Лопиталя и получаем ответ. Таким образом:

lim(

−

) =[∞ −∞]= lim

x −1

= lim (x −1)′

lim

ln x

x→1

→

ln x

→

(ln x)′

x→1

г) Здесь имеем неопределенность 0 ∞. Преобразуя ее к неопределенности ∞∞ , применяя правило Лопиталя и затем теорему о преде-

ле произведения, получим

lim sin x ln x =[0 ∞]= lim

ln x

= ∞ =

(ln x)′

lim

−cos x

x→+0

∞

x→+0

′

x→+0

(

)

sin2 x

sin x

= lim tgx lim

sin x

= −0 1 = 0.

x→+0

д) Здесь

имеем неопределенность

00 .

Используем

равенство

lim ln y

. Находим предел ln y :

lim y = ex→x0

x→x0

3ln x

∞ .

lim

ln(x

1+ln x

) = lim

ln x = lim

x→+0

x→+01+ ln x

∞

Теперь можно применить правило Лопиталя:

120

(3ln x)′

3 . Значит,

= e3.

lim

= lim

lim

1+ln x

1+ ln x

lim

x→+0

→+

(1+ ln x)′

x→+0

е) Здесь имеем неопределенность вида ∞0 . Находим предел ln y :

ln(ctgx) =

∞

lim (ln(ctgx))′ =

lim ln((ctgx)

ln x

) = lim

x→+0

ln x

x→+0

(ln x)′

∞

−1

lim

ctgx

sin2 x

= = − lim

= − lim

lim

= −1

= −1.

x→+0

x→+0 cos xsin x

x→+0 cos x

x→+0 sin x

Тогда искомый предел равен

= e−1 = 1.

lim

(ctgx)

ln x

x→+0

ж) Здесь имеем неопределенность 1∞ . Снова находим предел ln y :

lim ln(1+ x2 )

ex −1−x

= lim

ln(1+ x2 ) =

−1− x

x→0

x→0 ex

lim ln(1+ x2 )

(ln(1+ x2 ))′ = lim

= lim

1+ x2

x→0 e

−1− x

x→0 (e

−1− x)′ x→0

−1

′

lim

= lim

(2x)

+ x

)(e

−1)

(1+ x

)′(e

−1) + (1

+ x

)(e

−1)′

x→0

= lim

= 2.

2x(ex −1) + (1+ x2 )ex

x→0

Тогда искомый предел равен	lim (1+ x2 )
	x→0

ex −1−x = e2 .

Заметим, что правило Лопиталя применимо только тогда, ко-

гда справедливы условия теоремы, т.е. когда существует предел отношения производных. Например,

	lim	x +sin x		=	∞	= lim 1+sin x = 1+ 0 =1.
	lim			=		= lim 1+sin x = 1+ 0 =1.
	x→∞ x					x→∞	1	1
	x→∞ x				∞	x→∞	1	1
	Правило			Лопиталя			здесь	ответа	не	дает,	ибо
lim	(x +sin x)′		= lim		1+ cos x		не существует.
x→∞	x		x→∞			1
x→∞		′	x→∞

121

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3826 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика

#
20.02.20162.06 Mб195Lekcii.Vysshaya matematika (1 semestr).pdf
#
20.02.201619.02 Кб173Literatura VM-1.docx
#
20.02.201664.51 Кб90Metodicheskie ukazaniya po VM 1 semestr.doc
#
20.02.2016457.22 Кб97Rabochaya programma.doc
#
20.02.2016517.74 Кб91Tipovaja_programma_2015.pdf
#
20.02.20161.86 Mб193Uchebno-prakt.posobie (1 chast).pdf
#
20.02.201638.4 Кб103Voprosy k zachetu po VM 1semestr.doc
#
20.02.2016589.67 Кб203Vysshaya matematika (Testy, 1 semestr).pdf